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1、数列中的放缩法题型示例【例题1】（2015浙江理科样卷.19）设数列满足性质:，.（I）（i若是等差数列，求； （ii）是否存在具有性质的等比数列？（II）求证.【解析】（I）（i）设等差数列的公差，根据性质，前项和为. 若，=1，； 若，同理可得，.(ii)若，则，与矛盾；若，则，与矛盾.所以不存在满足性质的等比数列.（II）由已知条件，必有，也必有（，且）.设是所有中大于0的数，是所有中小于0的数，由条件得， .【例题2】（2015浙江省六校联考.理科19）已知数列的前项和为，.(I）求证是等比数列，并求的通项公式； （II）证明：.【解析】（I）时，.时，是以为首项，3为公比的等比数列，
2、； （II）= 所以.【同步练习1】(2014年广东文科19.）设各项都是正数的数列的前项和满足，.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对于一切正整数，都有. 【例题3】（2015年015年杭州市第一次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷（理科.19）设数列的前项和为，若+=（）.（I）求数列的通项公式；（II）求证：.【解析】（I）时，.时，（+）-（）=，所以是以为首项，为公比的等比数列，；（II）. =【同步练习2】已知数列满足，且. （1）求通项公式； （2）设，证明：。 【例题4】2014·新课标全国卷 已知数列满足，.(1)证明是等比数列，并求的通项公式；(
3、2)证明.【解析】(1)由得. 又，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以，因此数列an的通项公式为an.(2)证明：由(1)知.因为，当时，所以，即.于是1<.所以<.【同步练习3】等比数列中，前项的和为，且成等差列设，数列前项的和为，证明：【例题5】（2013广东）设数列的前项和为，已知,（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有【解析】（1）；（2） ，.两式相减，得，整理，得，即，所以数列是等差数列.，.即数列的通项公式是；（3）由（2）知，当时，所以 =.【同步练习4】设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且构成等比数列（1）证明：；（2）求数列的通项公式；（3）证明：当时，有【例题6】（2015年浙江高考理科.20）已知数列满足=且（n）（1）证明：1（n）；（2）设数列的前n项和为,证明（n）.【解析】（1），所以，所以，即；（2）由已知，得，所以，又由于和，所以，累加，得，即，因此， 所以 .【同步练习5】设数列满足：（为正实数，N*），记数列的前项和为 (I)证明：当=2时，(N*)； (II)求实数的取值范围，使得数列是单调递减数列6