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1、学习必备欢迎下载数学公式导数公式：(tgx)sec2 x1(arcsin x)x 2(ctgx)csc2 x1(arccos x)1(secx)secx tgx1 x2(csc x)cscx ctgx1( ax)axln a(arctgx )21 x(log a x)1(arcctgx )1x ln ax21基本积分表：tgxdxctgxdxsecxdxcscxdxdx22axdx22xadx22axa2x2ln cosxCln sin xCln secxtgxCln cscxctgxC1 arctg xCaa1 ln xaC2axa1axC2alnxaarcsin xCadxsec2 xdx
2、tgx Ccos2 xdxcsc2 xdxctgxCsin 2 xsecx tgxdxsecxCcsc x ctgxdxcsc xCaxdxa xCln ashxdxchxCchxdxshxCdxln( xx2a2 )Cx2a22sin n2cosnn1I nxdxxdxI n 200nx2a2dxxx2a2a2ln( xx2a2)C22x2a2 dxxx2a 2a2ln xx2a2C22a2x2dxxa2x2a2arcsinxC22a等价无穷小量代换当x0时，有：sin x xtan x xarcsin x xarctan x xa x1 x ln aex1 x1 x a axn 1 x 1
3、 1 xcos x 1 x2nln 1x x12两个重要极限：sin xlim1x0x1 x学习必备欢迎下载高阶导数公式x mnm(m1).(m n 1) x m nxn na xnneaxna x ln asin xnx ncos xsin2xnx1n!an eaxncos xn2nnn!xenx ex a莱布尼兹（ Leibniz ）公式：(uv) (n )nC nk u( n k )v( k )k 0u (n) vnu (n1) vn(n1) u( n2) vn(n 1) (n k 1) u( n k ) v( k )2!k!泰勒公式：xx2x3xn+ e =1+x+2!+ +n!3!s
4、in x = x-x 3+x5x 7( 1) n x 2n 13!-7!+ + 5!(2n1)!x2+x4x6( 1)n x2 ncos x = 1-4!-+ + 2!6!(2n)!ln (1+x) = x-x 2x3x4( 1)n x n 12+-4+ +(n+ 31)!-1x3x5x7( 1)n x 2n 1tanx = x-+-+ + 357(2n1)rr (r 1) 2 r ( r 1)( r2) 3(1+x) =1+ rx+2!x +3!x + -1<x<1中值定理与导数应用：1uv( n )xa n 1拉格朗日中值定理：f (b)柯西中值定理：f (b)f (a)f (
5、 )(ba)f (a)f ( )F (a)F ( )当 F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。多元函数微分法及应用学习必备欢迎下载全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似计算：zdzf x ( x, y) xf y ( x, y)y多元复合函数的求导法：z f u(t), v(t)dzzuzvdtutvtzf u( x, y), v(x, y)zzuzvxuxvx当u，时，u( x, y)v v(x, y)duu dxu dydvv dxv dyxyxy隐函数的求导公式：隐函数F (x, y)，dyFx ，d 2 y(FxFx)dy0dxFyd
6、x2)(dxx Fyy Fy隐函数， zFx ，zFyF (x, y, z) 0xFzyFz多元函数的极值及其求法：设f x (x0 , y0 )，令：f xx (x0 , y0 )A,fxy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) Cf y ( x0 , y0 ) 0ACB2时， A0,( x0 , y0 )为极大值0A 0, (x0 , y0 )为极小值则：ACB2时，无极 值0ACB2时不确定0 ,常数项级数：等比数列：qq2qn 11q n11q等差数列：23n(n1)n12调和级数：111 是发散的123n级数审敛法：、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判 别
7、法）：1时，级数收敛1设：limnun，则时，级数发散1n时，不确定1、比值审敛法：2时，级数收敛U n1设：lim1 ，则时，级数发散Un1n时，不确定1、定义法：3sn u1 u2un; lim sn存在，则收敛；否则发 散。n交错级数 u1 u2 u3 u4(或 u1 u2 u3,un0)的审敛法 莱布尼兹定理：unun 1s u1 ,其余项 rn的绝对值 rn un 1。如果交错级数满足，那么级数收敛且其和lim un 0n绝对收敛与条件收敛：学习必备欢迎下载(1)u1u2un，其中 u n为任意实数；(2) u1u2 u3un如果 (2)收敛，则 (1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；
8、如果 (2)发散，而 (1)收敛，则称 (1)为条件收敛级数。n调和级数：1 发散，而( 1) 收敛；nn1级数：收敛；1 时发散p级数： pnp 1时收敛幂级数：x时，收敛于11 x x2x3x n11xx时，发散1对于级数 (3) a0a1 x a 2 x2a n xn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x时收敛R数轴上都收敛，则必存在R，使xR时发散 ，其中 R称为收敛半径。x R时不定时，10R求收敛半径的方法：设lima n 1，其中，是的系数，则时，Rananan 1(3)0n时，R0函数展开成幂级数：函数展开成泰勒级数： f ( x)f ( x0 )( x x0 )f ( x0
9、) ( xx0 )2f ( n) (x0 ) (xx0 )n2!n!余项： Rnf ( n1) ( ) ( x x0 ) n 1 , f (x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是：lim Rn0( n1)!n时即为麦克劳林公式：f ( x) f (0)f (0) xf ( 0)x2f( n ) ( 0)xnx0 02!n!一些函数展开成幂级数：(1 x) m1mxm(m 1) x2m(m1)(m n1) xn( 1 x 1)2!n!sin x xx3x5( 1)n 1x2 n 1(x)3!5!(2n1)!一阶线性微分方程：、一阶线性微分方程： dyP( x) y Q( x)1dx当Q( x)时为
10、齐次方程，yCeP ( x ) dx0,当时，为非齐次方程，P ( x) dxP ( x) dxQ( x)y( Q( x) edxC)e0、贝努力方程： dyn，0,1)2P( x) y Q( x) y( ndx全微分方程：学习必备欢迎下载如果P(x, y)dxQ(x, y)dy中左端是某函数的全微 分方程，即：0du( x, y)P(x, y)dxQ(x, y)dy，其中： u， uQ(x, y)0xP(x, y)yu( x, y)C应该是该全微分方程的 通解。二阶微分方程：2ydy， f ( x)时为齐次d0dx2P( x)dxQ( x) yf ( x)f ( x)时为非齐次0二阶常系数齐
11、次线性微分方程及其解法：y，为常数py qy f ( x)p, qf ( x)e x Pm (x)型， 为常数；f ( x)e x Pl (x) cos xPn ( x) sinx型二阶常系数非齐次线性微分方程(*) ypyqy，其中p,q为常数；0求解步骤：、写出特征方程：()r2prq，其中r2，的系数及常数项恰好是(*)式中的系数；10ry , y , y、求出()式的两个根r1,r 223、根据 r1 ,r2的不同情况，按下表写 出(*) 式的通解：r1， r2的形式(*) 式的通解两个不相等实根( p24q 0)yc1er1 xc2er2 x两个相等实根 (p240)y(c1r1 xqc2 x)e一对共轭复根 (p240)yex(c1 cosx c2 sinx)qr1i，r2ip ，4qp 222