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1、高三数学总复习平面向量本周题目 平面向量本周重点 向量的运算与应用本周难点 向量的应用、向量与函数、三角、解析几何综合问题考点分析 1. 向量是数形结合的典型。向量的几何表示法-有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。 在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。向量运算中的基本图形：向量加减法则：三角形或平行四边形法则；实数与向量乘积的几何意义-共线；定比分点基本图形- 起点相同的三个向量终点共线等。2. 向量的三种运算及运算的三种形式。向量的加减法， 实数与向量的乘积， 两个向量的数量积都是向量的基本运算， 前两者的结果是向量，两个向量数量积的结
2、果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算加法与减法图形语言符号语言坐标语言记则.实数与向量记的乘积则两个向量的记数量积运算律加法：实数与向量的乘积：两个向量的数量积：说明： 根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如3. 重要定理、公式(1) 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量，有且只有一对实数的线性组合。根据平面向量基本定理，任一向量与有序数对 ( ， ，在基底12)一一对应，称 (12 )为下的坐标，当取为单位正交基底时定义 (
3、 ， 的平面直角坐标。12)为向量向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若 A(x ，y)，则；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x 1，y1)， B(x 2 ， y2)，则(2) 两个向量平行的充要条件符号语言：若坐标语言： 设若x1y2-x 2y1=0 在这里，实数 是唯一存在的， 当同向时， >0；当异向时， >0。，的大小由的模确定。因此，当确定时， 的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中的几何意义。(3) 两个向量垂直的充要条件符号语言：坐标语言：设(4) 线段定比分点公式如图，设则定比分点向量式：定比分点坐标
4、式：设P(x， y) ， P1(x1,y1 )， P2(x2,y2)则特例：当=1时，就得到中点公式：实际上，对于起点相同，终点共线三个向量(O 与 P1P2 不共线 )，总有，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为 1。(5) 平移公式：点平移公式， 如果点 P(x ，y)按，平移至 P'(x' ，y') ，则分别称 (x,y),(x',y')为旧、新坐标，为平移向量在点 P 新、旧坐标及平移向量三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标图形平移：设曲线C： f(x,y)=0按平移，则平移后曲线C'对应的解析式为f(x-
5、h,y-k)=0利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性质4. 向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性 ”特点。本周例题 一 . 向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量和运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件、定比分点公式、平移公式。例 1. 已知 a=(5,4), b=(3,2) ，则与 2a-3b 平行的单位向量为_ 点拨 与一个非零向量a 共线的单位向量有两个：与 a 同向的单位向量，与 a
6、 反向的单位向量，求与已知向量平行的向量常用坐标运算。解析 法一： 2a-3b=2(5,4)-3(3,2)=(1,2)法二：令e=(x ， y) 2a-3 b=(1,2) ，且 e 与 2a-3b 平行 x-2y=0 ，又 x2+y 2 =1由解得变式练习 已知 b 是 a=(-3,4) 垂直，且 |b|=15，求 b答案： (12,9) 或 (-12， -9)例 2. 已知 |a|=1， |b|=1， a 与 b 的夹角为60°， x=2a-b， y=3b-a，则 x 与 y 的夹角是多少？点拨 要计算 x 与 y 的夹角，需求出|x|,|y|， x·y 的值，可利用|x
7、|2 =x2 求解。解析 由已知 |a|=| b|=1， a 与 b 的夹角为60°，得又点评 本题利用模的性质|a|2 =a2在计算 x， y 的模长时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设。由向量减法的几何意义，得。由余弦定理易得变式练习1( 高考浙江卷 )已知平面上三点A 、 B 、 C 满足的值等于 _ 。 (答案： -25)变式练习2已知，a 和 b 的夹角为45°，求使向量a+b 与 a+b 的夹角是锐角时 的取值范围。(答案：)例 3. 已知 ABC 的三个顶点坐标分别是 A(4,1) ， B(3,4) ， C(-1,2) ，BD 是 ABC
8、的平分线，求点 D 的坐标及 BD 的长。剖析： A 、 C 两点坐标为已知，要求点D 的坐标，只要能求出D 分所成的比即可。解 ：由定比分点坐标公式，得 D 点坐标为评述： 本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化。思考讨论若 BD 是 AC 边上的高，或 BD 把 ABC 分成面积相等的两部分，本题又如何求解？请读者思考二、平面向量与函数、不等式、三角函数、数列的综合运用当平面向量给出的形式中含有未知数时， 由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上，可以设计出有关函数、不等式、三
9、角函数、数列的综合问题。此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：利用向量平行或垂直的充要条件，利用向量数量积的公式和性质例 4 已知平面向量(1)若存在实数 k 和 t，使得 x= a+(t 2-3)b,y=-k a+t b，且 x y，试求函数的关系式k=f(t) ；(2)根据 (1) 的结论，确定k=f(t) 的单调区间。解析 (1) 法一：由题意知故整理得： t3 -3t-4k=0 ，即法二： x y, x·y=0 ，即 -k|a|2+t(t 2-3)|b|2 =0， t3 -3t-4k=0 ，即(2) 由 (1) 知：令 k'<0 得 -1<
10、;t<1 ；令 k'>0 得 t<-1 或 t>1故 k=f(t) 的单调递减区间是(-1,1) ，单调递增区是(- ， -1)和 (1 ， +).点评 第 1 问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化，值得注意 )。第 2 问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。变式练习1已知平面向量，若存在不为零的实数k 和角 ，使向量，试求实数k 的取值范围。
11、(答案：)变式练习2已知向量(1) 试用 x 表示； (2)求的最大值，并求此时夹角的大小。(答案： (1)， (2) 最大值为10，此时x=-2 ，)例5已知(1) 求证： a+b 与 a-b 互相垂直；(2) 若 ka+b 与 a-kb 的大小相等 (k R，且 k0， )求 -(1) 证法一 ： (a+b) (a-b)证法二 ： |a|=1,|b|=1 (a+b) (a-b)证法三 ：记又 ， O、 A、 B 三点不共线。由向量加、减法的几何意义，可知以OA 、 OB 为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中，由菱形对角线互相垂直，知(a+b) (a-b)(2) 解：由已知得|ka+b|与
12、 |a-k b|又又 k0, cos( -)=0 0<<< 0<-<点评： 本题是以平面向量的知识为平台，考查三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法， 常用的方法有三种， 一是根据数量积的定义证明， 二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明。例6.(全国高考新课程卷)已知两点M(-1,0)，N(1，0)，且点P使成公差小于零的等差数列。( )点 P 的轨迹是什么曲线？( )若点 P 坐标为 (x 0， y0)，记 为的夹角，求tan 分析 本题依托向量把解析几何、三角、数列等知识很自然地融于一体，既考查了向量的长度、角度
13、、数量积，又考查了轨迹方程、等差数列及同角三角函数间关系等重点知识，可谓一举多得。略解 ( )设点 P(x， y) ，分别计算出由题意，可得点P 的轨迹方程是x 2+y 2=3(x>0)故点 P 的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆。( )由为 ( )知，又于是变式练习 已知两个M(-1,0) ， N(1,0) ，点 P 使成公差小于零的等差数列，且向量垂直，求点P 的坐标。(答案：)例 7. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1) ， B(-1,3) ，若点 C满足，其中 ， R 且 +=1，则点 C 的轨迹方程为 ( )A. 3x+2y-11=0B. (x-1) 2
14、+(y-2) 2=5C. 2x-y=0D. x+2y-5=0分析 本题主要考查向量的运算(几何形式或坐标形式)及直线的方程，把向量联系起来，使问题立意更新，情景更好，内容更丰富。解法 1设 C(x， y) 则消去参数，得点C 的轨迹方程为x+2y-5=0解法共线，故点2 利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：C 的轨迹方程即为直线AB 的方程 x+2y-5=0 ，故本题应选D。A，B，C 三点本周练习 (一 )选择题1. 平面内三点A(0 ， -3) ， B(3,3) ， C(x， 1) ，若，则x 的值为()A. -5B. -1C. 1D. 52. 平面上A(-2,1)
15、 ， B(1 ， 4) ， D(4 ， -3) ， C 点满足，连DC并延长至E，使，则点E坐标为 ()A.B.C. (0， 1)D.3.点 (2 ， -1)沿向量平移到 (-2,1) ，则点 (-2,1) 沿平移到： ()A. (2 ， -1)B. (-2 ， 1)C. (6 ， -3)D. (-6,3)4. ABC 中， 2cosB·sinC=sinA ，则此三角形是 ()A. 直角三角形B. 等腰三角形C.等边三角形D. 以上均有可能5. 设是任意的非零平面向量，且相互不共线，则()中，真命题是：A. B. C. D. 6. ABC 中，若，则 C 的度数是 ()A. 60 &
16、#176;B. 45 °或 135°C. 120 °D. 30 °7. OAB 中，则点 P 在()A. AOB 平分线所在直线上B. 线段 AB 中垂线上C. AB 边所在直线上D. AB 边的中线上8.正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且A.B.C. (7,4)D.(二 )填空题9. 已知是平面上一个基底，若共线，则=_10. 已知的夹角是 _11.设是两个单位向量，它们夹角为60°，则12. 把函数y=cosx 图象沿平移，得到函数_ 的图象。(三 )解答题13. 设，试求满足坐标，其中O 为坐标原点。14. 若夹角 的余弦值。15. 已知夹角为45°，求当向量夹角为锐角时，的取值范围。参考答案(一 )1.C 2.B 3.D 4.B 5.D 6.B 7.A 8.A(二 )9.10.11.12. y=sinx+1(三 )13. (11,6) 14.15.