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1、帶心学穴教肓2ledu÷com函数与导数321.已知函数 f(x) 4x 3tx 6tx t 1,x R ,其中 t R.(I)当t 1时，求曲线y f (X)在点(0, f (0)处的切线方程;()当t 0时，求f (X)的单调区间;(川)证明：对任意的t (0,), f(x)在区间(0,1)内均存在零点.【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。3 2 2(I)解：当 t 1 时，f(x) 4x 3x 6x, f (0)0, f (x)12x 6x 6f
2、(0)6.所以曲线y f (x)在点(0, f(0)处的切线方程为y6x.()解:2f (x)12x2t6tx 6t ,令 f (x) 0,解得 Xt 或 X 一2因为t 0 ,以下分两种情况讨论：Xt ,2tUtt,f (X)+-+f(x)/、/ :所以，f (x)的单调递增区间是(1)若t 0,则-t,当X变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表:2t ； f (x)的单调递减区间是 ,t 。 2 ， ， ， 28(2)若t 0,则t -,当X变化时，f (X), f (X)的变化情况如下表:2X,tt,丄2tJ2f (X)+-+f(x)/、/0金学夫教肓2edu÷co所以
3、，f (X)的单调递增区间是,t冷,;f(x)的单调递减区间是(川)证明：由()可知，当t0时，f (X)在0,-内的单调递减，在2内单调递增，以下分两种情况讨论:.t(1)当一21,即t 2时，f (X)在(0, 1)内单调递减,f(0) t20, f (1) 6t 4t4 4 230.所以对任意2,), f(X)在区间(0, 1)内均存在零点。(2)当 01,即0 t2时,f (X)在0,-内单调递减，在2内单调递增，若t (0,1, f7t30.42f(1) 6t4t3 6t4t2t0.31所以f (X)在2,1内存在零点。若 t (1,2), f7t3 t4-t41 0.f (0) t
4、 1所以f (X)在内存在零点。所以，对任意(0,2),f(X)在区间0，1)内均存在零点。综上，对任意(0,),f (X)在区间(0，1)内均存在零点。2X3F(X) = 18f(X) - X2h(X)2 ,()设a R ,解关于X3j 22.已知函数f(X)(I)设函数h(X) . X .求F(X)的单调区间与极值；的方程 lg- f (X 1) 3 2lg h(a x) 2lg h(4 24X)；* 1(川)设 n N ,证明：f(n)h(n) h(1)h(2) L h(n)6本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数g為肓与方程、分类与整合等数学思
5、想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.解：(I) F(X) 18 f (X) 2h(x)2X3 12x 9(x 0),2F (x) 3x 12 .令 F(X) 0 ,得 X 2 ( X 2 舍去)当 X (0,2)时.F(X)O ;当 X (2,)时，F(X) 0 ,故当X 0,2)时，F(X)为增函数；当X 2,)时，F(X)为减函数.X 2为F(X)的极大值点，且 F (2)824 925 .()方法一：原方程可化为logEf(XI) JX) lg2h(4X)，即为 log4(x 1) log2 a X1og2h(a,即2 X6x a4 0 ,当1 a 4时，1 X a ,则X 13
6、6 4( a 4)20 4a 0 ,此时 X6. 20 4a235 a ,v 1 X a ,当1a 4时，原方程有一解X 3. 5a ;当4a 5时，原方程有一解X 35a ;当a5时，原方程有一解X3 ；当a1或a 5时，原方程无解(川)由已知得h(1) h(2) Lh(n)12 L n,此时方程仅有一解X 35 a .当a 4 时，1 X 4 ,由 X 1aX ,得2 X6xa 40 ,36 4(a 4)20 4a,4X若4a 5 ,则0 ,方程有两解X3 55 a;右a5时，则0,方程有一解X3 ；若a1或a 5 ,原方程无解.方法一：原方程可化为log4(x 1)Iog2h(4x)I0
7、g2h(a x),1rX 10,1 X 44X 0即一 l0g2(x 1) 0g2 4I X Iog2 a X ,X 0,X a,2a2(X1)(4 x) a Xa (X 3)51 4n 3 厂 1 f(n)h(n) 6 nrvn 1 1*设数列an的前n项和为Sri ,且Snf (n)h(n) (nN)6从而有a1 Sl 1 ,当2 k 100时，akSkSk 11_又 akk (4k 3)k (4k 1).k 16(4k4k 3 k623) k (4k4k621) (k 1)(4k 3)、k (4k 1) k 1 1 06 (4k3) .k (4k 1) . k1即对任意k 2时，有ak.
8、 k ,又因为a1 11 ,所以a1 a2 L则Sl h(1) h(2) L h(n),故原不等式成立.2 23.设函数 f(x) a In X X ax, a 0(I)求f (x)的单调区间；()求所有实数 a ,使e 1 f(x) e2对X 1,e恒成立.注：e为自然对数的底数.【解析】(21)本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象 概括、推理论证能力。满分 15分。ryr(I)解：因为 f (x) a Inx Xax.其中 X 02a C(X a)(2 X a)所以f (X)X aXX由于a 0,所以f (x)的增区间为(0, a),减区间为(a,)()
9、证明：由题意得，f(1) a 1 C 1,即 a C由(I)知f (x)在1,e内单调递增，要使e 1 f (x) e对X 1,e恒成立,f(1) a1 e1,只要 Z 、222f (e) aeae e解得ae.4.设 f (X)X e2,其中a为正实数1 ax4(I)当a 时，求f(x)的极值点；3()若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围【解析】(18)(本小题满分13分)本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变 化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.解：对f (X)求导得f (X)A 21 ax ax22(1 ax )4231(I
10、)当 a ,若 f (x) 0,则4x2 8x 3 0,解得XI .322综合,可知X(,2)12(1,3)2 232弓)f (X)+00+f(x)/极大值极小值/31所以，X1是极小值点，X2是极大值点.22(II)若f(x)为R上的单调函数，则f (X)在R上不变号，结合与条件a>0,知ax2 2ax 102在R上恒成立，因此4a 4a 4a(a 1)0,由此并结合a 0,知0 a 1.5.已知 a, b 为常数，且 a0,函数 f (X) =-ax+b+axlnx , f (e) =2 (e=2. 71828 是自然对数 的底数)。(I) 求实数b的值；(II) 求函数f (X)的
11、单调区间；(III )当a=1时，是否同时存在实数 m和M (m<M ),使得对每一个 t m , M,直线y=t1 一 一与曲线y=f (X) (x - , e)都有公共点？若存在，求出最小的实数 m和最大的实数eM ；若不存在，说明理由。【解析】22.本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算 求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分 14分。解：(I)由 f(e) 2得b 2,(II)由(I)可得 f(x) ax 2 axl n x.从而 f '(x) aln x.因为a 0 ,故：(1) 当 a 0时,
12、由 f,(x)>0 得x>1,由 f,(x)<0 得0<x<1; 当 a 0时,由 f '(x) 0得0 X 1,由f'(x) 0得X 1.華2学穴教肓2 Ieduxom综上，当a 0时，函数f (x)的单调递增区间为(1,),单调递减区间为(0, 1)；当a 0时，函数f (x)的单调递增区间为(0, 1),单调递减区间为(1,)。(III )当 a=1 时，f(x) X 2 xln x, f'(x) Inx.1由(Il)可得，当X在区间(1,e)内变化时，f '(x), f(x)的变化情况如下表:e'X1 e1(,1)
13、e1(1,e)ef'(x)-0+f(x)22e单调递减极小值1单调递增2又22,所以函数f'(x) (Xe,e)的值域为1, 2。 e据经可得，若 mM1,则对每一个2t m,M ,直线y=t与曲线y1f (X)(X- ,e)都有e公共点。并且对每一个t (,m)U(M,),直线y t与曲线y f (X)(X1,e)都没有公共点。e综上，当a=1时，存在最小的实数 m=1 ,最大的实数 M=2 ,使得对每一个t m,M,直线y=t1与曲线y f (x)(x ,e)都有公共点。e6.设函数f()xx3 2ax2 bx a, g* ) x2 3x 2 ,其中X R, a、b为常数，
14、已知曲线y f (x)与y g(x)在点(2,0)处有相同的切线I。(I) 求a、b的值，并写出切线I的方程；(II) 若方程f (X g(xmx有三个互不相同的实根0、X、X ,其中x1x2 ,且对任意的XX1,X2 , fx() g()x m(x 1)恒成立，求实数 m的取值范围。【解析】20.本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推 理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，(满分13分)2解：(I) f (x) 3x 4ax b,g(x) 2x 3.90金学穴教肓2edu÷co10由于曲线yf ()与yg()在点(2, 0)处有相同的切线
15、,故有 f(2)g(2)0, f (2) g (2)1.由此得8 8a 2b a12 8a b 1,0,解得a2,5.所以a 2,b5 ,切线I的方程为X y 202x.3232()由(I)得 f (x) X 4x 5x 2 ,所以 f (x) g (x) X 3x2依题意，方程X(X 3x 2 m) 0有三个互不相同的实数 0, x1, X2,2故X1,X2是方程X3x 2 m 0的两相异的实根。1所以 9 4(2 m) 0,即 m又对任意的X x1 , X2, f (X) 特别地，取X X1时，f (X1 ) 由韦达定理，可得 X1 X23对任意的X X1,X2,有X-X 24g(x) m(x 1)成立，g(x1) mx1m 成立，得 m 0.0, x1x22 m 0,故 0 x1x2.0,x X10, X 0则 f (x) g(x) mx X(X x1)(x x2)0,又f (x1) g(x1) mx10所以函数f(x) g(x) mx在X x1,x2的最大值为0。于是当m 0时，对任意的X X1,X2, f(x) g(x) m(x 1)恒成立, 1综上，m的取值范围是(丄,0).4