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1、高三数学理科数列专题练习与解析1. 已知两个等差数列a n 和 b n 的前 n 项和分别为 An 和 Bn, 且 An7n45 , 则使得 an 为整Bnn3bn数的正整数 n 的个数是 ()A.2B.3C.4D.5n12. 已知数列 a n 的前 n 项和 Snn2*4等于（）(n N), 则 aA. 1B.1C.1D.1303420323.已知数列 an 满足 a1 1， a2 1， an 1 |an an 1|(n 2)，则该数列前2011 项的和 S2011 等于()A 1341B669C1340D 13394在函数 y f(x)的图象上有点列(xn， yn)，若数列 xn 是等差数
2、列，数列 yn 是等比数列，则函数 y f(x)的解析式可能为2()A f(x) 2x 1B f(x)4x3 xC f(x) log 3xD f(x) 45.在等差数列 an 中，其前 n 项和是 Sn，若 S15>0， S16<0，则在 S1， S2， S15中最大的是a1a2a15S1S8S9S15()A. a1nnB.a8C.a9D. a156.已知数列都是公差为1，b1 且 a1 b1 5，a1，b1 N* ， a ， b 1 的等差数列， 其首项分别为 a设 cn abn(n N* )，则数列 cn 的前 10 项之和等于()A 55B 70C 85 D 100sinA
3、2cosC cosA是角 A、 B、 C 成等差数列的()7.在 ABC 中， cosA2sinC sinAA 充分非必要条件B充要条件 C必要非充分条件D 既不充分也不必要条件8等比数列 an 中， a1 512，公比 q 1，用 n 表示它的前 n 项之积： na1·a2· ·an，2则 n 中最大的是()A 11B 10C 9D 89设函数 f(x) xm ax 的导函数 f (x) 2x 1，则数列1(n N* ) 的前 n 项和是 ()f nnn2nn 1A. n1B. n1C.n 1D. n10数列 an 中， a1 1， an、 an 1 是方程 x
4、2 (2n 1)x 1 0 的两个根，则数列 bn 的前bnn 项和 Sn()A.1B. 1C.n1D. n2n1n 12nn 111如图，它满足：(1)第 n 行首尾两数均为n；(2) 图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n 2)行的第 2 个数是 _12在等比数列 an 中， an>0(n N* )，公比 q (0,1)，且 a1a5 2a3a5 a2a8 25，又 a3 与 a5的等比中项为 2， bn log 2an，数列 bn 的前 n 项和为 Sn，则当 S1 S2 Sn最大时， n 的12n值等于 _1，前 n 项和为S413.设等比数列 an 的公比 qSn ，则2a41
5、4.设等差数列a 的前 n 项和为 S ,若 aS12 ,则 limSn.nn63nn22515. 正项等比数列an的首项 a12 5 ，其前 11 项的几何平均数为，若前 11项中抽取一项后的几何平均数仍是25 ，则抽取一项的项数为_ 16数列 1, （ 1+2）,（ 1+2+22） , , （1+2+ +2n 1） , 的前 n 项和等于17.等差数列 an 的各项均为正数，a1 3，前 n 项和为 Sn， bn 为等比数列，b1 1，且 b2S2 64， b3S3 960.(1)求 an 与 bn； (2)求1 1 1的值S1S2Sn18.设数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 a1
6、 1，且 an 2SnSn 1 0(n 2)，(1) 求数列 Sn 的通项公式；(2) 设 Sn11f(n)，bn f( n) 1.记 Pn S1S2 S2S3 SnSn 1，Tn b1b2b2b3 bnbn 1，试21求 Tn，并证明Pn<2.19. 已知数列 an 中， a1 1 , an 1 an3 2n 1 ( n2) . （ 1）求 a2 ,a3；（ 2）求 an 的通项公式；（ 3）证明：对n N * ，11151 a3 1an 1.a21 320. 已知数列 an中 a12, a28当 n2时 3an 14an an 1 （ n N * ）39（）证明：an 1an为等比数
7、列；（）求数列an 的通项；（）若数列bn 满足 bnn an ，求 bn的前 n 项和 Sn 21.已知数列 an 满足 2an1 an an 2(n N* )，它的前n 项和为 Sn，且 a3 5， S636.(1) 求数列 an 的通项公式；nn 1n为正整数，*) ，试确定 的值，使得对任意*(2) 设 bn 6 ( 1)·Nn N，都2a (n有 bn 1 bn 成立22.已知数列an的前 n 项和为 Sn，点 (n, Sn )在直线 y1 x11上，数列 bn满足n22bn22bn 1bn0(n N ), b311 且其前 9项和为 153.(1) 求数列 an , bn
8、 的通项公式；(2)设 C n3，数列 Cn的前 n 项的和为 Tnk11)( 2bn 1)，求使不等式 Tn(2an57对一切n N * 都成立的最大正整数k 的值 .23. 已知数列 an 中， a1=1，当 n 2 时，其前 n 项和 Sn 满足2nn1).Sn=a ( S -2（ 1）证明：1是等差数列，求n 的表达式；SnS（ 2）设 bn=Sn，求 bn 的前 n 项和 Tn.2n111 级理科数列专题（续） （答案）A2 n 1(2n 1)(a1a2 n 1 )2anan , anA2 n 11.解析:2b2 n 1 )B2 n 1( 2n 1) (b12bnbnbnB2 n 1
9、2 7n19712. 当 n 1,2,3,5,11时,an 是正整数 .n1n1bn答案 :D2. 解析：由已知 , 得 a4 S4-S 3 541.6530答案： A3.答案 A 解析列举数列各项为：1,1,0,1,1,0， . 20113× 670 1， S2011 2× 670 1 1341.7(2n1)452n134 答案 D解析 对于函数f(x)3x上的点列 (xn， yn)，有 yn3xn，由于 xn 是等差443数列，所以 xn 1 xn d，因此yn1 4xn13xn1xn 3 d，这是一个与 n 无关的常数，yn3444 xn故 yn 是等比数列故选 D.
10、5.答案 B解析16(a1 a16)由于 S15 15a8>0，S162 8(a8 a9)<0，所以可得 a8>0，a9<0.S1S2S8S9S10S15这样>0， ，>0， ， a1>0a8<0<0<0a2a9a10a15而 0<S1<S2< <S8， a1>a2> >a8>0，所以在 S1，S2， ， S15中最大的是 S8，故选 B.a1 a2a15a86.答案 C 解析 an a1 (n 1) ·1 a1 n 1，bn b1n 1，则 abna1bn 1 a1 (b1
11、n 1) 1 n 3 cn n 3，故数列 cn 为等差数列，首项是1 34，公差为1，10× (10 1) 前 10 项和为 10×42 85.7.答案 A 解析 sinA2cosC cosA?2sinAsinC sin2A 2cosAcosC cos2A?2cos(AC)cosA2sinC sinAA、B、C 成等差数列时， 1 0? cosB 1? B ? A C 2B? A、 B、C 成等差数列但当23sinA2cosC cosAcosA不一定成立，如A2、 B 3、 C 6.故是充分非必要条件故选A.2sinC sinAn1 2n 129n1n1 nn n 1 n
12、2 19nn a1 2 an a1·q ( 1)2，当8 解析： a2222n 9 时， n 最大故选 C 答案： C9解析： f( x)mxm1 a 2x 1，m 2，a 1，f(x) x2 xx(x 1)， 11f xn n 1 11 ，Sn 1111 11 11 n.答案： Ann 1223nn 1n 1n 110 解析： 由题意得an an 1 2n 1，又ann an 1 (n 1)， a1 1an n，又 an·an1 1 ，bn1.Sn b1 b2 bn 11 n.答案： Dbnn n 1n 1n111 解析： 设第 n(n 2)行的第2 个数构成数列 an
13、，则有 a3 a2 2， a4 a3 3， a5 a4 4， ， an an 1 n 1，2n 1n1 n2n 1 n 2相加得 an a22 3 (n 1)× (n 2)，an 2222n2 n 2.答案：n2 n22212 答案 8 或 91 5 2a3 5 a2 8 25， a32 2a3a5 a 52 25，又 an>0， a3 a5 5，又 解析 a aaaq (0,1)， a3>a5，又 a3 ·a5 4， a3 4， a5 1， q1，a116，an16×1 n125n22 ，n log 2n 5 n， bn1 bn 1， bnba1 4
14、 为首项，1 为公差的等差数列，是以 bn(9 n)Sn9 nSnSn Sn2， n 2 ， 当 n 8 时， n >0 ；当 n 9 时， n 0；SnS1S2S3Sn当 n>9 时， n <0， 当 n 8 或 9 时， 1 2 3 n 最大13.答案： 15【解析】对于 s4a1 (1q4 ) , a4a1q3,s41q4151qa4q3 (1q)14.答案： 1a6 12a15d 12a12Snn(n1)Snn 1limSnn 1解析：22lim1s312a1d 12d 2nnnnnn15.616 2 n+1 n217.解： (1)设 an 的公差为 d， bn 的公
15、比为 q ，则 d 为正数，n1，依题意有S2b2 6 d q 64，an3 (n 1)d， bn q2S3b3 9 3d q 960d6d 2或5( 舍去 )，故 an 3 2(n 1)2n 1， bnn 1.解得408q 8q 3(2) 由 (1) 知 Sn 35 (2n1) n(n 2)，所以 1 1 1 1 1S1 S2Sn1× 3 2×411111 1 11 1 1 13×5n n 223 24 3 5n n 2111132n 32 1n2 42 n 1 n 2 .2 n 118. 解析 n 2Sn n 1 0(n 2)， Sn Sn1 2Snn1 0.
16、 1 1 2.又 a(1)解： aSSSnSn 11， Sn1(n N)2n 1(2)证明： Sn1， f(n) 2n1. bn 2(11 n 1.n) 1 1( )f(n)2210 1111121 n11 n1113151)2n1Tn () ·() ()·()()·()()() ()(222222222221 n11 11111 1 ( ) Pn2< .341×3 3×5(2n1)(2 n 1)2n 1219. 解（1 ）a22a3 4（2 ）anan 1 3 2n 2an an 1 2n 12n 2an 2n 1( an 12n 2
17、)当 n 为偶数时： an2n1(an 12n 2 )(a120) 0an2n 1当 n 为奇数时： an2n1(an 12n 2 )a1 200an2n 1所以 an 2n 12 n11112n12(11)（ 3）n 112n12n1 2n 11n12n 1221当 n 2时11111111a21 a3 1an 112()2()3 77 152( 11)122152 n2n 132n 13当 n1时，1115 显然成立。a2320. （）证明 :数列 an 中 a12 , a28当 n2 时 3an 14anan1 （ n N * ）39当 n2时 3an 13ananan 1 ，即 an
18、1an1 ( anan 1 ) 3所以 an 1an是以 a2a12为首项，以1 为公比的等比数列93（）解：由（）知an 1an2(1)n 1 ，故 anan 12(1) n 2 ，9393an 1an 22 ( 1)n 3 ， a2a12 (1)0，9393累加得 ana11( 1) n ，所以 an1(1)n 333bnnnSn(11(22.(nn) =(12. n)（）3n,)32 )3n312.n)32n3n( n1)(323n=4n234321.解： (1) 2an1 an an 2， an 是等差数列，设 an 的首项为 a1，公差为 d，a1 2d 5由 a3 5， S636
19、得1 15d 36，解得 a1 1， d 2. an 2n 1.6a(2) 由 (1)知 bn 6n ( 1)n1··22n 1，要使得对任意n N* 都有 bn 1 bn 恒成立， bn 1 bn 6n1 ( 1)n··22n1 6n ( 1) n 1··22n 1 5·6n 5·( 1)n 1·22n 1 01n13 n恒成立，即2·( 1) (2) .当 n 为奇数时，即3 n，而 (3 n的最小值为3， 3. 2·(2)22)3n3 n99当 n 为偶数时， 2(2)，而2(2
20、)的最大值为 2， 2.9由上式可得2 3，而 为正整数， 1 或 2.Snn11S1n211n,an522. （ 1） n2,222nn2bn 1bnbn2，b为等差数列， b311,9(b1b9 )153,即b517n2d3,bn3n2（ 2） Cn31)1 (11)(6n 3)( 2n22n12n1T1 1111.111 (11)n23352n12n122n12n1当n时，1kk191 (Tn ) min3,57故 k 的最大正整数值为18。23. 解（1）Sn=aSn1，a =S - S（n2），2nnnn-1221,n-1 nn -1n， 由题意n-1nSn =（ Sn - Sn-1 ） Sn22S S=S- SS· S