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1、刚体力学§ 1 刚体运动学§ 2刚体定轴转动定理§3刚体定轴转动中的功和能§ 4刚体定轴转动的角动量守恒本章教学要求：了解转动惯量概念。理解刚体转动中的功和能的 概念。理解刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在 绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。了解进动 的概念。本章重点:刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。刚体质点系统的运动1=问题本章难点:刚体绕定轴转动，刚体角动量守恒定律上一页 下一页§ 1刚体运动学刚体：不发生形变的物体（理想模型）刚体运动形式：平动+转动（绕某轴线转动）（固）定轴转动，定轴可以穿过刚体，也可以在
2、刚体之外。任一垂直于转轴的平丽尔为转动平面O设某个转动平面与转轴奁于O点，则该转动平面上所有质点均 : 绕。点作圆周运动（半径不同）O /可用0，A6>, cd. &描写刚体运动角速度矢量历，方向由右手螺旋法则决定，且 方只可能有两个方向，即沿转轴正向或逆转轴方向。因而, 可用投影量（正负）表不。设刚体上某质元A冋离转轴距离为则其线速度巧与角速度历的关系是其大小为切向加速度法向加速度Q参考力向2V；r.nOo§ 2刚体定轴转动定律质点系角动量定理的一般形式叼外=dLdt左Q页书Q枣遑凹栗盘幼总左Q页书Q枣遑凹栗盘幼总在转轴（z轴）上分量%dt左Q页书Q枣遑凹栗盘幼总左Q
3、页书Q枣遑凹栗盘幼总：合外力矩在z轴方向分量; L7 :刚体绕z轴的角动量。上式略去下标，简写为dLdtM = 一左Q页书Q枣遑凹栗盘幼总t Z一、刚体受力矩1.外力月在转动平面内。月对转轴力矩M =rixFi（*）E ：转动平面与转轴交点9指向力的作用点的矢量。大小：Miz = sinaz = rtFiT （FiT = Fi sinaz :力的切向分量）方向：右手螺旋，图中向上（沿转轴方向）2外力戶不在转动平面内，将其分解为丘和£E：平行于转轴的力，对冈M本转动不起作用；斤：垂直于转轴的力（即碎动平面内），其力矩由（*）定义3.刚体同时受儿个力矩时，总力矩为M =9 + + M n
4、由于各力矩也只有两个方向（沿转轴或逆转轴）,因而可用投影代数MZ = HMiz = E riFir = Flrrl + F2rr2 +I略去下标,M =M i =工 nFir = FXTrx + F2Tr2 +I、刚体定轴转动角动量，转动定律V；刚体上质元A旳相对于转轴的角动量为：贝见=辽二smyT co = （，左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘=工厶=工Am/%Amz )Q定义：刚体对于转轴的转动惯量J为:J 7 Am./I I贝！JL = Jcd由于M=些，则dtM二卩二丿字二丿。 .dt d 扌外力矩的代数和合外力矩形似F - maM Jcc刚体受合外力矩：M =工陆=工吓迁=耳/ + F2T
5、r2+.I刚体的转动惯量：JYAm.r2Z 丿I II上式即为刚体定轴转动定理：刚体的转动惯量与角加速度的乘积。受合外力矩等于刚体对同一转轴0刚体产生角加速度Q原因是受外力矩M作用。M与a是投影量（代数量），同正负。H） M与J是对同一转轴而言的，J是大于零的。解:J总=/杆+'子弹例：杆M绕端点转动，子弹加从。处打入，求系统的J。= Ml2 +ma23四、转动定理的应用i）常用于研究刚体-质点构成的系统；“）质点作受力分析，刚佈乍力矩分析。质点运动方向与刚体转动方向要协调。（即刚侏转轴正向与质点运动正向自洽）;加）对质点用牛顿定律列方程，对刚体用转动定律列方程;zl）关联方程 a =
6、 Ra例：已知定滑轮质量 半径“J = -mr2,2 各绕中心轴转动，两质点加，2加用轻绳连接，由静止释放。 求：两滑轮之间张力T说明：中学内容中定滑轮仅为一连接件，绳中张力处处相同，但现在滑轮转动不可忽略，绳各处张力不同！mg2mg解：设整体顺时针运动，即两滑轮转轴正向向内。右质点2加正向向下, 左质点加正向向上，受力分析如图。左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘r右质点2 加g_§=2ma左质点T、_mg =ma右滑轮Tr-Tr-m 2 二一ra2左滑轮TF弋九关联方程a = ra解出T =例2：已知滑轮gO.lm，J = lxl0-3kg.m2,绕中心轴转动。F = O.5r (S/)(
7、方向如图)，初始静止。求21秒时二？解：M = FR = 0.5 忌T deM = Ja = J dt0 J Joco=50tdt = 25rad/sJo§3刚体转动中的功和能一、力矩作功刚体中质元"在外力戸作用下, 运动了ds,则外力矩作功：dA = Fds = Frd（9 = MA9CCI推广：对整个刚体合夕卜力矩M作功AA = Md0M与d&同向，dA为正；否则为负。可以证明，内力矩作功之和为零。 当刚体由厲-&2位置，外力矩作功：n功力矩的角积累（空间积累）效应。盘Q枣书Q页邕叨哀酸翔总二、转动动能1 2 1 2 2Am,：= Am；v. = Am/
8、PlKlI II I总转动动能：Ek =工呱 =-20）2 = -J（D2三、刚体转动动能定理dA = MdO = J-d0 = Ja）da）dtA = J dA = J Md0 = J J cod cd = 一（材肝）=Ek Eki&1合外力矩作功等于刚体传动动能的增量。四、刚体的重力势能刚体有一质量中心，冈0体的重力势能为其质量集中于质心 点的重力势能。左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘例：已知杆质量弘长人绕一端点转动,"汕初水平静止求位于任意角刖寸，、Q为多少？受力：轴支持力凡、重力加g解法1:用转动定理求重力矩Fr = mg cos 02M = -cosO （向内）2轴力矩
9、M = 0M 叽sO .a = = = cos 0 （与 &有关）J Im/2 213而 d> d0 cocd（X =dt d3 dt d0即ode = adO积分得pcoee3 0cd（co= ad3= cosdJoJoJo2/co = sin得CO2 =sin<9込in。解法2：用刚体定轴转动的动定理力矩作功：A= MAO =竺cosOdO 二竺sin&Jo Jo 22刚体的动能增量为：-J2-02譽sing”宀+翻加上式对t求导数小 dco 3g2co= cos0 dt I df "乜二垫cosOdt2/解法3：用机械能守恒求解研究对象：棒和地组成的
10、系统。 在转动过程中，只有保守内力（重力）作功。水平状态机械能E = 0&角时机械能E = g宀吨护°左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘由机械能守恒可求得左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘a=icos3左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘§ 4刚体定轴转动中的角动量与角动量守恒、质点定点转动的角动量ZL = r x mv大小 L = rmv = mr1 co = J co因而L = Ja）角动量）类似炽（动量）o'om由于Tx尸称为力矩，所UArxmv又称为动量矩，即角动量又称为动量矩。左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘、刚休定轴转动角动量
11、":Li ="刊总角动量L =工厶=工加” 69 = J CO或L = Ja左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘J为常量|转动定理T T dco d(Jco) dL M =Ja = J =-= dt dtdt转动定理更普遍形式dLT da>dJM = = J + cd dt dtdt三、角动量定理MdtdL类似f力称冲量，m術尔冲量矩积分上式d£> =厶一厶=丿一J左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘角动量定理（动量矩定理）：刚体受冲量矩等于刚体角动量增量推广到系统（可以有几个刚体或刚体、质点组成的系统）:工陆外邛孚dt
12、左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘角动量守恒定理1.单个刚体，当M二0时，Jcd =怛量 推广到非刚体，贝I有JT，血/或者 丿 I , 6Z) T ,彳旦 J 血二 J22实际生活中的一些现象I、芭蕾舞演员的高难动作艺术美、人体美、物理美相互结合II当滑冰、跳水、体操运 动员在空中为了迅速翻转 也总是曲体、减小转动惯转动惯量、使身体平应用程序量、增加角速度。当落地 时则总是伸直身体、增大 地。回转运动：1 不受外力矩时：陀螺仪（P112面）2 受到外力矩时:进动2.系统（一般是质点一刚体系统）如果工陆外=0,贝叨厶=恒量厉两刚体 片©0 +220 =丿1© +丿2血2UK 因此，
13、开始不旋转的物体，当 其一部分旋转时，必引起另一-I部分朝另一反方向旋转。廿注意：对于质点，刚体系统的碰撞，4短，内力矩大，外力矩忽略不计, 因而角动量守恒。在此情况下，一般不能满足动量守恒，机械能不一定例：杆质量长绕中点转动，J寺2,开始竖直静止。问e = ?初速水平力射入下端,解：碰撞前角动量L = mv 2碰撞后角动量厶=J CDmv了弹7 7 7 / ' 2 12 J = Jm +JM = m（_）+ 石广碰撞过程中，M的重力矩为零，加的重力矩忽略不计。由角动量守恒，得CD =6mv(3m + M)l问：i）碰撞过程中，水平动量是否守恒？为什么?碰撞前水平动量碰撞后水平动量P&
14、#174; =处Pm、=°P叫=尬与=3m2v3m+ MP叫v仏（动量减少）这是因为轴对杆有一作用力！（也是一冲力，被动约束力）。ii）碰撞过程中，机械倉混否守恒？答：不守恒！因为是完全非弹性碰撞，产生永久形变。左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘例：已知匀质杆®, L；轻绳长/连接小球如 初杆静止，将球拉开一定角度，使球、杆做完全弹性碰撞。问：试设计/长，使碰后球刚好停住。解：设碰撞前球速咕 碰撞后杆角速度为角动量守恒血1%）/ =丿棒丿棒=+加2厶彳（已知）L(1)左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘机械能守恒|mivo叫2 =丿棒=+皿畑2 丿訥2加疋 丿棒&q
15、uot;2左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘例：细棒叫，Z静止放在摩擦系数为“的水平桌上，可绕O旋转，J = 1叫2小球以可垂直击另一端,并以反向弹回。求：（1）碰后棒角速度；（2）开始转动到停止所需时间。解：碰撞过程中，角动量守叵（向外为转轴正向）m2vj = -m2v2l + J co3m2（Vj + v9）co =mJ（2）对棒，用角动量定理（设摩擦力矩MJ二二.摩擦力矩Mr = -jwn g （相当于旳集中于处）解得t = 2叫注1如必页书G空邕凹哀谊恥注关于摩擦力矩在兀处取咖dm = dr元摩擦力df = -/dmg元摩擦力矩 dMr = df总摩擦力矩oxdmCxmxI2I左Q空书Q页邕叨
16、哀:上幼丘例）质量为M、半径为R的转盘，可绕通过中心的竖直轴 转动。开始质量为皿的人相对後盘静止在离转轴中心R/2 处。幵始系统以角速度旋转。然后人相对于转盘以速 度v垂直于R方向走动（与原負动方向相皮），求转盘柏 对于地的角速度。已知：胚加,&00少（孚）, =0 求：呱0解：以M、m为研究对象jmiL工m外力矩=0故角动量守恒嬲骼嚮立转轴的人和转台绕轴转动惯量分别为丿人=叽驴"盘o(0开始人和盘绕轴角动量为:厶二（丿盘+丿人）5上式的投影为为：0人地血人地二血人盘+血盘地=D人盘+盘地t时刻人相对地的角速度为:厶2 =丿人力人地+丿盘力盘地R/办M厶=（/盘+丿人）眇=0
17、人盘+0盘地（2）/人地厉盘土孤盘= t时刻系统的角动量为：0根据题意，人相对盘的角速度 为：v 2v百r飞厶2 =丿人/人地+丿盘力盘地由系统的角动量守恒，可得：厶二厶2人地m? +Wz(3)式代入(2)式，可得:_ 2vX 0人地=_斥+血盘地 ，初(上式代入(4)式，可得：可得:32v02 =丿人(_+血盘地)+丿盘血盘地厶=(丿盘+丿人)Q 厶=厶(5)m 2v盘地S + 2M+冲帀质点一维运动与刚体定轴转动类比记忆质量加转动惯量J位置X角位置&速度卩角速度血加速度a角加速度a质点受力F受力矩M = rFT牛顿定律F = ma转动定律M = Ja左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘质点一维运动与刚体定轴转动类比记忆平动能-mv22转动能丄丿/2力作功A = Fdx力矩作功4= MdOJq动能定理 九=E妙-E%转动动能定理A = Md0 = Jal-Jcof动量P = mv角动量厶=丿血冲量/ = £2 Fdt冲量矩Mdt动量定理厂2J Fdt = mv2 _ mvx角动量定理J Mdt = Jcd2 - Ja左Q空书Q页邕叨哀:上幼丘