《培优竞赛二次根式的化简与求值含答案汇总汇编.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《培优竞赛二次根式的化简与求值含答案汇总汇编.docx（20页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、学习-好资料专题01二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、 换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、 二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式 与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特
2、殊与一般，存在与不存在等，数学 就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展 想一想：若x 、科二n （其中x, y, n都是正整数），则x,. y,、n都是同类二次根式，为什么?例题与求解【例1】 当x= 彳002时，代数式（4x3 -2005x-2OO1 ）2003的值是（）2003A、0B、 1C、1D、i 2（绍兴市竞赛试题）【例2】化简(1).b ba”a .b（黄冈市中考试题）（五城市联赛试题）、6 4、3 3、2_（,6、3）（,32）（北京市竞赛试题）更多精品文档3、话-、币-26 3.3 - 2 18.5 2、3 1（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观
3、察每题中分子与分母的数字特点，通 过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也 广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度【例3】 比（.65）6大的最小整数是多少？x = . 6 亠：5, y =6 - 5,（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设想一想：设 x = ,19-8.3,求432x -6x -2x 18x 2332x -7x 5x 15的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）形如：；A -B的根式为复合二次根
4、式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式【例4】 设实数x, y满足（x X 1）（ . y *1）=1，求x+ y的值.（“宗泸杯”竞赛试题） 解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化有些竞赛培优的Word初中的一套小学竞赛培优的视频讲义小初高各科视频讲义新概念可以 加我 q 468453607 威 信 t44254659713699771074【例5】（1）代数式IX2 4 _ （12-X）2 9的最小值.（2）求代数式. x2 -8x 41 x2 -4x 13 的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，Ja2 +b2
5、的几何意义是直角边为a，b的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设 y = J（X _4）2 +52 + J（X _2）2 +32，设 A（x，0），B（4，5），C（2，3）相当于求 AB+ AC 的最 小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式【例 6】 设 m = Ja+2ja1 + Ja2>/a1（1 Wa 兰2），求 m1 + rm + m *m +|l + m 47 的 值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值能力训练1.化简:(71004
6、(3)2008 20083152008 2008735（“希望杯”邀请赛试题）2.若x + y = 萨逅 xy = 沪丁5，贝U xy =（北京市竞赛试题）A997+丄3.计算：(,1997 -，1999)( .1997 - 2001)(、1999 -2001)(、1999 - . 1997)72001(, 200 - .1997)(、2551 - .1999)(“希望杯”邀请赛试题)4.若满足0 v xv y及J1088 =云+为的不同整数对（x, y）是 （上海市竞赛试题）5.如果式子.(1)2(x-2)2化简结果为2x 3，则x的取值范围是()A. xw 1B. x> 2C. 1
7、w xw 2D. x>06、计算,14 65 -、,14-65 的值为()A. 1B. ,5C. 2.5D. 5（全国初中数学联赛试题）7. a, b, c为有理数，且等式 a b、.2 c、3二、.、5 2-6成立，则A. 1999 B. 2000C. 2001 D. 不能确定2a+ 999b+ 1001c 的值是（）（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：,3是不相等的无理数,乙:,3是不相等的无理数,是无理数;a +P丙:,3是不相等的无理数,是无理数;其中正确命题的个数是（A. 0个B. 1个C.2个D.3个9、化简:(1)X y-yXy、x xyx；y yxy、x_x,y
8、(2)（全国初中数学联赛试题）2/63 2 -，5.11 5j7 467 历.6642学习-好资料1更多精品文档J5_724、10 3 一用一 -15（天津市竞赛试题）y/ + y/53-、6 -、10.15（“希望杯”邀请赛试题）10、设x二33 5，求代数式2(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)的值.（“希望杯”邀请赛试题）11、已知 7x2 9x 1 ' 7x2 -5x 17x，求 x 的值.12、Jn +1 一亦 % _ Jn +1 + Vn,n 1 n .n 1 ： n（n为自然数），当n为何值，代数式19x2123xy 19y2的值为1985 ?B级1.已知x= 1 _
9、,y=，则x3+12xy + y3=.（ 四川省竞赛试题）2+船2_732.已知实数 x, y 满足(x - . X2 - 2008)( y - .、y2 - 2008) = 2008，则 3x2-2y2 3x - 3y - 2007 = (全国初中数学联赛试题)（重庆市竞赛试题）3. 已知"宁那么14. a =幼4 +幼2 + V1,那么一+ - + -3 = .（全国初中数学联赛试题）a a a5. a, b为有理数，且满足等式aV 4 2 '3则a+ b =（）A. 2B. 4C. 6D. 8（全国初中数学联赛试题）6. 已知 a = 、2 -1,b =2、2 - -、
10、6,c-2，那么 a, b, c 的大小关系是（）Aa : b : cB. b<a<c C. eVb<cD. c<a<b7.（全国初中数学联赛试题）的值是（1A. a -a1B.aaC.D. 不能确定若a表示实数a的整数部分，则.J16_6J7等于（A. 1B. 2C.3D. 49. 把（a-1）；. - 1中根号外的因式移到根号内，则原式应等于（V a 110、化简:(1)998 1999 2000 200111 12、11、23.2 2 <3+川+1100.99 99 1008 2 亦- 一而"；6.3 - .2(4) 2(6-2.3-2 5；
11、 15)（陕西省竞赛试题）（武汉市调考题）（“希望杯”邀请赛试题）（新加坡中学生竞赛试题）（山东省竞赛试题）（太原市竞赛试题）11、设 0 ： x ： 1,求证、5 i X2 1_ 1 (1 - x)2 ： 1. 2 （“五羊杯”竞赛试题）12、求. x2 -8x 41 - x2 -4x 13 的最大值.13、已知a, b, c为正整数，且 £a +b为有理数，证明:J3b+ca2b2c2为整数.学习-好资料专题01二次根式的化简与求值例1 A 提示：由条件得 4X2 4x 2 001 = 0.例2原式石(苗一中七)paVbb= 2、ab3更多精品文档+77)-石(75+77)-原式
12、=2、6 5.().2573.763 -33.23(3)原式=3 +6.3 .3.2§ 、33.2(4)原式=5 3.3 - 22、3 3 .3 - 2 厂i3 3 - 2=3 J3 - V2 .5 2.3 i例 3 x+ y= 2 6 , xy= 1,是 x2 + y2= (x+ y)2 2xy= 22 , x3+ y3= (x+ y)(x2 xy+ y2) = 42 6 , x6+ y6=(x3 + y3)2 2x3y3= 10582 . ov .6- 5 vi，从而 ov .6- /5 6 <i,故10 581 <65 6< 10582.例 4x+ . x2
13、11 2= Jy2 +1 y；同理，y+ J y2 +1 y , y2 1 = ' x2 1 x.由 + 得 2x = 2y,x+ y= 0.例 5 (1)UxX * X 1学习-好资料构造如图所示图形，PA= 我 +4 , PB= J(12 x$ +9 .作A关于I的对称点A',连A'B交I于P,则A'B=125 = 13为所求代数式的最小值.设 y= J(x4 j+5* 2 + J(x 2卄32，设 A(x, 0), B(4,5), C(2, 3).作C关于x轴对称点 Ci,连结BG交x轴于A点.A即为所求，过 B作BD丄CG于D 点,更多精品文档m =.
14、a -12 a -1 112 +.a -1 )2ja _1 1 +12 = J( +1 ) +48 = 0.其正根为x = 12712. n = 2 提示：xy= 1, x+ y= 4n + 2. AC + AB = GB =. 27x2 -5x13) = 14x.A7x29x 13 .7x2-5x13 = 2, 2 .7x29x 13 = 7x+ 2,. 21x28x82 = 217B 级 1. 642.1 提示：仿例 4,由条件得 x= y,.(x . x-2008)2= 2 008, x2 2008 x.x2-2008=0, x2 -2008 ( x2 -2008 x)= 0，解得 x2
15、= 2 008 .原式=x2 2 007= 1 .3. 4. 1 提55示：T (x2 +5x+4)(x2 +5x+6).11.由题设知x> 0 , C7x29x 13 + .7x2-5x13 )( .7x29x 13 2 1)a = 2 1，即丄=3 2 1. 5. B 提示：由条件得 a+ b 3 = 3+. 3 , a= 3, b = 1, a7. B 8. B6. B 提示：a b= .6 12 >3 2、2 1 、2 = 0.同理 c a>09. D 提示:注意隐含条件a 1 v 0 .10. (1)1 998 999.5提示：设k = 2000 ,原式=91119
16、0提示：考虑一般情形 乔帀齐帛1 =石乔原式=282、15 - 2 .53.5.3- 2 .53-_-=J 5+J3 . (4)2 J 5J311 .5,3 、2构造如图所示边长为 1 的正方形 ANMD, BCMN.设 MP = x,贝U CP= & +x2 , AP= j1+(1_x$ , AC= 75 , AM = 2 , ACW PC+ PAv AM + MC,则 5 w .1 x2 + 1 1 -x 2 v 1 +12.设 y= x2 -8x 41 . x2 4x 13 = x _452 - . x _232，设 A(4, 5), B(2, 3), C(x,0)，易求AB的解
17、析式为y= x+ 1,易证当C在直线AB上时，y有最大值，即当y= 0, x= 1,. C( 1,0), - y= 22 .3b c3a b .3b _c3b c i、3b -c缽一"2 3 2b_ac为有理数，则b2 ac“ 又3b - c2222222a + b + c = (a+ b+ c) 2(ab + bc+ ac) = (a + b+ © 2(ab + bc+ b ) = i.a b c i 一 2b (a + b+ c) = (a + b + c) (a b + c), 原式=a b + c 为整数.a -1 -1 2 .t 1 w a w 2, 0 w p
18、a -1 w 1, 1 wJa 1 K 0,. m = 2.设 S= m10 + m9+ m8+ m 47= 210+ 29+ 28+ 2 47 ，2S= 211 + 210 + 29+ 22-94 ，由一，得 S= 211 2 94+ 47 = 1 999.A 级 1. 12. .5-2 3. 0 提示：令 1997 = a,1999 = b, 2001 = c.4. (17, 833), (68, 2 _ 2 2(x + y)3 + 2衣+2-5(庚 + 彩)-(J5)612), ( 153,420) 5.B 6.C 7 .B 8 .A 9.(1)(2)原式=x_y灵+迥反4342-45=.325 . (3).11_.6 (4)"" (5厂32 10. 48 提示：由已知得 x2 + 5x= 2，原式=