《排列组合中的“不相邻”问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列组合中的“不相邻”问题.docx（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、排列组合中的“不相邻”问“不相邻”问题是排列组合中大家所熟悉的一 种常见类型.此类问题乍看起来很简草、方弦也很 明确一播空法，但对于其中一些问題.经过“华 丽”的变身后让人总感到樓梭两可、琢髀不定下 面通过貝体试題让我们一起来褂开谏类试題斯后 所常藏的问題本质吧！1. 甚本檀型15个红球拌成一捋其中3个白球互不相邻<1）若同色球之间加以区分共有多少种不鬧 的排法？<2）若同色球之何不加以区分，共布多少种不 同的排法？韶析 （1）晏使3个白球互不相邻由桶空医 知：可先将5个红球排lA-H.此时WF6个空位. 再将3个白球放人6个空位中的任童三个空位上. 毎个空位放一球.由于同色球之何
2、加以区分所以 元累瓦不相同因此毎步操作均讲吨蟆序于是由 分步计敛原理知共有N A；甩种不同冷法？<2）岡色球不加以区分即元索相同，因此在 将5个红色小球推成一排有m 1种tt法而比 时将3亍白球放人6个空位中的任意3个空位上. 毎个空位一球由于3个白球彼此相同故3个白 球之何不讲究展序从而有m = U种不同的排 法，子是由分步 WKC理共有N = lxC： = 20种 不同排法.点评 虽傲何l£（D对应的都是不相邻问 题在何题的求解中都用到-插空法”但由于同色 球之何是否加以区分从而导致问題求解的本质不 同相同元素进行插空对应着组合问題不同元素 进行插空对应着排列何題.2. 初
3、级变胫例2 从1.2,3 ，2013遠2013个正整数中.取出20个互不相邻的正製数则共有多少种不同 的収法？解析 若将1 2013这2013个正整数换成 2Q13个相同的小球，则何題等价千“从已攜好顺序 的2013个相同小球中任取20个互不相邻的小球 有多少种不冏的敢法”.因为所取的20个小球耍 求互不相邻，所以可利用插空法先将1993个相同 的小球捋应一挣亂惦有他种排法於肓将20 个相同小球放人前1993个相同小球所韧下的 1994个空位中的任量20个空位上毎位一球（此 处所敏的20令小球即为所取的20个小球儿由于 所有小球均相同，故不讲究顺序，从而布m - CHm科不同的方法于避由分步计
4、數原理知共有 N = 1 X CfU* -种不同的放法.点評本題相対于慕本类肝其形式上略和变 化但仍为-不相邻”何題其基本飆題恩想不蜃 tt空法.不同的是这型的元素彼此相同正 是如此使褂空法的每一步操作财应的均为姐 合问"这对于学生来说（特别是初学者是难以 理解携手不及的.例3 8次投抵中.投中3次，淇中恰有2次连 集命中的侑昭有多少种？K析 若分别将“投中的3次”、“没投中的5 次”分别换曲3个相同的红球与S个栩同的白球. 则问&寻价于将3个相同的紅色小球与5个相同 的白色小球持成一排.要求3个红色小球有且仅有 2个连在一起有多少种不同的排陡”有且便有 两个红球连在一起即悬
5、有两个红色球连在一起， 且与另一个虹球不相邻"为此可利用插空法来分 歩完咸先将5个白球排成一排，与之同时将3个 红球分两份由于同色球元素相同，所以有 E =1X1=】种再将已分成2、1的两份红色小 球放入5个口球所韧下的6个空位中的任遺两个空位上每位一份，由于两份不均匀因此井究噸 序，从而有叫=A：种不同的放法于是由分步计 数原理知共有N = m. = 30种.，点评 比较例1中的第问与本题可以发 现，两道试题形式上相返，均含有两类相同元索， 不同的在于本題6个空位中的任童為个空位上放 人的是不均匀的两份栩同小球它们彼韭之间讲 究噸序对应的雄亠个禅列何題，而例1在6个 空位中的任意3
6、个空位上放人3个小球毎位一 球对应的趁一个组合问題这是図题处理的关 银也趕难点.3 髙级变身例4 马路上有编号为12,3,45,6,789 的九只路灯现旻关掉其中的3羞但不能关抻相 邻的2签或3盏.也不能关抻两域的2羞，求滞足条 件的关:灯方法有多少种？解析 类似于例3,林有绍号笛九只路灯看 作巳排好顺序的丸个相測小球，条件中不陡关掉 相邻的2盏或3盏也不能关M两划的2 倉昧 着“只能先掉除两爛外的互不相邻的三畫灯，亦 即妊“只陡取出除肿瑙外的互不相邻的三个小 球”因为所取的三个小球互不梅邻週此可利用 桶空法先格6个梱同小球挣成一拌此时有m- 1 种排法.冉椅另三个小球故人舸6个小球所廉下的
7、空位中除阳燭外的任意三个空位上毎位一球(这 里所放的三个小球即为所取的三个小球几由于元 索相同故不讲额序冈此有牝 Q冲不同放法， 于足由分步计散阪理知共有Nef W种.点评 本越在形式上与基本棋壁大相径庭， 凍入分析其本质仍不相邻”何題但细懒 之处右分晓所以我们耍学会透过现象抓本威數 学的砂型和方法是斛題的根瀰.例5« 1,2.3.-.14中按数从小到大的願序取出/ ,at 使同时満S. at a, 4,at as >4, KU符合要求的不同取法有多少种？解析本题形式新顾而又咯艮复杂条件 g二4心一业二4"意味卷"a,与at ,a,与a：" 之间均
8、至少间隔三个数若将1,2.3,-. .14看作已 排好顺序的14个相同小球則问题可奪价于*从已 排好顺厚的U个相同小球中从左至右依次取出1个、3个、3个三组小球其中后前组的3个小球均 彼此相邻且三组之间又互不相邻有多少种不同 的取法”.由于后两组的3个小球均彼此相邻且三 组之问又臣不相邻为此可用插空法先将7个小球 排成一井显然有F =】种不同的排法，此时留下 8个空位再从8个空位中任取3个空位将3组小 球从左至右毎位一份依次放好(此处所放的三组 小球即为所取的三组小球)由于小球均相同且三 组间的II序已定从而有刪：-U种不同放法，于 是由分步计数原理知共有Ng -56种不 同的取法.点评 本题
9、相对于墓本模型其形式新额灵 活，妥正确求解坯度校大.合理转化与化J5进而构 逍娜悉的计数模或量何題处理的关艮，也迪难点. 这对学生分析解央何题的能力提出了较高的 宴求.4.嵌在综合題中例6 3位勢生和3位女生共6位同学站成一 4若男生甲不站两均3位女生中有且只有两位 女生相邻，则不同的排法的种数为()(A)3G0 (B)28 &(0216(D)96.M9f 本越量一 ill含有一定約束条件的“不 相邻"何題作为高希试超让很务学生思细泯乱. 不知所惜.注意到“3位女生中有且只有两位女生 相邻”色含着大家所黑悉的"不相邻”问题，又列生 甲不站两笔的反面为甲站在两绸，为此
10、可利用何 樓法衣“3位女生中右且只有两位女生相邻”的大 前提F利用勇生甲不站两竭的反面来间接求嶄. 易知：3位女生中有且仅有隣女生栩邻由分步计 数:原理及插空庄可N> - C; AJ - A*A；种而 -3位女生中有且仅有两位女生相邻R甲站在两 »"可先将3位男生以甲在两端将其三人排成一 排.此时有m =2Af种挣法，然后将3位女生分成 1、2两份此时有m, = CI种分法再将两粉女生 放人三个男生所師下的三个空位中的任意两个空 位上(瞧去甲量边上的空位)，毎位一盼°此时有弘 =A；种不同的放法址肓将2位女生所在的一份 进行内部持列此时有m - A?种不同的
11、排法于 是由分步计数原理知共有N, = 2Aj Aj A；种从而由间接法知共有N- 288种不同的排法故选（B.通过上述相关试题的设置与分靳便anm 晰地看到隐嚴在排列组合中的一些影异而质同的 “不相邻”何題的求解本质一播空法然而不变 之中又晡厳曹变的规律一对于相同元家间的 "不相邻”问4S利用插空法求解时其本质为姐合问 题（除不均匀分18摘空外丽对于不同元素间的 不相邻问題利用插空法求解时实则为排列冋 題其中合理的转化与化归冕问&处理的关馋, 也是進点宜是以能力立恵为京旨的贡整体现.作 为一线数学數歸我们耍熟悉该类何题的一些常 见的不同变身滋肓有直识的让学生对这些变身 进行比较、反思进而切中问題婴宮.最后进行归 纳整理形成&模式以便事生更好的把据问题 本质以不变来应万变.