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1、复杂电阻网络的处理方法在物理竞赛过程中经常遇到，无法直接用串联和并联电路的规律求出整个电路电阻的情况，这样的电路也 就是我们说的复杂电路，复杂电路一般分为有限网络和无限网络。那么，处理这种复杂电路用什么方法呢?下面，我就结合自己辅导竞赛的经验谈谈复杂电路的处理方法。一：有限电阻网络原则上讲解决复杂电路的一般方法，使用基尔霍夫方程组即可。 它包含的两类方程出自于两个自然的结论:（1）对电路中任何一个节点，流出的电流之和等于流入的电流之和。电路中任何一个闭合回路，都符合闭合电欧姆定律。下面我介绍几种常用的其它的方法。1对称性简化所谓的对称性简化，就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的计算
2、。它的效果是使计算得以 简化，计算最后结果必须根据电阻的串、并联公式；电流分布法；极限法等来完成。一定是相等的，即使用导线把这些点连接起来也不会有电流（或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构 成影响），充分的利用这一点我们就可以使电路大为简化。例（1）如图1所示的四面体框架由电阻都为D在一个复杂的电路中，如果能找到一些完全对称的点，那么当在这个电路两端加上电压时，这些点的电势R的6根电阻丝连接而成，求两顶点 A、B间的等效电阻。C6图2分析:假设在A、B两点之间加上电压，并且电流从 A电流入、B点流处。因为对称性，图中 CD两点等电势，或者说C、D间的电压为零。因此， CD间的电阻实际上不起作
3、用，可以拆去。原网络简化成简单的 串、并联网络，使问题迎刃而解。解：根据以上分析原网络简化成如图2所示的简单的串、并联网络，由串、并联规律得Rab=R/2若每一个金属圈的原长电阻为R，试求图中A、例（2）三个相同的金属圈两两正交地连成如图所示的形状,B两点之间的等效电阻。A图3图4图5分析：从图3中可以看出，整个电阻网络相对于AB的电流流入、流出方式上具有上下对称性，因此可上下压缩成如图所时的等效减化网络。从如图4所示的网络中可以看出，从 A点流到0电流与从0点到B电流必相同；从 A1点流到0电流与从0点到B1电流必相同。据此可以将0点断开，等效成如图 5 所示的简单网络，使问题得以求解。解：
4、根据以上分析求得 Rab=5R/48例（3）如图6所示的立方体型电路，每条边的电阻都是R。求A、G之间的电阻是多少？分析：假设在A、G两点之间加上电压时，显然由于对称性D、B、E的电势是相等的，C、F、H的电势也是相等的，把这些点各自连起来，原电路就变成了如图7所示的简单电路。第2页共6页plII解:由简化电路, 例（4）在如图根据串、并联规律解得8所示的网格形网络中，每一小段电阻均为R，试求A、B之间的等效电阻 Rab。5Rag=5R/6BA图8R/ 232AC 图945第3页共6页R/4R/4R/2R/2OR / 2BR /2R/ 2 A解出各电流I的比例关系，然后选取A到B的某一路经 间
5、的电压，再由 Rab=Uab/Iab即可算出Rab12所示的电阻网络，求 A、B之间的电阻Rab图10图11分析：由于网络具有相对于过 A、B对角线的对称性，可以折叠成如图9所示的等效网络。而后根据等电势点之间可以拆开也可以合并的思想简化电路即可。解法（a）:简化为如图9所示的网络以后，将3、0两个等势点短接，在去掉斜角部位不起作用的两段电阻， 使之等效变换为如图10所示的简单网络。最后不难算得Rao=Rob=5R/14Rab= Rao+Rob=5R/7O点上下断开，如图11所示，最后不难算得解法（b）:简化为如图所示的网络以后，将图中的Rab=5R/72:电流分布法设定电流I从网络A电流入，
6、B电流出。应用电流分流思想和网络中任意两点之间不同路径等电压的思想， 建立以网络中的各电阻的电流为未知量的方程组，计算A、B例：有如图分析：要求A、B之间的电阻Rab按照电流分布法的思想，只要设上电流以后，求得A、B间的电压即可。OIrT2R1drrI4LI 3r2RI 5LTC110A丨2图12解：设电流由A流入，B流出，各支路上的电流如图所示。根据分流思想可得12=1-1 113=12-11 = 1-21 1A、O间的电压，不论是从 AO看，还是从ACO看，都应该是一样的，因此li(2R)=(l-l i)R+(l-2l i)R解得 li=2l/5取AOB路径，可得AB间的电压Uab=Ii*
7、2R+I 4*R根据对称性l4=l2=l-l 1=31/5所以 Uab=2I/5*2R+3I/5*R=7IR/5Rab=U ab/I=7R/5这种电流分布法事实上已经引进了基尔霍夫定律的思想，所以有一定的一般性。3: Y 变换第4页共6页第#页共6页复杂电路经过 Y变换，可以变成简单电路。如图13和14所示分别为网络和Y网络，两个网络中第#页共6页得6个电阻满足怎样的关系才能使这两个网络完全等效呢图14所谓完全等效，就是要求Uab=U ab,Ubc=U bc,U ca=U ca la=l A,lb=lB,lc=lc 在Y网络中有l aRa-lbRb=U abl cRc-laRa=U cal a
8、+l b + l c=0解得 1 a=RcUat/(R aRb+RbRc+RcRa)+ R bUca/(RaRb+RbRc+RcRa) 在网络中有l ab=U ab/RabIca=U ca/Rcal a=I ab-Ica解得 Ia=( Uab/Rab ) - ( Uca/Rca)因为要求la=lA ,所以RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+ RbU ca/(RaRb+RbRc+RcRa)=( Uab/Rab)- ( U ca/Rca)又因为要求Uab= UAB , Uca= UCA所以要求上示中对应项系数相等，即Rab =(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rc (1)Rca =(R
9、aRb+R bRc+R cRa)/ R b (2)用类似的方法可以解得Rbc =(RaRb+RbRc+RcRa)/ Ra(3)(1)、(2)、( 3)三式是将Y网络变换到 网络的一组变换式。在(1)、(2)、(3)三式中将Rab、Rbc、Rca作为已知量解出Ra、Rb、Rc即可得到Ra=RAB*R ca/(Rab+R bc+Rca) (4)Rb=RAB*R bc/(Rab+R bc+Rca) (5)Rc=Rbc*R ca/(Rab+Rbc+Rca) (6)(4)、( 5)、( 6)三式是将 网络变换到Y网络的一组变换式第#页共6页例（1）求如图15所示双T桥网络的等效电阻 Rab第5页共6页2
10、15T桥网络中两个小的，需要将双络元，再直接用串、并联规律求解即可。解:原网络等效为如图16所示的网络，由此可以算得 例（2）有7个电阻同为R的网络如图17所示，试求BY网络元变换成两个小的网Rab。图17解：将Y网络O-ABC变换成网络如图其中RAB =(R aRb+RbRc+RcRa)/ Rc=5RRBC = (RaRb+RbRc+RcRa)/ Ra=5R/2Rca =(R aR b+RbRc+RcRa)/ Rb=5R这样就是一个简单电路了，很容易算得BRab=118/93 QA、B间的等效电阻18 所示Rab=7R/54:电桥平衡法如图19所示的电路称为惠斯通电桥，图中衡（即灵敏电流计的
11、示数为零）的时候，我们称之为电桥平衡。Il = l2, I 3=I4, llRl=l3R3,12只2=14只4有这些关系可以得到r、R?、R3、R4分别叫电桥的臂，G是灵敏电流计。当电桥平 这时有Rl/R2=R3/R4上式称之为电桥平衡条件，利用此式简化对称性不明显的电路, 例:有n个接线柱，任意两个接线柱之间都接有一个电阻十分方便。r求任意两个接线柱之间的电阻。第6页共6页分析：粗看本题根本无法求解，但是能充分利用电桥平衡的知识，则能十分方便得求解。解：如图20所示，设想本题求两接线柱 A、B之间的等效电阻，根据对称性易知，其余的接线柱CDE-中，任意两个接线柱之间的电阻无电流通过，故这些电
12、阻都可以删除，这样电路简化为:A、B之间连有电阻R，其余（n-2）个接线柱之间仅有电阻分别与 A、B两点相连，它们之间没有电阻相连。即所以1/Rab=1/R+1/2R/( n-2)Rab=2R/ n:无限电阻网络无限电阻网络分为线型无限网络和面型无限网络，下面我们就这两个方面展开讨论1线型无限网络所谓 线型”就是一字排开的无限网络，既然研究对象是无限的，就可以利用无限”这个条件，再结合我们以上讲的求电阻的方法就可以解决这类问题。例（1）如图所示的电路是一个单边的线型无限网络，每个电阻的阻值都是R,求A、B之间的等效电阻解：因为是 无限”的，所以去掉一个单元或增加一个单元不影响等效电阻即Rab应
13、该等于从CD往右看的电阻RcdRab=2R+R*R cd/（R+R cd）=Rcd整理得Rcd2-2RRcd-2R2=0解得：Rcd=（ 1+31/2）R= Rab例（2）一两端无穷的电路如图22所示，其中每个电阻均为r求a、b两点之间的电阻。aba图22bRx图23第7页共6页第#页共6页解：此电路属于两端无穷网络，整个电路可以看作是由三个部分组成的，如图所示，则Rab=（2R x+r）r/（2R x+2r）即是无穷网络，bb1之间的电阻仍为Rx则Rx=（ 31/2-1）r代入上式中解得 Rab=（ 6-31/2）*r/6例（3）电阻丝无限网络如图24所示，每一段金属丝的电阻均为r,求A、B
14、之间的等效电阻 Rab .图24图25r3rr2 F 2r3r2Er2图26解:根据对称性可知，网络中背面那根无限长的电阻丝中各点等势，故可以删去这根电阻丝，这样原网络等效为如图25所示的网络。又因为网络相对 AB连线具有左右对称性， 故可以折叠成如图 26所示的网络,再利用例（1）的方法可得Rcd=Ref=Rx即 Rx=r/2+r/2+(R x*r/3)/(R x+r/3) 解得：Rx=(3+21 1/2)r/61/2Rab=(2*R x/3)/(2r/3+Rx)=2(21)r/212:面型无限网络解线性无限网络的指导思想是利用网络的重复性，而解面型无限网络的指导思想是利用四个方向的对称性。
15、例（1）如图27所示是一个无穷方格电阻丝网络的一部分 个结点A、B之间的等效电阻。分析：假设电流I从A点流入，向四面八方流到 无穷远处，根据对称性，有1/4电流由A点流到B点。假设电流I经过无限长时间稳定后再由四面 八方汇集到 B点后流出，根据对称性，同样有1/4电流经A点流到B点。解：从以上分析看出，AB 段的电流其中每一小段电阻丝的阻值都是R求相邻的两图27便由两个1/4 叠加而成，为1/2 因此第8页共6页第#页共6页图28UAB=（I/2）*rA、B之间的等效电阻 Rab=Uab/I=/2例（2）有一无限平面导体网络，它有大小相同的正六边型网眼组成，如图28所示。所有正六边型每边的电阻均为R0，求间位结点a、b间的电阻。分析：假设有电流I自a电流入，向四面八方流到无穷远处，那么必有1/3电流由a流向c,有I/6电流由I/6电流由f流向c,有I/3电流由c流向b.c流向b.再假设有电流I由四面八方汇集b点流出，那么必有 解：将以上两种情况结合，由电流叠加原理可知Iac=I/3+I/6=I/2(由 a 流向 c)Icb=I/3+I/6=I/2(由 c 流向 b) 因此ab之间的等效电阻为Rab=Uat/l=(l acRo+l cbR°)/l = R 0第9页共6页