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1、二重积分变量代换推广至三重积分的证明及应用二重积分变量代换推广至三重积分的证明及应用作者：丁月明指导老师：浦和平关键词：变量代换三重积分摘要：由课本上对二重积分变量代换的简介，我们可以看出此方法在某些情况 下简化了积分运算，而在三重积分中是否也存在此类变量代换呢，本文将把变 量代换推广至三重积分，并给出其存在性的证明，和具体应用。对存在性的证明记 F(n,v, w) = /(x(w,v, w),W),Z(M,v,w)F 于有界集 Duv 连续，F 必一致连续，即 Vw > 0,日5 > 0 对(Ml, VI),(W2, V2)e Dm ,由积分中值定理，得=兄 JU FJdudvd
2、w- fdxdydz.ri, bi、coi )fff Jdudvdw-有当 y(u-u2f -(vl 3P2)2 -(cl-C2p V a 时，|F(/d,vl,K'l)- F(/2, v2,k-2)|< 成Jdudvdw,由于Di是di的值域，血)=(F (M 6； o - f (臥 M A/) |£>/|JJJ f(X, y, z)dxdydz = jjj F(w, v, w) Jdudvdw二变换方法的推导1从几何角度的证明存在三个交线互不平行的曲面f (x, y, z) =uO, g (x, y, z) =vO, q (x, y, z) =wO,三个曲面簇
3、 f (x, y, z) =u, g (x, y, z) =v, q (x, y, z) =w 交成空间曲面网构成新的坐标，而体积元为一个交点处，三条交线弧微元构成 的空间的体积。S UOU = (：+"厶厂("，"O, wo)匚)/ (“，卩0, hO) + Z?(“，,wO)d“=(wO + vO, M'O) +yi<2(uO +vO, wO) + z? (/0 + ftXn, vO, mO) A/<2 yjxu22(hO, vO, h'O) + ytl2(uO, vO, mO) + Zw2(wO, vO, h'O)Am 卡
4、I应以ii方向为例求弧微元， 由此可得dSun =匕如 类似的可以得出V"方向的弧微元于是体积微元为n6(n,w)dudvdw2 用代数方法证明x = xo 0 0在坐标X, y, Z下有向量y = o >'0 0,体积微元为向量偏导数微元的混合积 z = 00 zodx dy dz,又，有u, V, W为X, y? Z的参数，于是XCll C12C13Uy=C21C22C23VZC3C32C33WCU在C21C31C12C13C22 C23HO的情况下,C32C33定U, v, W为一组基体积微元为JA-av乔莎乔比一 E去一即勿-av57一创lav亦勿-加竺加=o
5、O必O心Ok/.ro O=1IJ7dudvdwd(x, y.z)wi)dudvdw = |J | dudvdw证毕如，常见坐标系柱坐标的变换x + y = u2 x + y = pz = v => Z = vy = wx yj=w = tan 0xx = p cos 0y = sin&0 = tgwz = zJJJ dxdydz. = JJJ pdpdOdz.三应用举例求曲面和斤号w 4 E O1）所围区域体积,x = ap sin(pcos0 y = bsin(pcos0Z = cp cos (p 又 |丿 | = abcp2 sin (pdBdcpdp、可得可做变换2x +
6、3y+ z = 02x + 3y + z = 32,求又曲面x + y + z = 和x + y + z = 4所围区域体积4x + y + 2z = 2 4x+y + 2z = 02x + 3y + z = u设曲面簇x+y + z = v4x+ y + 2z = wj/(3，z)Jhovv + w3,求曲面Z = A + = A + yxy = cryxy = by = axy = px所围区域体积。1”2 b:.JJj xyz.dxdydz = 一udii 2 v/vjV2 万& I'-&2)21 Vw + - ViwW Vlr )1+ ? . + 41nI夕02
7、4,求积分 JJj jcdxdydz ,令受曲面z = ay)z =z = ax,z =卩x、z = h限制V = BI 血dydz = 1 J：肿 J：存皿 4 iru2,5,555,求受曲面 z = x2 + y2.z = 2(x2 +y2xy = axy = 2aL,x = 2y,2x = y 限制的体积V令皿，尸 JI,"畑+二对 + yy wwV=1限制的C6,求受曲®- + - + - = ln-一-一 , x=Of z=0,丄+ 二=0上 +丄 a h c x ybe a b+ a b体积V。令八严则曲面的变换为xy zx+ + = 1 => w1 = 1, + = 0 => z/ = vvx = 0=> u =0.z = 0=> v = w a b ca bOWuWw, 叱7 < v< vv, OWwW 1故体积为参考文献工科数学分析马知恩吉米多维奇习题集