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1、研究性学习服从超几何分布的随机变量的数学期望宁乡一中 唐新阳一、问题的背景：题一（一次考试试题）：从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3只产品，设抽得次品数为，则_题二：为了促进青年老师教学成长，学校进行青年教师教学比武。参赛的老师有数学老师6名，英语老师9名，拟评出一等奖5名。假定每位老师实力相当，每人获得一等奖的概率相等，则数学老师获得一等奖的人数的期望是_。显然这两题都可以从超几何分布的角度去考虑。题一：设抽得次品数为，则可以取三个值，服从超几何分布，其分布列如下：则，所以题二：设获得一等奖的数学老师的人数为，则可以取六个值，服从超几何分布，其分布列如下：显然分布列中的概
2、率是不很好算的。如果数据更大一些的话难度会更大。计算如下：则。二、问题的再提出：若个产品中含有件次品，从中不放回的抽取件，设其中含有的次品数为，则服从超几何分布，且，其中则？有没有一个较为简单的计算方法或公式呢？三、问题的探究类似于问题一和问题二，显然有两种情况，一是次品数大于取出的产品数，则最大可以取到，二是次品数小于取出的产品数，则最大可以取到。1若，则的分布列为：则。因为，所以。分子怎么的处理呢？注意其特点相当于一批产品共有个，其中含有次品个，从中不放回的取出（）个，则不同的取法有种；如果按照件产品中次品的个数为个分类讨论则有：种。即。所以 。2当，基本上同理可证。四、问题的应用：问题一：模型化以后则有，则；问题二：模型化以后则有，则。五、问题的反思：若将问题二改为以下设问：要从6名数学教师和9名英语老师中选5名参座谈会，用分层抽样的方式，数学老师应选几名。显然由分层抽样的方法数学老师应抽取的人数为名。从而发现：若服从超几何分布，则的数学期望可心视作含有2个不同层次的个体中应用分层抽样的方式抽取到该层的个体数。只不过注意此时的数学期望不一定要是整数。