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1、专题限时集训 (十二 )第12讲空间角 (时间： 5 分钟 40 分钟 )基础演练1在正方体 AC1中，直线 AA1 与平面 AC 所成的角等于 ()A30°B 45°C60°D 90°2在长方体 ABCD -A1B1C1D1 中， AB BC 2，A1D 与 BC1，则 BC1所成的角为 2与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 ()315A. 2B516C2D. 33如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系是 ()A 相等B互补C相等或互补D大小不确定4如图 12-1 是某个正方体的侧面展开图，l1 ，
2、l2 是两条侧面对角线，则在正方体中，l 1与 l 2()图 12-1A 互相平行B异面且互相垂直C异面且夹角为3D相交且夹角为3提升训练5在三棱柱 ABC-A B C中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面 BB C C的中11111心，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 ()A30°B 45°C60°D 90°6如图 12-2 所示，已知六棱锥P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA平面 ABC， PA2AB，则下列结论中正确的是()图 12-2APBADB平面 PAB平面 PBCC直线 BC平面 PAED直线 PD 与平面 ABC 所
3、成的角为 45°的中点，那么异面直线 AE7已知正方体 ABCD -A B C D中， E， F 分别为 BB ，CC111111与 D 1F 所成角的余弦值为 ()12A.2B. 234C5D 58夹在两平行平面间的线段AB， CD 的长分别为2 和2，若 AB 与这两个平行平面所成的角为 30°，则 CD 与这两个平行平面所成的角为 ()A30°B 45°C60°D 90°9. 如图 12-3 所示，正方体 ABCD -A1B1C1D1 中，截面 C1D1AB 与底面 ABCD 所成二面角 C1- AB- C 的大小为 _图 12
4、-310等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ，二面角 C-AB-D 为直二面角， M， N 分别是 AC， BC 的中点，则 EM ，AN 所成角的余弦值为 _11如图 12-4 所示，在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中， M，N 分别是 CD ，CC1 的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成角的大小是 _图 12-412在 Rt AOB 中， OAB，斜边 AB 4.把 RtAOB 以直线 AO 为轴旋转得到6Rt AOC，且二面角 B-AO-C 是直二面角，动点D 在斜边 AB 上(1)求证：平面 COD 平面 AOB；1(2)当 AD 2DB 时，求异面
5、直线AO 与 CD 所成角的正切值；(3)求 CD 与平面 AOB 所成最大角的正切值图 12-513如图 12-6 所示，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，AB 2AD 4，BD 23， PD 底面 ABCD .(1)证明：平面PBC 平面 PBD ；(2)若二面角 P-BC- D 的大小为 ，求 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值4图 12-614如图12-7 所示，在三棱柱ABC-A1B1C1 中，平面ABB1A1平面AA 1C1C， BAA1 90°， CAA1 120°， AB AC AA12， D 是棱 CC1 的中点(1)求证： AD A1
6、B;(2)求二面角D -A1B- A 的正切值图 12-7专题限时集训 (十二 )【基础演练】1 D 解析 AA 平面 AC，故所成角为 90° .1时，长方体为正方体，连接B1D 1 和 A1C1，2 C解析 当 A1D 与 BC1 所成的角为 2交于 O 点，连接 BO，易证 A1C1平面 BB1D 1D，则 BC1 与平面 BB1D1D 所成的角就是 BC1O30°，正弦值为 12.3 D 解析 如果两个二面角的棱不平行，其大小没关系4D 解析 把展开图还原为直观图， 则 l1，l 2 是正方体中位于同一个顶点处的两个面的面对角线，故一定相交且夹角为3 .5 C解析
7、如图，取 BC 的中点 E，连接 DE ， AE， AD ，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得 AE平面 BB 1C1C，故 ADE 为 AD 与平面 BB1C1C 所成的角设各棱长为1，则33， DE 1， tan ADE AE 2 3，AE 22DE 12 ADE 60° .6D 解析 AD 与 PB 在平面 ABC 内的射影 AB 不垂直， A 不成立； 平面 PAB 平面 PAE，平面 PAB平面 PBC 也不成立； BC AD ， BC平面 PAD，直线 BC 平面 PAE 也不成立；在 Rt PAD 中， PA AD 2AB， PDA 45°， D 正确7C 解析
8、根据已知条件， 连接 DF ，则由 DF AE 可知 DFD 1或其补角为异面直线 AE 与 D 1F 所成的角设正方体的棱长为2，则可以求得DF D1F5， DD 1 2，再由2223.余弦定理可得cos DFD 1 D 1F DF D 1D 5 5 42D1F· DF2× 558B 解析 过 A 作另一平面的垂线段AO，垂足为 O，连接 BO，可知 ABO 30°，由 AB2 得 AO 1.又因为两平面平行，所以点C 到另一平面的垂线段的长等于AO 的长，AO2故 CD 与两个平行平面所成的角的正弦值为CD 2 ，所以 CD 与这两个平行平面所成的角为 45&
9、#176;.945°解析 AB BC，AB BC1，则 C1BC 为二面角 C1- AB- C 的平面角，大小为45° .15解析 如图所示， G 为 DE的中点，易证四边形MNGE 为平行四边形，则10 10NG EM ， ANG 即为 EM ，AN 所成角设正方形的边长为2，则 AN3， AG 5，NGEM （ 3） 2（ 5） 2（ 5）2 155，所以 cos ANG2×3×510 .11 90° 解析 连接 D1M，易得 DN A1D 1， DN D 1M，所以 DN 平面 A1 MD1，又 A1M? 平面 A1MD 1，所以 DNA
10、1M，故夹角为 90° . 12.解： (1)证明：由题意，CO AO， BOAO， BOC 是直二面角B-AO-C 的平面角， COBO .又 AO BOO， CO平面 AOB . 又 CO? 平面 COD ，平面 COD 平面 AOB.(2)作 DE OB，垂足为 E，连接 CE(如图所示 )，则 DE AO， CDE 是异面直线AO 与 CD 所成的角1 2在 RtCOB 中，易得 CO BO2， OE BO ，3 3 CE CO2 OE2 2 10. 3243，又 DE AO33在 Rt CDE 中， tan CDE CE 30DE6.异面直线AO 与 CD 所成角的正切值为
11、306 .(3)由 (1) 知， CO平面 AOB， CDO 是 CD 与平面 AOB 所成的角，且tanCDO OC 2OD OD.当 OD 最小时， CDO 最大，这时， OD AB，垂足为 D， OD OA· OB 3， tanAB2 3CDO 3 ，23所以 CD 与平面 AOB 所成最大角的正切值为3.13 解：(1)证明： CD2 BC2BD 2， BC BD.又 PD底面 ABCD ， BC? 平面 ABCD ， PDBC .又 PD BD D， BC平面 PBD .又 BC? 平面 PBC，平面PBC平面 PBD.(2)由 (1) 知， BC平面 PBD ， PBD
12、即为二面角P-BC-D 的平面角，PBD 4 .又 BD 2 3，PD BD ， PD 2 3.底面 ABCD 为平行四边形， DA DB .分别以 DA ， DB ， DP 所在的直线为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系(如图所示 )，则 A(2，0， 0)， B(0，2 3， 0)， C( 2，2 3， 0), P(0， 0，2 3)， AP ( 2， 0， 23)， BC ( 2， 0， 0)， BP (0， 23， 23)n·BC 0， 2a 0，设平面 PBC 的一个法向量为n (a， b，c) ，则有即3c0， 2 3b 2令 b1，则 c 1， n (0， 1
13、， 1)，n·BP 0， AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为· n|2 3 6|AP4× 24 .|AP|n|14 解： (1) 证明：在平行四边形AA1 C1C 中，AC AA12， CAA1120°，且 D 是棱 CC1 的中点， AD AA1.又平面 ABB 1A1平面 AA1C1 C，平面 ABB1A1平面 AA 1C1C AA1， AD平面 ABB1A1.又 A1B? 平面 ABB1A1， AD A1B.(2)过 A 作 AEA1B，垂足为E，连接 DE .由 (1)已得 ADA1B， A1B平面 AED ， AED 为二面角 D -A1 B- A 的平面角又 AE 2，AD 3，在 Rt AED 中， tan AED AD 3 6，AE226二面角 D -A1B- A 的正切值是2 .