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1、§ 2.3 抛体运动231、曲线运动的基本知识a1 a2P b2b1R1轨迹为曲线的运动叫曲线运动。 它O1O2一定是一个变速运动。 图 2-3-1 表示一Q质点作曲线运动， 它经过 P 点时，在 P图 2-3-1点两旁的轨迹上 取 a1、 b1 两 点，过V AV B V B V 1a1、 P、b1 三点可作一圆，当这两点无ACV B V 2限趋近于 P 点时，则圆亦趋近于一个图 2-3-2定圆，我们把这个圆叫 P 点的曲率圆，曲率圆的半径叫 P 点的曲率半径，曲率圆的圆心叫P 点的曲率中心，曲率半径的倒数叫 P 点的曲率。如图 2-3-1，亦可做出 Q 点的曲率圆。曲率半径大，曲
2、率小，表示曲线弯曲较缓，曲率半径小，曲率大，表示曲线弯曲厉害。直线可认为是曲率半径为无穷大的曲线。质点做曲线运动的瞬时速度的方向总是沿该点的切线方向。如图 2-3-2 所示，质点在 t 时间内沿曲线由 A 点运动到 B 点，速度由 VA变化到 V B，则其速度增量 V 为两者之矢量差，AV =VBV ，这个速度增量又可分解成两个分量：在VB 上取一段 AC 等于 VA，则V 分解成 V 1 和 V 2 ，其中 V 1 表示质点由 A运动到 B 的速度方向上的增量，V 2 表示速度大小上的增量。法向加速度 a n 表示质点作曲线运动时速度方向改变的快慢，其大小为在A点的曲率圆的向心加速度：anl
3、imV2tt 0其方向指向A 点的曲率中心。切向加速度a 表示质点作曲线运动时速度大小改变的快慢，方向亦沿切线方向，其大小为a limV1VA2tRAt 0总加速度 a 方法向加速度和切向加速度的矢量和。232、抛物运动是曲线运动的一个重要特例物体以一定的初速度抛出后，若忽略空气阻力， 且物体的运动在地球表面附近，它的运动高度远远小于地球半径，则在运动过程中， 其加速度恒为竖直向下的重力加速度。因此，抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动。根据运动的叠加原理， 抛体运动可看成是由两个直线运动叠加而成。常用的处理方法是 :将抛体运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。如图 2-3
4、-3。取抛物轨迹所在平面为平面， 抛出点为坐标原点，水平方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴。则抛体运动的规律为：ax0aygvxv0cosvyv0sinxv0 cos tyv0 sin t1 gt 22其轨迹方程为y xtggx22vo2 cos2这是开口向下的抛物线方程。在抛出点和落地点在同一水平面上的情况下，飞行时间 T，射程 R 和射高 H分别为2v0 sin2s i n222v0v0s i nTRgH2gg抛体运动具有对称性， 上升时间和下降时间 （抛出点与落地点在同一水平面上）相等（一般地， 从某一高度上升到最高点和从最高点下降到同一高度的时间相等）；上升和下降时经过同一高度时速度大
5、小相等，速度方向与水平方向的夹角大小相等。下面介绍一种特殊的抛体运动平抛运动 ：质点只在重力作用下， 且具有水平方向的初速度的运动叫平抛运动。它可以看成水平方向上的匀速运动（速度为v0）与竖直方向上的自由落体运动的合成。速度：采用水平竖直方向的直角坐标可得：v x v0v ygt ，其合速度的大小为 vv02( gt )2，其合速度的方向为（设水平方向夹角为），可见，当 t时， Vgt ,/ 2 ，即表示速度趋近于自由落体的速度。位移：仍按上述坐标就有，x V0t , y gt 2 / 2 。仿上面讨论也可得到同样结论，当时间很长时，平抛运动趋近于自由落体运动。加速度：采用水平和竖直方向直角坐
6、标系有, ax 0,a yg ，用自然坐标进行分解，如图 2-3-4 其法向加速度为 an g cos，切向加速度为 ag sin ，为速度与水平向方的夹角，将速度在水平与竖直方向的坐标系中分解可知：sinV ygtVv02g 2 t 2VxOV0cosV0xVV02g 2 t 2V x由此可知，其法向加速度和切向加速度分an别为：V yVavyangV0g22t2图 2-3-4V0gag 2tV02g 2 t 2由上两式可以看出，随着时间的推移，法向加速度逐渐变小趋近于零，切向加速度趋近于定值g，这表示越来越接近竖直下抛运动。在生活中也很容易看到，平抛物体的远处时就接近竖直下落了。运动的轨迹
7、方程：yg2 x 22V0从方程可以看出，此图线是抛物线，过原点，且V0 越大，图线张开程度大，即射程大。根据运动的独立性， 经常把斜抛运动分解成水平方向匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动来处理，但有时也可以用其它的分解分法。抛体运动另一种常用的分解方法是：分解沿v0 方v0向的速度为v0 的匀速直线运动和沿竖直方向的自由As落体运动二个分运动。图 2-3-5如图 2-3-5 所示，从 A 点以 v0 的初速度抛出一个小球，在离 A 点水平距离为 s 处有一堵高度为 h 的墙 BC，要求小球能越过BhCB 点。问小球以怎样的角度抛出，才能使v0 最小？将斜抛运动看成是 v0 方向的匀速直线
8、运动和另Dvo t一个自由落体运动的合运动，如图2-3-6 所示。Bv0lh在位移三角形 ADB 在用正弦定理AC1 gt 2图 2-3-6v0 t12sin asinsin( a)轨迹：由直角坐标的位移公式消去时间参数t 便可得到直角坐标系中的平抛运由式中第一个等式可得t2v0 sin ag sin将式代入式中第二个等式2v 20 sin alg sin 2sin( a)2v02gl sin 2sin( a) sin a2gl sin 2v0cos(2a)cos当 cos( 2a) 有极大值 1 时，即 2a时， v0 有极小值。2a2a因为，2a1所以42xv0cosat1 g sint
9、22yv0sin at1 g cost 22当小球越过墙顶时， y 方向的位移为零，由式可得2v0 sin atB xg cos式代入式： 我们还可用另一种处理yv0方法v0 yv0x以 AB 方向作为 x 轴（图 2-3-7）这样一g x ACg yg取，小球在 x、y 方向上做的都是匀变速运图 2-3-7动了， v0 和 g 都要正交分解到x、 y 方向上去。小球运动的方程为12xvox tg xt12yvoyg y txv0 cosa2v0 sin a1g sin(2v0 sin a ) 2g cos2g cos2v0 sin asin a sin)g cos2(cosa cos2v02sin a cos(a)g cos2v02sin(2a)sing cos2v02xg cos2sin(2a) sin2a1当 sin(2a2时，a) 最大，即4 2 ， v0 有极小值v02xg cos2/(1sin)xg cos2(1sin) /(1 sin2)xg(1sin)hxg(1)g(hh2s2 )