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1、高三数学第一轮复习： 立体几何复习空间中的垂直关系 （理）人教实验版（ B）【本讲教育信息 】一 . 教学内容：立体几何复习：空间中的垂直关系二 . 教学目的掌握空间中的垂直关系及其应用三 . 知识分析【知识梳理】【空间中的垂直关系】1、空间任意直线互相垂直的一般定义如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为 90°，则称这两条直线互相垂直2、直线与平面垂直（ 1）空间直线与平面垂直的定义：如果一条直线（AB ）和一个平面（）相交于点O，并且和这个平面内过交点（O）的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB，直线 AB 叫做平面的垂线，平面叫做直线的
2、垂面，交点叫做垂足垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段垂线段的长度叫做这点到平面的距离（ 2）直线与平面垂直的判定定理：定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面（ 3）直线与平面垂直的性质定理：定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行另外，一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的所有直线都垂直3、平面与平面的垂直（ 1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直平面、互相垂直，记作（
3、 2）平面与平面垂直的判定定理：定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直（ 3）平面与平面垂直的性质定理定理：如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 几点说明1、直线和平面垂直、平面和平面垂直是直线与平面、平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊位置关系的认识，既可以从直线和平面、平面和平面的交角为 90°的角度讨论，又可以从已有的线线垂直、 线面垂直关系出发进行推理和论证， 还可以利用向量把几何推理和论证过程转化为代数运算过程2、无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线与线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要
4、，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已用心爱心专心有的垂直关系， 再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”。3、在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”，那一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，所以使用这些定理时，一定要注意体现逻辑推理的规范性4、空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直，最终达到目的，其转化关系为：5、注意掌握好以下几个相似结论：（ 1）垂直于同一个平面的两条直线平行（
5、2）垂直于同一条直线的两个平面平行（ 3）垂直于同一个平面的两个平面平行或相交（ 4）垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或者异面空间中的垂直关系【线线垂直的判定】例 1. 如图所示， ABCD 为正方形， SA 垂直于 ABCD 所在的平面，过 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB、 SC、 SD 于 E、 F、 G求证： AE SB， AG SD分析： 要证 AE SB，只要证明AE 垂直于 SB 所在的平面SBC，因 SC面 AEFG ，BC 面 SAB ，所以易得结论同理要证AG SD，只需证明AG 面 SDC 即可证明： SA 平面 ABCD SA BC又 BCAB， SAABA
6、， BC平面 SAB ，又 AE 平面 SAB BCAE SC平面 AEFG SC AE又BC SC C AE 平面 SBC AE SB ，同理可证AG SD点评： 本题的证明过程很具有代表性即证明线线垂直，可先证线面垂直，而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直，在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，由于线线垂直是相互的，应充分考虑线和线各自所在平面的特征，以顺利实现证明需要的转化证明线线垂直的常用方法有：（ 1）利用定义：同一平面内相交成直角时，两直线互相垂直，异面直线成直角时，两条异面直线互相垂直（ 2）利用线面垂直：一条直线与一平面垂直，这条直线垂直于平
7、面内任一直线用心爱心专心（ 3）利用向量：把证明两直线垂直问题转化为两直线的方向向量垂直的问题【线面垂直的判定及性质】例 2. 如图，已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在平面， M 、N 分别是 AB 、 PC 的中点，若 PDA=45 °，求证： MN 平面 PCD分析： 要证 MN 平面 PCD，只需证明MN 垂直于平面PCD 内的两条相交直线因为 PDA=45 °， PAD=90 °，所以 PA=AD ，连接 MC ，易证 Rt PAM Rt CBM ，则 MP、MC ，故 MN PC，由中点想中点，取CD 的中点 E，易证 CD ME ，从而 CD面 M
8、NE ，故 CD MN ，因此 MN 平面 PDC解析：方法一： PA平面 ABCD PA AD ， PDA=45 ° PA=AD=BC ，又M是AB的中点，RtPAM Rt CBMMPMCMN PCN是的中点PC设 E 为 CD 的中点，连接ME，EN，PACDCD PDADCDCD 平面 PADPD / NECDNECD平面 MNEMECDMN平面 MNEMENEEMNCDMNPCMN平面 PCDPCCDC方法二： 如图，取PD 的中点 F，连接 AF ， NF， F、 N 分别为 PD、 PC 的中点， FN/1CD 2又 CD / AB FN/1AB，即 FN/AM 2四边形
9、AFNM 为平行四边形 MN/AF PA平面 ABCD 且 PDA=45 ° PAD 为等腰直角三角形AFPD又 CD AD ， CDPA CD平面 PAD， CD AF用心爱心专心由知AF 平面 PDC MN 平面 PDC方法三： 向量法四边形 ABCD 为矩形，且 PA平面 ABCD ， PDA=45 ° PA、 AD 、 AB 两两互相垂直且 PA=AD以 A 为坐标原点建立如图所示的空间坐标系设 PA=AD=a ， AB=b ，则 A （ 0，0， 0）， P（ 0， 0，a）， B（ b， 0， 0）， C（b， a， 0），D （0， a， 0）M、N 分别为
10、AB 、 PC 的中点 Mbbaa,0,0 , N,2222 MN0, a , a,CD(b,0,0), PC (b,a, a)22MNCD0(b)a0a 0022MNPC0baaaa)02(2MNCD,MNPC即 MN CD，MN PC又PC CD C MN 平面 PCD点评： 证明线面垂直的方法：（ 1）利用线面垂直的定义： 证一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面（ 2）用线面垂直的判定定理：证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直，这条直线与平面垂直（ 3）利用线面垂直的性质：两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面（ 4）用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平
11、面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面（ 5）用面面平行的性质定理：一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面用心爱心专心（ 6）用面面垂直的性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面（ 7）利用向量证明【面面垂直的判定】例 3. 如图，四棱锥P ABCD 的底面是边长为a 的菱形， ABC=60 °， PC面 ABCD ，PC=a，E 是 PA 的中点（ 1）求证：面 BDE 面 ABCD ；（ 2）求点 E 到面 PBC 的距离；（ 3）求二面角 A EB D 的平面角的正切值（ 1）证明： 设 O 是 AC 、 BD 的交点，连接 E
12、O ABCD 是菱形， O 为 AC 、BD 的中点，又 E为 PA的中点， EO/PC，又 PC面 ABCD ， EO面 ABCD ， EO面 BDE面 BDE 面 ABCD（ 2）解： EO/PC， PC面 PBC ， EO/ 面 PBC点 O 到面 PBC 的距离等于点E 到面 PBC 的距离，作 OFBC 于 F PC面 ABCD ， PC面 PBC ，面 PBC面 ABCD ，于是 OF面 PBC， OF 的长等于 O 到面 PBC 的距离由条件可得 OB3 a, OF3 a13 a2224 E 到面 PBC 的距离为3 a4（ 3）解： 作 OGEB 于 G，连接 AG OEAC
13、， BD AC AC 面 BDE AG EB AGO 是二面角A EB D 的平面角用心爱心专心OE= 1 PC1 a, OB3 a222 EB=aOGOE OB3 aEB4又 AO1 a2 tan AGO AO 2 3 OG 3即所求二面角的正切值为233点评：垂直和平行关系在立体几何问题中无处不在，对垂直和平行关系证明的考查是高考每年必考的内容，多以简单几何体尤其是棱柱、棱锥为主， 或直接考查垂直和平行关系的判断及证明，或通过求角和距离间接考查，试题灵活多样因此，在平时的复习中要善于总结、归纳并掌握此类问题的通性通法，加强空间想象能力，逻辑思维能力及语言表达能力的训练 在证明两平面垂直时，
14、一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在， 则可通过作辅助线来解决；而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直” 、“面面垂直” 间的转化条件和转化运用， 这种转化方法是本节内容的显著特征 掌握转化思想方法是解决这类问题的关健【二面角的求法】例4. 如图所示，在四面体ABCD中， AB 平面BCD ， BCCD ， BCD=90 °，ADB30 ， E、 F 分别是 AC 、 AD 的中点（ 1）求证：平面 B
15、EF 平面 ABC（ 2）求平面 BEF 和平面 BCD 所成角的余弦值分析： 对于问题（ 1）可采用“线面关系转化法”证明线面垂直；解决问题（2）可采用“定义法作角、证明、求值”或面积射影公式求解（ 1）证明： 利用线面、面面垂直的判定定理和性质定理如图所示，AEECAFEF/ CDFDAB平面 BCDABCDBCCDCD 平面 ABCABBCB用心爱心专心EF平面 ABC平面 BEF 平面 ABCEF平面 BEF（ 2）解： 如图所示，作EH BC 于 H，则 EH 平面 BCD 因为三个平面 BEF ，ACD ， BCD 两两相交，且交线EF/CD ，所以在平面BCD 内过 B作 l/C
16、D ，则 l 是平面 BEF 与 BCD 的交线，由 BC CD 知 BC l， BE l， EBH 是平面 BEF 与平面 BCD 所成二面角的平面角设 AB=1 ，则 BD3, BCBD622在 RtEHB 中， EH1116AB2,BHBC224EH162 tan EBH63BH又 EBH 0, 415 cosEBH5点评：有许多涉及求角与距离的问题（既可以用线面关系和解三角形理论求解，又可以用向量法求解，如果问题能通过一个基底或能建系求点，则可选用向量法，借助向量中的理转转论求解；否则可直接利用“线线问题线面问题面面问题 ”来研究，并在化化研究的基础上比较优劣，优化思维程序和解题方法【
17、模拟试题】1、已知直线m、 n 与平面、，给出下列三个命题：若 m/,n/，则 m/n；若 m/,n，则 nm；若 m， m/ ，则其中真命题的个数是（）A、 0B 、1C、2D、 32、设、 为平面， m、 n、l 为直线，则 m的一个充分条件是（）A、，=l ，mlB、m,C、, mD、 n, n,m3、给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行；若直线 l 1 、 l 2 与同一平面所成的角相等，则 l1 、 l 2 互相平行；若直线 l 1 、 l 2 是异面直线，则与 l1 、 l 2 都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是（）A、 1
18、B、2C、3D、44、已知正方体ABCD A 1B1C1D1 ，直线 BC 1 与平面 A 1 BD 所成的角的余弦值是（）用心爱心专心2322A、B、C、D、33245、若三棱锥 S ABC 的顶点 S 在底面上的射影H 在 ABC 的内部， 且是 ABC 的垂心，则（）A、三条侧棱长相等B 、三个侧面与底面所成的角相等C、 H 到 ABC 三边的距离相等D、点 A 在平面 SBC 上的射影是SBC 的垂心6、如图，在正方形 ABCD 中， E、 F 分别是 AB 、 BC 的中点，现在沿 DE、 DF 及 EF 把 ADE 、 CDF 、 BEF 折起，使 A 、B 、C 三点重合，重合后
19、的点记为 P，那么在四面体P DEF 中，必有（）A、 DM 平面 PEFB 、PM平面 DEFC、平面 PDE平面 PEFD、平面 PDE平面 DEF7、正方形ABCD 的边长是2，E、 F 分别是 AB 和 CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角（如图） ， M 为矩形 AEFD 内一点，如果MBE =MBC ， MB 和平面 BCF 所成的角的正切值为1 ，那么点M 到直线 EF 的距离为 _28、若正四棱锥的底面边长为2 3 cm ，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 _9、已知平面和平面交于直线l， P 是空间一点， PA，垂足为 A ，PB，垂足为B ，且 P
20、A=1， PB=2 ，若点 A 在内的射影与点B 在内的射影重合，则点P 到 l 的距离为_ 10、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD 中， AB AC ，PA平面 ABCD ，且PA=AB ，点 E 是 PD 的中点（ 1）求证： AC PB；（4 分）（ 2）求证： PB/ 平面 AEC ；（ 3）求二面角 E AC B 的大小11、如图，在棱长为1 的正方形ABCD A 1 B1C1D1 中， P 是侧棱 CC1 上的一点， CP=m用心爱心专心（ 1）试确定 m，使得直线 AP 与平面 BDD 1B 1 所成角的正切值为3 2 ；（ 2）在线段 A 1C1 上是否存在一个定点
21、Q，使得对任意的m，D 1Q 在平面 APD 1 上的射影垂直于 AP ？并证明你的结论12、如图所示， AF 、DE 分别是 O、O1 的直径， AD 与两圆所在的平面均垂直，AD=8 ，BC 是 O 的直径， AB=AC=6 ，OE/AD （ 1）求二面角 B AD F 的大小；（ 2）求直线 BD 与 EF 所成的角用心爱心专心【试题答案】1、C2、D3、D4、B5、D6、C28、 30°9、 510、（ 1）（ 2）略（ 3） 135°7、2111、（ 1） m（2）Q 为 A1C1的中点312、（ 1）45°（ 2） arcsin 3 210用心爱心专心