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,-二维形式的柯西不等式,柯西不等式与排序不等式,一般地，对于a、b R，我们有：,当且仅当 a = b 时，等号成立。,我们是如何推导的？你能类比它的推导过程，研究一下关于(a2+b2)(c2+d2)的不等关系吗？,二维形式的柯西不等式,定理1：若a,b,c,d都是实数，则,当且仅当ad=bc时，等号成立.,推论：,1.,2.,3.,(1,2当且仅当ad=bc时，等号成立.),当且仅当|ad|=|bc|时，等号成立.,二维形式的柯西不等式,例1.已知a,b为实数，求证,例2.设a,b是正实数，a+b=1,求证,练习：,2. 已知x+2y=1, 求x2+y2的最小值.,1. 证明: (x2+y4)(a4+b2)(a2x+by2)2,二维形式的柯西不等式,例3.求函数 的最大值.,练习：,1.求函数 的最大值.,2.已知a2+b2=1,求证,设,是两个向量,则有:,|,当且仅当是零向量,或存在实数k, 使=k时,等号成立.,定理2: (二维柯西不等式的向量形式),设x1, y1, x2, y2都是实数,则有:,定理3 : (二维形式的三角不等式),课堂作业：P37页，5，7,