弹簧与物块的分离问答教师版.docx

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1、弹簧与物块的分离”模型模型建构： 两个物体与弹簧组成的系统。两个物体在运动到某一位置时就会分开，那么这个位置就 是物体间的分离点。【模型】弹簧与物块的分离 【特点】都要建立动力学方程；分离条件是：相互作用的弹力FN=0这个问题可以分成两类“模型” ：ABO【模型 1】 水平面上“弹簧与木块的分离”模型如图 1，B与弹簧相连，而 A、B 是紧靠在一起的图1两个物体， 当弹簧原来处于压缩状态， 如果地面是光滑的，则物体 A、B 在向左运动的过程中 A、B 何时分离。 解析物体应在弹簧的原长处分离。由于水平面光滑，当弹簧从压缩状态回到自然伸 长位置时，一直加速运动。当它刚刚回到平衡位置时，物块 B

2、受的弹力为阻力，开始减速。 而物块 A 不受外力做匀速直线运动。 vA vB此时 A、B 分离。体验 1】但是如果物体与地面之间是不光滑的，题目条件如模型1 。试讨论分离条件。解析假设 A 、 B 在某一位置分离，此时刻两物体的相互作用力为零FAB=0同时，两物体的加速度相同。则 aAkxAg ； aBB gmB所以 x( A B)g k讨论：如果A等于B 或均为零；x 等于零。两物体在O 点分离；如果A大于B，x 大于零，两物体在 O 点的右侧分离；如果A小于B ， x 大于零，两物体的分离点在O 点的左侧1）2）3）点评两物体分离的条件是：相互间的弹力FN =0 等于零；两物体瞬时加速度相

3、等。图2【模型 2】 竖直面上“弹簧与木块的分离”模型如图 2 所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，用手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，重物何时与木板分离？解析当物体分离时，物体间的弹力FN=0物块只受重力，物块的加速度为 g ，木板的加速度也为 g弹簧的状态应为原长，即弹簧恢复原长时，二者分离此时物块与薄板有共同的加速度。从动力学的角度可以得到，竖直方向的弹簧类问题两物体的分离点是在弹簧的原长处。模型典案：【典案 1】A、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图 3 所示，已知木块 A、B 质量分别 为 0.42 kg 和 0.40 kg ，弹簧的劲度系数 k=10

4、0 N/m ，若在木块 A 上作用一个竖直向上 的力 F，使 A 由静止开始以 0.5 m/s 2 的加速度竖直向上做匀加速运动（ g=10 m/s 2）（1）使木块 A 竖直做匀加速运动的过程中，力 F 的最大值；（ 2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A 、 B 分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了 0.248 J ，求这一过程 F 对木块做的功。解析（ 1）设 A 、B 叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x有 kx= （m A+m B）g，所以 x= （m A+m B）g/k2图4A、 B 受力如图对 A ：F+F N-m Ag=m Aa对 B：kx -FN-m Bg=m Ba可知，当

5、 FN0 时，AB 有共同加速度 a=a ， 由式知欲使 A 匀加速运动，随 FN 减小 F 增大， 当 FN=0 时， F 取得了最大值 Fm，即Fm=m A（g+a ） =4.41 Na+g ）2）又当 FN=0 时，A、B 开始分离，由式知，此时弹簧压缩量kx=m B即 x=m B（a+g ） /kAB 共同速度 v2=2a （x-x ）由题知，此过程弹性势能减少了W P=E P=0.248 J 设 F 做功 W F，对这一过程应用动能定理或功能原理12WF+EP-（mA+m B）g（x-x ）= （mA+m B）v2 联立，且注意到 EP=0.248 J可知， W F=9.64 

6、15;10-2 J点评此题命题意图是考查对物理过程、状态的综合分析能力。难点和失分点在于能 否通过对此物理过程的分析后， 确定两物体分离的临界点， 即当弹簧作用下的两物体加速度、 速度相同且相互作用的弹力 FN=0 时 ，恰好分离。案例 2】如图 5 所示，轻弹簧上端固定，下端连接一质量为 m 的重物，先由托盘托住 m ，使弹簧比自然长度缩短L，然后由静止开始以a图5加速度 a 匀加速向下运动。已知 a<g ，弹簧劲度系数为 k ，求经过多少 时间托盘 M 将与 m 分开？【解析】当托盘与重物分离的瞬间，托盘与重物虽接触但无相互作 用力，此时重物只受到重力和弹簧的作用力在这两个力的作用下

7、，当重物的加速度也为a 时，重物与托盘恰好分离。由于 a<g ，故此时弹簧必为伸长状态。 然后由牛顿第二定律和运动学公式求解： 根据牛顿第二定律得： mg kx ma 由得： x由运动学公式有：L x 1at22联立式有：kL m g a1at22解得： x2 kL m g aka点评 本题属于牛顿运动定律中的临界状态问题。求解本类题型的关键是找出临界条件，同时还要能从宏观上把握其运动过程， 分析出分离瞬间弹簧的状态。 我们还可这样探索：若将此题条件改为 a g ，情况又如何呢？【典例 3 】如图 6 所示，一劲度系数为 k=800 N / m 的轻弹簧两端各焊接着两个质量 均为 m=1

8、2 kg 的物体 A、和 B，物体 A、 B 和轻弹簧竖立静止在水平地 面上。现要加一竖直向上的力 F 在上面物体 A 上，使物体 A 开始向上做 匀加速运动， 经 0.4 s 物体 B 刚要离开地面。 设整个过程中弹簧都处于弹 性限度内，取 g=10 m / s 2，求：（ 1）此过程中所加外力 F 的最大值和最小值。（ 2）此过程中外力 F 所做的功。解析 （1）A 原静止时，设弹簧压缩 x1， 由受力平衡和胡克定律有： kx1=mg- 物体 A 向上做匀加速运动， 开始时弹簧的压缩形变量最大， 向上的弹力最大， 则所需外 力 F 最小，设为 F1由牛顿第二定律： F1+ kx1 mg =

9、 ma 当 B 刚要离地时，弹簧由缩短变为伸长，此时弹力变为向下拉A，则所需外力 F 最大， 设为 F2对 B：kx2= mg 对 A ： F2-kx 2-mg=ma 12由位移公式对 A 有： x1 x2at 2 1 2 2又 t=0.4s 由可得：2a=3.75m/sF1=45NF2=285N2) 0.4 s 末的速度： v=at=3.75 ×0.4 m / s=1.5 m / s对 A 全程由动能定理得： WFmg (x 1+x2)= mv 2解得： W F=49.5 J也可用能量守恒求解：在力作用的 0.4s 内， 在初末状态有 x1=x 2，所以弹性势能相等， 由能量守恒知

10、，外力做 了功，将其它形式的能转化为系统的重力势能和动能。即：典案 4】如图 7质量为 m A=10kg 的物块 A 与质量为 m B=2kg 的物块放在倾角为 300光滑斜面上，处于静止状态，轻弹簧一端与物块B 连接，另一端与固定档板连接，弹簧的劲度系数为 K=400N/m斜面向上的力 F，使物块A 沿斜面向上做匀加速直线运，现给物块 A 施加一个平行与动，已知力 F 在前 0.2s内是变力， 0.2s 后为恒力，求力 F 的最大值和最小值。g=10m/s 2)解析】 原系统处于静止状态，则 M 与 m 受合外力为零 ,设此时弹簧压缩量为 xo 即：(m+M)gsin30 0=kx 0则：

11、x0=0.15m由静止开始向上匀加速运动， m 与 M 在 0 0.2S 内整体向上有共同的加速度 a设经1时间为t，则在t内m与M上升位移为 S：S= 12 at2在 0 0.2S 内以 m 与 M 为整体： F+K(X 0-S)-(m+M)gsin30 0=(m+M)a1由、得：当t=0.2s 时 s= 12 a×(0.2) 2=0.02aF+(0.15-O.02a) ×400-60=(m+M)a分析可知在 0.2s 后 F 为恒力， 此状况只有 m 与 M 分离可存在在 0.2 后，对有： sin30 0，（此时力也为 0.2 瞬间的力） （ /2 ） 由得： 5 分

12、析可知最小力应是在时， 即： min =（m+M）a=（2+10）×5=60N在 t=0.2s 以后力有最大值即： Fmax =（g/2+a） ×m=（10/2+5） ×10=100N图8【典案 5】质量为 M=6Kg 的小车放在光滑的水平面上， 物块 A 和 B 的质量均为 m=2Kg 且均放在小车的光滑水平底板上，物块 A 和小车右侧壁用一根轻弹簧连接，不会分离，如 图 8 所示，物块 A 和 B 并排靠在一起，现用力 向右压 B 并保持小车静止，使弹簧处于压缩状 态，在此过程中外力做功 270J 。撤去外力，当 A 和 B 分开后，在 A 达到小车底板的最左

13、端位置之前， B 已从小车左端抛出， 求：（1）B 与 A 分离时，小车的速度多大？（ 2）从撤去外力至 B 与 A 分离时， A 对 B 做了多少功？（3）假设弹簧伸到最长时 B 已离开小车。 A 仍在车上， 则此时弹簧的弹性势能是多大？ 解析（）分析可知 A 、 B 分离时应在弹簧恢复为原长时，此时AB 有共同速度为v 1，设车速为 v2，接触面均光滑，动量守恒，取向右为正， v2 v1又机械能守恒： P 1 Mv22 1 2mv1222 由得： v1 9m/s ，v2 6m/s） A 对 B 做的功应为的动能增量：12 B BK mv1 -0 81J21（） A 与 B 分离后， A 的

14、速度不变，弹力对与作负功。弹簧最长时，令的速度 为 ， A 与 M 有共同速度，动量再次守恒，有：取向右为正： v2 v1（） v312第二次机械能守恒： M m v32 189J23由得： EP/ 168.75 模型体验：【体验 1】用木板托住物体 m ，并使得与 m 连接的弹簧处于原长，手持木板 M 向下以 加速度 a （a<g ）做匀加速运动，如图 9。求物体 m 与木板一起做匀加速运动 的时间。解析 m 在与 M 一起向下做匀加速运动过程中， m 受到弹簧的弹力不 断增大，板 M 对 m 的支持力不断减小，重力保持不变。m 与板 M 分离的条件为板 M 对 m 的支持力 FN 恰

15、好为零，且此时 m 与 M 运动的加速度恰还相等。设： m 与 M 分离经历 t 时间，弹簧伸长为 x：mg kx ma解得： x m（g a）k1又因为： x at22所以 t 2m（g a）a图 10体验 2 】如图 10 所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，用手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，则重物将被弹簧弹射出去，则在弹射过程中 (重物与弹簧脱离之前 ) 重物的运动情况是( )A. 一直加速运动B匀加速运动C.先加速运动后减速运动D 先减速运动后加速运动解析】物体的运动状态的改变取决于所受合外力所以，对物体进行准确的受力分析刚放手时， 弹力大图 11是解

16、决此题的关键， 物体在整个运动过程中受到重力和弹簧弹力的作用于重力，合力向上，物体向上加速运动，但随着物体上移，弹簧形变量变小， 弹力随之变小，合力减小，加速度减小；当弹力减至与重力相等的瞬间，合力 为零，加速度为零，此时物体的速度最大；此后，弹力继续减小，物体受到的 合力向下，物体做减速运动，当弹簧恢复原长时，二者分离正确答案： C【体验 3】如图 11 所示，一根轻质弹簧两端与质量分别为m1 和 m2 的木块相连，竖直放置在水平地面上。问：至少要向下压多大的力F于 m 1上，才可以使突然撤去外力 F后m2 恰好离开地面？解析 m 2恰好离开地面的临界条件是弹簧比原长再伸长x2，且 kx2=

17、m 2g 和 m1速度为零。设未加压力 F 时，弹簧的压缩量为 x0；加压力 F 时，弹簧的压缩量为 x1，则： kx0=m 1g kx 1=F+m 1g应用简谐运动的对称性求解： m 2不离开地面， m 1 做简谐运动，则振幅： A=x 1 x0= x 0 + x 2所以 x1=x 2+2x 0=m2gk2m1gk加压力 F 时， F+m 1g=kx 1F=kx 1m1g=(m 1+m 2) g点评 物体与弹簧组成的系统做简谐运动时，具有明显的对称性，这类题一般用对称性 来求解会简单得多。【体验 4】 如图所示，质量为 m 的物体 A 用一轻弹簧与下方 地面上质量也为 m 的物体 B 相连，

18、开始时 A 和 B 均处于静止状态， 此时弹簧压缩量为 x0 ，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮， 一端连接 物体 A 、另一端 C 握在手中，各段绳均处于刚好伸直状态， A 上方 的一段绳子沿竖直方向且足够长。 现在 C端施水平恒力 F而使 A 从 静止开始向上运动。 （整个过程弹簧始终处在弹性限度以内）（ 1）如果在 C 端所施恒力大小为 3mg ，则在 B 物块刚要离开地面时 A 的速度为多大？（ 2）若将 B 的质量增加到 2m ，为了保证运动中 B 始终不离开地面，则 F 最大不超过 多少？解析由题意可知：弹簧开始的压缩量x0 mkg，在 B物块刚要离开地面时弹簧的伸长量也是 x0 k（

19、1）若 F=3mg ，在弹簧伸长到 x0时，B 开始离开地面，此时弹簧弹性势能与施力前相等， F所做的功等于 A 增加的动能及重力势能的和。即F 2x0 mg 2x0 1mv2可解得： v 2 2gx00 0 2 0A 做简谐运动。（2）所施力为恒力 F0时，物体 B不离开地面，类比竖直弹簧振子，物体 A 在竖直方向 上除了受变化的弹力外，再受到恒定的重力和拉力。故物体在最低点：F0 mg+kx 0=ma 1式中 k 为弹簧劲度系数， a1 为在最低点 A 的加速度。在最高点， B 恰好不离开地面，此时弹簧被拉伸，伸长量为2x 0，则：K（2x 0）+mg F0=ma 2考虑到： kx 0=m

20、g简谐运动在上、下振幅处a1=a 2解得： F0= 3mg2也可以利用简谐运动的平衡位置求恒定拉力F0 。物体 A 做简谐运动的最低点压缩量为x0 x0，最高点伸长量为 2x0，则上下运动中点为平衡位置，即伸长量为0 所在处。2由： mg k x0 F0解得： F0= 3mg2 0 2点评】 区别原长位置与平衡位置。与原长位置对应的形变量与弹力大小、方向、弹性势能相关；与平衡位置对应的位移量与回复大小、方向、速度、加速度相关。J，图 12图6体验 5】如图 12 所示，光滑的水平面上有 ， 的三个物体，用轻弹簧将与连接，在、两边用力使三个物体靠近， A 、B 间的弹簧被压缩，此过程外力做功 然

21、后从静止释放。求：）当物体、分离时， B 对 C 做的功有多少？）当弹簧再次被压缩到最短而后又伸长到原来时，A、B 的速度各是多大？解析 此题关键是判断出与分离条件为弹簧恢复到原长，而弹簧再次被压缩到最短条件为、同速且向右。）当、分离时弹簧恢复到原长，由动量守恒： mAvA（ mBm C）vBC由机械能守恒：1mAvA2122mBmC）vBC2=72JB对 C做功：W BC m CvBC22由得： vAvBC6m/s ，W BC 18J）当弹簧压缩到最短时，、同速方向向右，则有：mAvA-m BvBC（m AmB）v， v=2m/s设弹簧再次伸长到原长时，、速度分别为和 ，则：mAmB）vm

22、Av1mBv2721m CvBC2 m Av12 21 m Bv22由得： v1=2m/s ，向左； v2=10m/s ，向右或 v1 6m/s ，向右； v2=6m/s ， 向右注意()求的速度是矢量，最后方向不可丢失，解题要严谨。体验 6】如图，质量为 m1 的物体 A，通过一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体 B 相连，弹簧的劲度系数为 k，A B 都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮， 一端连物体 A ，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为 m3 的物体 C 并从静止状态释放，已知它 恰好能使 B 离开地面但不继续上

23、升。 (1)求物体 C 下降的最大距离。 ( 2) 若将 C 换成另一个质量为 (m1 m3) 的物体 D，仍从上述初始位置由静 止状态释放， 则这次 B 刚离地时 D 的速度的大小是多少？已知重力加速 度为 g 。【解析】 开始时， A、B 静止，设弹簧压缩量为 x1 ，有 kx1 m1gA m1B m2挂 C 并释放后， C 向下运动， A 向上运动，设 B 刚要离地时弹簧伸长量为 x2 ，有 kx2 m2gB 不再上升，表示此时 A 和 C 的速度为零， C 已降到其最低点 .由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为E=m 3g(x1 x2) m1g(x1 x2)C 换成 D

24、 后，当 B 刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得1(m3 m1)2 1m12(m3 m1)g(x1 x2) m1g(x1x2)E联立解得2m1 (m1 m2)g2(2m1 m3)k体验 7】如图所示，挡板 P 固定在足够高的水平桌面上，小物块 A 和 B 大小可忽略，它们分别带有 +Q A和+Q B的电荷量，质量分别为 mA和 mB。 两物块由绝缘的轻弹簧相连，一不可伸长的轻绳跨过滑轮， 一端与 B 连接，另一端连接一轻质小钩。整个装置处于场 强为 E、方向水平向左的匀强电场中。 A、 B 开始时静止， 已知弹簧的劲度系数为 k，不计一切摩擦及 A、B 间的库仑力， A 、B所带

25、电荷量保持不变， B 不会碰到滑轮。(1) 若在小钩上挂一质量为 M 的物块 C 并由静止释放，可使物块 A 恰好能离开挡板 P，求 物块 C 下落的最大距离；(2) 若 C的质量改为 2M ，则当 A 刚离开挡板 P时， B 的速度多大？【解析】(1) 开始平衡时有： kx1 EQB可得x1 EQBK当 A 刚离开档板时： kx2 EQA可得x2 EQAK故 C 下落的最大距离为： h x1 x2由式可解得 h= E (QB QA)K(2) 由能量守恒定律可知： C 下落 h 过程中， C 重力势能的的减少量等于 B 的电势能的增量和弹簧弹性势能的增量、系统动能的增量之和当 C 的质量为 M

26、 时： Mgh QBE h E弹当 C 的质量为 2M 时： 2Mgh QBEh1E弹2(2MmB)V 2解得 A 刚离开 P时 B 的速度为： V2MgE(QA QB )K(2M mB)体验 8 】如图所示， 一劲度系数 k=800N/m 的轻弹簧两端各焊接着一个质量为 m=12kg 的物体。 A 、B 竖直静止在水平地面上，现在对物体A 加一竖直向上的力 F，使 A 开始向上做匀加速运动，经 0.4s ，B 刚要离开地面。设整 个过程弹簧都处于弹性限度内（ g 取 10m/s 2 ）求：（1）此过程中所加外力 F 的最大值和最小值（2）此过程中力 F 所做的功分析： 物体在外力作用下做匀加

27、速直线运动，通过受力分析，运用牛顿定律列方程，就 能解决第一问。 力 F 是变力， 变力做功只能根据功能关系或动能定理求解。 确定了物体上升 的高度及速度，列出功能关系方程，本题则解。解析：（ 1）设 A 上升前，弹簧的压缩量为 x1，B 刚要离开地面时弹簧的伸长量为 x2， A 上升的加速度为 a 。A 原来静止时，因受力平衡，有： kx1 mg设施加向上的力，使 A 刚做匀加速运动时的最小拉力为 F1F1 kx1 mg maB 恰好离开地面时，所需的拉力最大，设为F2对 A ： F2 kx2 mg ma对 B ： kx2 mg由位移公式，对 A ： x1 x2at2联立解得：mgx1 x20.15mka=3.75m/s 2F1=45NF2=285N2）解法一：力作用的 0.4s 内，在末状态有 x1 = x2，弹性势能相等，由能量守恒知，外力做了功，将其他形式的能转化为系统的重力势能和动能，即：WFmm(a2t)2 49.5J解法二：根据动能定理WFmg x112x2mv 022解得：WFm g x1x2m(at)249.5J2g x1 x2点拨：本题的难点是外力 F 做功的求解。是如何运用功能关系求解， 二是势能的变化难以确定。最初对 A， kx1mg ；最终对 B， kx2 mg 。全程弹力做功为零。弹性势能的变化为零。