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1、q(x)= x2ix2ir(x)=8i1.多项式除法(1 ) f(x)=3二 x3x2x 1g(x) = 3x22x 1普通带余除法f(x)=(17x -)g(x)-262x -3999(2) f(x)=2二 x2x5g(x)=x2x 2f (x)=(2 xx 1)g(x)5x72. ( 3)综合除法f (x) = x3x2xg(x)=x1+2i3整除(1)若 x21 f1(x3) + x(x3)则(x1) fi(x)(x 1) f2 (x)证：设x21的两个复根为3i2由于3x -12=(x 1) ( x x 1 )所以3=13=1因为2x x 1 = (x(x)(x)f1 (x3) +x
2、f2 (x3)故有f1( 3)f2( 3)0的即f2(1)0f1( 3)f2( 3)0f1(1)f2(1)0解得f1(1)=0f2(1) = 0 所以 (X 1)| f1(x)(x 1) f2 (x)(2)如果(x 1) f(xn)那么(xn 1)f(xn)证明：(x1) f(xn)所以1是f (xn)的根，于F是 f (1n) = f (1) = 0)(x即(x 1) f (x)故存在多项式g(x) 使得f (x) = (x 1) g(x) 从而 有f(xn) = (xn 1) g(xn)此即(xn 1) f (xn)(3) xn 1 复域实域因式分解2k2k解令：k = cos +i si
3、n( k = 0 1 n1)xn 1复域内恰有n个根k(k = 0 1n 1)xn 1 = (x1) (x 1) (x2)(x n 1)实域：kn k)22kk+ k = 2 cosn2k,彳-4= 2cos-4 0( k = 1 n 1)nx +1是实数域上的不可约多项式当n为奇数时，有xn 1 = (x 1)x2-(21 n 1) x +1X-( n 12n 2) x +12-当n为偶数时，有xn 1 = (x21)(x 1)x -(21 n 1) x+1 x口)x+12-=(x 1)(xn 221)x -2xk 12kcos +1n4有理根f (x) = an xn + an1 xn 1
4、 +ao是一个整系数多项式而-是s个有理根则s an r ao例：f (x) =4x47x2 5x 14因数，而分子必为常若f (x)有有理分肥，遇有理分化为既约分数后其分母为首项系数度1 1 1 1数项-1的因数，所有可能 的有理根为1, -1，-，-2 2441 11171111验证有 f (1) = -9f( 1) = 1 f ( ) = -5 f () = 0 f ( ) = - f ()=-2 24644641故-丄是f(x)的有理根，又综合除法 21- 是f(x)的2重根25.最大公因式：(1 )若(f (x) , g(x) )= 1,证明：对任意正整数 n ( f (x) , g
5、n(x) )= 1(2) ( f (x) , g(x) )= 1, ( f (x) , h(x) )= 1，证明(f (x) , g(x) h(x) )= 1(d(x)0 且 p(x)是d(x)证明：法 2.反证 若设(f (x), g(x) h(x) )= d(x)的一个不可约多项式，则p(x) f(x) , p(x) g(x) h(x)，但因(f (x) , g(x) )= 1,所以p(x)不整除g(x),p(x) h(x)这与(f (x) , h(x) ) = 1 矛盾， (f (x) , g(x) h(x) )= 1(3) 若(f (x)， g(x) )= 1,那么(f (x) g(x
6、) , f (x) + g(x) )= 1证明：由于(f (x) , g(x) )= 1,存在多项式u(x) v(x)使得u(x) f (x) + v(x) g(x) = 1u(x) f (x) - v(x) f (x) + v(x) f (x) + v(x) g(x)=(u(x)-v(x) f(x) + v(x) ( f(x) + g(x) )= 1同理 u(x) f (x) + v(x) g (x) - u(x) g (x) + u(x) g(x)=(v(x)-u(x) ) g(x) +u(x) ( f (x) + g(x) )= 1由互素的充要条件知(f (x), f (x) + g(x
7、) )=1(g(x) , f (x) + g(x) )=1若(f (x) g(x) , f (x) + g(x) )= d(x) ,( d(x)0 且 p(x)是d(x)的一个不可约多项式，则p(x) f(x) g(x)且p(x) f (x) + g(x)又(f (x), f (x) + g(x)=1 ,p(x) g(x)这与(g(x), f (x) + g(x) )=1矛盾， (f(x) g(x) , f (x) + g(x) )= 1(4) 若(fi(x), gj(x) )= 1( i = 1, 2.m , j = 1, 2.n )则(f,X).fm(x) , g1(x)gn(x) )=
8、1证明 由于(f1 (x), g j(x) = 1( j = 1, 2.n )首先证明若(f1(x), gj (x) )= 1, ( f1(x), gi(x) = 1(i , j = 1, 2n )则(f1(x), gi(x) gj(x) = x 若不然，设(f1(x), gi(x) gj(x) ) = d(x)(d(x)0 且 p(x)是 d(x)的一个不可约多项式，则 p(x) f1(x)且 p(x) gi(x) gj(x)又(f1(x), gj(x) = 1,则 p(x) gi(x)这与(fjx), gi(x) = 1 矛盾,(fl(x) , gi(x) gj(x) )= 1重复此过程，
9、得到(fi(x) , gi(x)gn(x) )= 1同理可证(fi(x) , g1(X)gn(X) )= 1再次反复应用上述证明过程，便可得到(fl(X).fm(X),gl(X)gn(X)二，行列式ai6. (1)(2)7.b4DnDn 1 + (Dn= Dn8. Dn =a2bsb2a3a42+b2)1)n1+ (1)2n 1D2na11 1a2a21a1nan a1 =a1b4bia4a2b3b2a3ababa ba ba b=cb ab ab aba2nba=c2n 2a3a3an1an1an.=1- a1 + a1a? +=(1 X)Dn 1-yDn= ( 1 X )Dn 1 - X
10、Dn 2整理得Dn- Dn 1 = =xnan+0an11)na1 anDn 28.基础解系x13x1x2x22x22x3x3 x4 x5 0 x3 x4 3x5 0 2x4 6x5 01111132113解：其系数矩阵A =对其只作行的初等变换01226543311 1 111111110122601226A0 1 226000000122600000x1 x2x3 x4x50原方程与 1 2同解x2 2x32x46x50令 X3 = 1 , X4 = X5 二0 得 1=(1，-2，1， 0，0)令 X3 = X5 = 0,X4 二1 得2 =( 1，-2，0， 1 ， 0)令 x3 =
11、X4 = 0,X5 二1得3 =5，-6，0， 0， 1)4x23x45x13x3x5 03 是方程组的一个基础解系，全部解为x=c1 1+c22 +c33( c1 ， c2,C3为任意常数)x1x23x4x50( 2 )x1x22x3x404x12x26x33x44x502x14x22x34x47x5011031110解：1121 0 022其系数矩阵A42634066242470221103102221000930000012312115 010 5x-i x2 3x4 x5 0原方程与2X2 2X3 X4 X5 09x4 3x50同解,令 X2 = 1 ,X5 = 0 得1 =( -1
12、,1,1, 0,0)51令 X2 = 0,X5 = 1 得2 =( 2,0,-1)63则-2是方程组的一个基础解系，全部解为x = C| 1 + c2 2( g , c2为任意常数)9.证明：1 2 3无关的充要条件 1 + 2 ,2 +3 ,3 +1线性无关k1(1+2)+ k2 (2 +3 ) + k3 (3 +1 )= 0即(k1+ k2)2+ ( k1 + k3)1 + ( k2 + k3 )3 = 0由题设123线性无关k1k310k1k20解得k1:=k? = k3 = 0k2k301 +2 ,2 +3 ,3 +1线性无关(1 )证明：设有线性关系式12n 1，贝V 1 +2 ,2
13、 +3 ,当奇数个线性无关向量2n + 2n 1 , 2n 1 +1 也线性无关证明：设有线性关系式ki+ k2(2+3)+ +k2n 1( 2n 1 +1)= 0(k1+k2n 1 )1 + ( k1+ k2)2 + +( k2n+ k2n 1) 2n 1 = 0又由2n 1线性无关，则有k1k1k2n 1k2k2nk2n 10其系数矩阵A =.0其行列式A = 20其方程组只有零解k1 = =k2n 1 = 01 +2 , 2 +3 ,2n + 2n 1 ,2n 1 +1线性无关(3)若有偶数个线性相关向量2n若有偶数个线性无关向量12n2n +证明：设有线性关系式k1 (1 +2) +
14、k2 (2 +3)+k2n(2n +1)=0(1即(kl + k2n)1 + ( k1 + k2)2 + .+(k2n+ k2n 1 )2n = 02n+ 1相关,1也相关，)(2)又若12n线性相关，即(2)式中存在不为零的系数，不妨设为ki+k2不为零,则ki， k2至少一个不为零即 k1, k2k2n不全为零，2n +1相关若2n线性无关，则有k1k2nk2其系数矩阵.0方程组存在非零解即k1,k2n 1k2n10 .0011 .0011 .0001 .00 . .0+( 1)2n 1. . .100 .1000 .100 .1100 .11则 A =0k2n不全为零k22n+ 1相关1
15、0.设 1 =1 ,2 =1 + 2 ,r线性无关，证明r线性无关证明： (设上述矩阵为A为上三角阵，显然即(r ) A1ananA可逆设A1a21a2n解得r也可以被r等价,r线性无关11.设秩(证明：存在(2)设它的一个极大线性无关组证明:i1ir是i1iri1irr线性表出它们秩相等，又n，且 i 0,2,-r线性无关,k1i1i1j n)使得 i可由1s的秩为r，证明:n线性表示,s中任意r个线性无关向量都构成1，.,s的一个线性无关组又向量组j ( j = 1, 2,.,s )是线性相关的，否则，原向量组秩超过了rj线性相关，则存在不全为零的一组数k1, k2kr 1使得ir + k
16、r 1 j = 0若kr 1 = 0则由k , k2 kr不全为零 知ir相关与i1ir的选取矛盾，kr 1 0即j =-丄 (k1 i1 +kr ir )kr 1h.ir是1，.,s的一个极大线性无关组，又由h.ir任意性知,命题成立。(3)设1，.，s的秩为r， i1.ir是1，.，s中的r个向量，使得s中每个向量都可以被它们线性表出，证明i1ir是s的一个极大线性无关组证明：由题设知i1ir与s等价，由等价向量组有相同秩i1ir的秩也为r，所以i1ir线性无关，而,s中任意一个向量都可以被i1ir线性表出,i1ir 是 1 ,s的一个极大线性无关组。12.1,2,3是 Ax = b的三个
17、解，且r ( A) = 3.124求另一个解103导出组解:2 111另一个解1 +=3 07313.证明：A是n n矩阵n 2)，那么r(A) nr(A) n 1r(A) n 1n秩(A ) = 10证明: 当r(A) n时，A 0,即A可逆，又A A = A A = A E1A = A Ar ( A ) = n 当r(A) n 1时，贝V A A = A A = A E = 0, A的列向量是 Ax = 0的解，又r(A) n 1, Ax = 0的解基础系只有一个非零向量。即r ( A )1，又r ( A ) 1 所以 r ( A)= 1. 当r(A) n 1时，则A的所有n 1阶子式全为
18、零，由伴随矩阵A =( A )定义知A = 0， r ( A)= 0.n i(2) 证明 A =A 其中A是n n矩阵(n 2),证明 A A = A A = |A E AA = A|A=|AE = Ani |n 1当A 0时，A = Ar,n 1当 A = 0 时，A = 0 时，A = 0. A = A r(A) 0, A A = A E = 0，由 r(A)+r ( A ) n,故 r ( A ) n卄n 1即A = 0A = A命题得证。(3) 设A B是n n矩阵，证明，如果 A B = 0,则r(A) + r(B) n证明：记B =(1，.n),由A B = 0得A ( 1，.n
19、) = ( 0, 0,0)即 A j = 0( j = 1,.n )即 j 是 Ax = 0 的解向量，故r(B) n-r(A) r(A) + r(B) nk12k 1(4)证明：如果 A = 0 那么(E A) = E+ A+A + .+ A(E+ A+A2 + .+ Ak 1) (E A) = E + + Ak 1-A-A2- Ak=E-Ak = E (E A) 1 = E+A+A2+.+ Ak 11114. A = , A是3*3阶矩阵，求A - ( A) 1的行列式23解：aa=a|a=|ae = A3 A = A2 = 1' 11 111 1而(A) 1 ( A) = E(A
20、) 1 = 3 A 13 33(；A) 13A 1=33A 13又 A A 1 = E A 1 = A = 2|a|113(3a 3*2 =54A(A -A)1)1111=AA - E=-E-E=一 E332361 1A(A(-A) 1)=A1 1A (-A) 13311081000010015. A =10100308且 A X A 1=X A 1+3 E1 1解：AXA = X A +3 E 两边同时右乘A,X +3 A(A E)X = 3 A A A X = A X +3 A AA A = A A = A EA = 2A X = X+3 AA A X = A X+3 A A(A A A
21、)X = 3A A(AE A )X = 3 A EX = 6(2E A ) 16 0 0 00 6 0 0= 6 0 6 003 0116. An n Bn n 证明 r (ABAB E 0(1)证明 G =B E 0A A= A A = AA = 2(A ) 1E) r(A E) + r(B E)A E B EB 00 BEE 0 _r(AB E) r(G) r(F)而 r(F) = r(AE) + r(B E)(2)An nBn n证明r(ABAB)r(A) +r(B)人ABA B 0ABB E0证明：令G =B0 =0BE017. Ak = 0( k2 )证明(E A) 1 = E2+
22、A+ A + .+Ak1k2k 1正展 E-A= (E A) ( E + A+A+ .+ A )2k 1E = (E A) ( E +A+ A + .+A )E-A = E +A+A2 + .+ Ak 1(E A) ( E+A+A2+.+ Ak 1 ) = E+ A+A2 + .+ Ak1-A-A2- Ak =E-Ak = EE-A = E +A+A2 + .+ Ak 1因为 E A =3=(-1)(-5)18. f (x-i,.,Xn)=XAX二次型12X1(X1 , X2 )写出二次矩阵34X23219设 A =(A)=a10-5 A923解：XT = A，存在正交阵，使得 T 1AT为对
23、角阵故A的特征值为1= 1 ,2 = 5且属于1 = 1的一个特征向量为X1 = 1属于2 = 5的一个特征向量为 X2 =只要证T =( x1,X2)且求得T则 T 1AT = 10且B100510B9059而 A = TBT 1A10 =TB10T05101212121212121 _10521匚105212121 _10521匚1052A = TB9T05912121212121215921592121215921592A10-5A9 =121210521匚1052121210521匚1052-51212159215921212-592-5921=-21步骤:(1)求矩阵特征值A=0X1
24、 ,., Xn根据特征值求每一个特征值的特征向量,(3)写出正交矩阵T =(11T 1AT = B =A = TBT 1Ak = TBkT2 2 220. f(X1,X2,X3)=tX1 +t X2+t X3+2X1 X2+2X1 X3-2X2 X3证明：t 2时f (x)正定，t0时f (x)负定3、2证明：写出二次型的矩阵因为1 = t2 = t2-1若 f (X1, X2 , X3 )正疋，则t可得t 1,t1综合得t(t负定矩阵:f(X1, X2，X3)负定，则tt2 11)2(t所以2) 0奇数阶顺序主子式的行列式偶数阶顺序主子式的行列式0,(t 1)2(t 2)0,300,302
25、2 223将二次曲面 4 X1 +4 X2 +4 X3 +4 X1 X2+4 X1 X3+4 X2 X3 = 1化为标准方程解：二次型矩阵为 A =可求得 EA = (8)2)2 A的特征值为1 = 2 = 2,求得 1 =2 = 2的特征向量:x1 =(1,0,1)T , X2=( 1,1,0)T3 = 8的特征向量：X3=(1,1,1)T2正交化，单位化1,0,1)2 = X2 -(X2, 1)1)'11 = ( 1,0,1) - 2(1,0,1)=(-1 , 1,-)2 2单位化1=( ，0，1_ 空2 =(- ，6将x3单位化113）,3，.3，1.61、26,3061331.
26、6126、3令 X=T Y,则T =3 =(010010002解（3） 二次型矩阵求得其E A=(1)(00010010' 2 2 2则 X A X =2 yi +2 y +8 Ys=11)A的特征值i2 = 1 ,3 =4 = -1，相应的特征向量为10103 =小，4 =,01014正交 单位化得:10101 = ， 2 = .0101令X=TY,其中T1010221010220101.2211020：2正交化 单位化(2 , 1)2 -(1, 1)1011110111=202 = 213 = 204 = 20101与 2正父， 3与0011(3 ,2)(3,1)3 一3“2 -1
27、 一(2 ,2)(1,1)(4,1)(1, 1)(4,2)(2,2)(4 ,3 )(3,3)再单位化毎旦基至 -114 一 6 6 6 2 2222. f (X1,X2,X3)= X1 X2+ X1 X3 - X2 X3(1)构造平方项，化为标准形注：奇个变量作二次变换偶个变量作四次变换X1Y1 Y2解：xy1y2X3y3f(x1,X2,X3)= y-y|+ y1 讨 3 +仆3- y1 七 + 壯 纸一 y；-(y2 丫3)2+y3作非退化线性替换：yZ1y2Z2Z3y3Z32f (X1, X2, X3)= Z1 2 2-Z2 + Z3X1Z1Z2Z3将代入，得X2Z1Z2Z3X3Z3所以替
28、换矩阵1 1010011 0T 一 110010一 11 00 0101111 110 0T 1AT = 01 00 01(2) f (x) = 8x1 x4+2 X3 x4 +2 x2 X3 +8 x2 x4X1*讨4解：令 X2*2*3X3 y2 y3325328y3)-8(y4 8*2 5y3)X4 y y4f (X1, X2, X3,X4)= 8(% A853Z1y1y2- y388Z2y2令Z3y353Zy2y3 y488得二次型2 2 2 2f = 8乙 +2 Z2 -2 Z3 -8 Z4323.在 F 中T(X1,X2,X3)T53y1Z1Z2Z38 8y2Z2即y3Z353y4
29、Z2Z3Z48 8L(F3)变换T求其在q , e , e3下的矩阵解：T 1=T(1,0,0)=(2,0,0)T 2 = T (0,1,0)=(-2,1,0)T 3=T (0,0,1)=(0,1,0)22 0所以 T(e1,e2,e3) = (e(2,e3)01 100 024. T 1 =(-5,0,3) T 2 =(0,-1,6), T3=(-5,-1,9)1=(-1,0,2), 2 =(0,1,1), 3=(3,-1,0)T(X1,X2,X3)=(2( X1-X2), X2+X3.X1)1,2,3是F3的一组基，求T在标准正交基e1,e2,e3下的矩阵解:(103505T( 1, 2,
30、3)=(e1,e2,e3) B =(e1,e2,e3)011369令 T（e，e2,=(久仓®) C1 03因为A =0 1 1=-6-1 = -70.A可逆2 1 0(©1,e2 ,e3 ) = (1 ,2 ,3)AT (e1, e2,3) = T( 11,2, 3)A = (e),e2,e3)CC = T(1,2,3) A1 = B A 1325. F中给定一组基（I）1 =（ 1,0 , 1)2 =(2 , 1一组基（n) 1 =(1, 2, -1) 2 =(2 ,2 , -1)3 =T L(F3)且T( i)=i( i = 1,2 , 3)(1) 求(1 , 2 ,
31、3 )到(1 ,2 ,3）过渡矩阵（2） 写出T在（12 ,3）下矩阵（3）写出T在（1,2 ,3）下矩阵(4)=1 +2 2 +3 3 求 T 在-L 3一、八一、亠-1 , 2,3下坐标解;设e1,e2, e3是F 的标准止父基，且(1 , 2 ,3)= (ei,e2,eb) A(1 ,2 ,3 )=1 21 122由题设知A = 011B =2211 01 111A 0,A可逆，(1 ,2 ,3)A1=(e©©)3)=( ei, e2, ©3 )011 =(ei,e2,e3)A2100)3 =( 1, 1 , 1)(2,-1 , -1)(,2(3)B11 ,
32、2 ,3)AB1过渡矩阵X = A BX1X2X332 32 532321221 1- CO 1173121212 补1A1 B D B 1 A= A1 B3 = 1属于1的特征向量T(1,2,3 ) = (12 ,3)=(1 , 2 ,3 )A1 B(3),T (1,2 ,3)=(1,2 ,3)DT (1,2,13) a1 B =(1 ,2 ,3)A 1 B DT(1,2,3 ) = (12 ,3 )A1B D B 1 A1(4) T=T ( 1,2,3)2311=T(1,2 ,3)2=(1 ,2 ,3)2331坐标为23整理可得D = A1 B26设A是3阶实对称矩阵，特征值1 = -1,
33、2为，求矩阵A，其中 =(1, 0,-1)解：A = 1 设 A = X2 X4 X5X3X5X6XiX31X2X50X3X61且迹 X1 + X4+ X6 = X-I + X2 + X3 = 1整理得X1 = X3 -1X2 = X5X4 = 3-2 X3X6 = X3 -1令X3= 1X5= 0 得X1=X2= 0X4= 1X6= 0矩阵法：1 0A为实对称矩阵存在正交矩阵P。使得p'ap = 0 10 01=0 找到2个与正交向量15 6327. T L（v） T在（$（2,仓）下矩阵，A =1010 21求T的特征值，特征向量，求A的特征值，特征向量28.欧氏空间，实内积空间(1) A = (aj) n 正定阵 内积（，）=A Rn成欧氏空间 求单位向量1 =( 1, 0,0),2 =( 0, 1, 0,.,0),n =( 0, 0, ., 1 )度量矩阵 写出柯西-布涅柯夫斯基不等式则 i = 0 1 + +1* i +.+ Oni = 1, 2,n解（I）)=A =(n ) (k ,)=k（川）（+