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1、、三角形外心的性质AGC性质1 :三角形三边中垂线的交点,urn uunGA GBuurGC性质3 :正弦定理:a bsin A sin Bcsi nC2R, R为ABC的外接圆半径向量与三角形内心、外心、重心、垂心综合G为外接圆圆心性质2 :点G是ABC外心:urn 2 uun 2 uuu 2GA =GB =GC ( G到三顶点距离相等)uuu uun uuuuuuuur uuuUULT uun uuu(GA + GB) AB =( GB + GC) BC =( GC+GA) CA =0( G 为三边中垂线交点)、三角形内心的性质BDC性质1 :三角形的三个角平分线的交点，O内切圆圆心。性质
2、2 :三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径R性质3:内角平分线定理： ABC中, AD是/ A的角平分线，BDD在BC上，则有：ABCDAC性质4 :设a, b, c是三角形的三条边长，O是 ABC的内心, f,aOA bOB cOC 0O为ABC的内心AB AC AB AC证明：竺、AC分别为ABAC方向上的单位向量， = 竺 平分 BAC,cbcbABAC人bcbc/ ABACAO(），令AO()cba b ca b ccbhfc-hh1-I-化简得(a b c)OA bAB cAC 0aOA bOB cOC 0性质5: O是 ABC的内心的充要条件是sABrEuOA芒UuLTA
3、C川CBr!績rAuocA B, C是平面上不共线的三个点，动点 P满uuuuuuruuu足OPuuuOA-AB-uuu-AC(0，AB|ac|性质6:已知0是平面上一定点,内心.)，贝U动点P的轨迹一定通过 ABC的1 :三角形三边中线的交点三、三角形重心的性质性质性质2 :重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离比为即 GA=GB=GC 2GD GE GF 1性质3 :重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，即S ABG S ACG S BCG性质4 :重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为XiX2X3 y1y2y3性质5: 0是ABC的重心OA OB 0CG为ABC的重心PG &
4、#171;PA PB3PC)P是厶ABC平面内任一点上是厶ABC的重心PG1(PAPBPC).证明如下:PG PA AG PBBGPC CG 3PG(AG BGCG)(PA PB PC)/ 6是厶ABC的重心 GA GB GC 0AGBG CG 0，即 3PG PA PB PC 1 一由此可得PG -(PAPBPC).uuu uuuuuu uuur足OP OA(AB AC)，uuu足OPuuu OAuuuABuuurACUJ出ABcosBUUUAC5cosC ABC的垂心.（0，），则动点P的轨迹一定通过性质6 :已知o是平面上一定点，A B, C是平面上不共线的三个点，动点 P满（0，），贝
5、U P的轨迹一定通过 ABC的重心.四、三角形垂心的性质性质1 :垂心为三角形三边高的交点；性质 2: OA OB OB OC OC OA O 为 ABC 的垂心.证明：如图所示 O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC AD垂直BC, D、E是垂足.OA OB OB OC OB(OA OC) OBOB AC同理 OA Bc，Oc AbO为ABC的垂心性质3 :已知O是平面上一定点，A B,例题1 :是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OA （AB AC），0, ，则点P的轨迹一定通过 ABC的解析：如图所示 ABC，D、E分别为边BC、AC的中点.AB AC 2AD
6、， OP OA 2 AD点P的轨迹一定通过 ABC的重心，即选 C.例题2 : O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(ABAC0,，则点P的轨迹一定通过 ABC的AC解析:AB、AC分别为ABAC方向上的单位向量,AB ACAB AC平分 BAC,点P的轨迹一定通过 ABC的内心，即选B.AB AC例题3 : O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA (ABAC解析:AB cosB)，AC cosC0, ，则点P轨迹一定通过如图所示 AD垂直BC, BE垂直ACD、 E是垂足.ABCABACAB cosB)BC =AC cosCA
7、B BCAC BCAB cosBAC cosCABBCcosBACBCcosCAE屮 cos BACcosC点P的轨迹一定通过 ABC的垂心，即选 D .BC + BC =0巩固练习：UJLV UUV ULUV LUVUUVLUVV练习1：已知O,N, P在ABC所在平面内OA = OB = OC, NANBNC0,UUV UUV UUV UUV UUV UUVPA PB PB PC PC PA则点 O, P, N 依次 ABC 是的()A. 重心外心垂心B. 重心夕卜心内心C. 外心重心垂心D. 夕卜心重心内心解析：C练习2:已知点0是 ABC的重心，内角 A B、C所对的边长分别为 a b
8、、c,且uuu uu又 2a OA b OBuuirOC-a2 b2cosC -3c32 /3c32ab1，二 C2练习3：已知P是ABC所在平面内任意一点,uuv 且PAuuv uuvPB + PCuuu/3 PG ,则 G 是 ABC 的()外心B内心重心垂心uuu2a OA buuu OB兰cOC30，则角C的大小是解析：一3uuuuuuuuu.点O是ABC的重心，.OAOBOC解析:uuvPAUUV uuv PB+PCuuv3PGuuuv uuu(PA PG)uuuv uuv(PB PG)uuuv(PCuuivPG)uuvGAuuv LUV vGB GC 0ABC的重心练习4:O是ABC所在平面内一定点,uuiv若动点P满足OPUULVOAuuiv1 uuu/ABBC20,+s ,则P的轨迹一定经过ABC 的（）A外心B内心C重心垂心解析：B