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1、不动点与数列通项不动点求解数列通项的原理：1、 x0是 f(x) x的不动点，即x0满足 f (x) x 0方程，则根据因式分解， f (x) x必可分解出一个 因式 x x0 ；2、an 1f(an)有不动点x0，则an 1x0f(an)x0(anx0 ) g ( an )出现同结构的anx0式子，从而实现构造新数列。例 1、在数列 an中， a1 2，an1 an2 6an 6，求数列 an的通项公式。例2、在数列 an 中，a1 2，（n 2）an （n 1）an 1 1，求数列 an的通项公式不动点数列通项比较大小数列单调性取值范围数列极限有界性an 1 f (an )x f (x)不
2、动点求解单调性原则：（ 1）画图求结果（ 2）数学归纳法的证明；f （ x ） 单调递增：（ 1）位于 y x 上方的为增区间；（ 2）位于 y x 下方的为减区间；3）位于 y x上的点为不动点 /极限点 /有界点例3、（全国卷）设函数 f（x） x xln x，数列an满足： 0 a1 1，an 1 f （an）（1）证明：函数 f（x） 在区间（ 0，1）是增函数；（ 2）证明： an an 1 1例4、（安徽高考）首项为正数的数列 an满足：an 1 1（an2 3） n 1 4 n（1）证明：若 a1为奇数，则对一切 n 2，an 都为奇数；（2）若对一切 n N ，都有 an 1 an ，求 a1的取值范围。1 例5、（全国卷）已知在数列 an中，a1 1，an 1 c 1 ， an（1）若 c 5，bn1 ，求数列 bn ，an 的通项公式。2 n an 2 n n（2）求使不等式 an an 1 3成立的 c的取值范围。例6、(湖南高考)已知函数 f (x) x3 ， g( x)(1)求 h(x) f (x) g(x) 的零点个数；g(an)(2)设数列 an ，满足 a1 a(a 0)， f (an 1)