《高三数学第三轮总复习数列极限押题针对训练.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学第三轮总复习数列极限押题针对训练.docx（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高三数学第三轮总复习数列的极限押题针对训练本周复习内容：数列的极限本周复习重点：数列的极限运算，数列及其极限的综合问题<一 >关于数列极限的运算1运算法则：liman=A,limbn=B.nn(1)lim(anbn )AB(2)n(3)limanA0)nbn( BB注意： 运算法则只可应用于有限个数列的运算当中。2几个基本数列的极限limn(an bn )AB(1)limc=c(2)limnn1(3)limn=0 (0<|q|<1)0nqn3数列极限运算的几种基本类型：(1)关于 n 的分式型(2)关于 n 的指数型(3)无穷多项的和与积(4)无穷递缩等比数列<二
2、 > 本周例题例 1 求下列数列的极限：(1)lim3n22n 6(2)lim(2)n3nn5n27n 9n( 2) n 13n 1(3)lim(1111(11n22 )(12 )(142 )n2 )3(4)lim121212n(552535452n 152n )(5)lim111n 11n3927( 1)3n 323n 1(6)limn (n1n)(7)lim1 3nn3nan 1(8)lim123n(9)lima n 1(a,b>0)n2!3!4!(n 1)!nanbn分析： 求数列的极限首先应判断属于哪一种基本类型，然后考虑如何转化哪一种基本数列的极限解决问题。解: (1)l
3、im3n22n6n5n27n9263n 23limnn7955n2n（n3n(2) n11lim）lim3(2)2n( 2) n 13n 1= n2.2n33( )3(3)lim(11)(11)(11)(11)n223242n2=lim(111111)(1111n)(1)(1)(1)(1) (1)(1)223344nn=lim132435n 1)(n1n2334(nn)24=lim1n11n2n2(4)lim121212)n(52535452n152n5=lim1112(111n(5352n 1 )25452n )55= lim n1111(12 n )2 (12 n )7 552551111
4、245252lim1112(11或另解：原式= n(5352n 1 )252 n55117525211241521521(- 1)的无穷(5) 分析： 应能够很快地由数列的通项(1)n 1可识别出此数列为公比为3n3递缩等比数列。limn111111( 1)n 1339273n14 。13(6)limn (n1limn (n 1n )(n 1n)nn) = nn1n=limn ( n1n)=limn= lim11nn1nn1n12nn11n注： 数列 n 不存在极限，不能直接用运算法则，因此变形后化为基本数列的极限解决。323n113n13n(7)lim13lim31limn3na n 1=
5、n= n2(3na n 1 )3na n 113n111 当 0|a|<3limlim3n时， n= na.2(3nan 1 )na221 (33n1 当 |a|>3lim3n1lim（a）a n0 .时， n2(3nan= n31 )2()naa3n111limlim3n1 当 a=3 时， n2(3n= n2(13)。a n 1 )81lim3n1lim13n 当 a=-3 时， n2(3na n= n21a(（极限不存在） 。1 )1)n 10| a | 3323n12lim13| a | 3 综 - ， n3na n101a38(8)lim123nn3!4!(n2!1)!=
6、 nlim 213141( n1)12!3!4!(n1)!= nlim(11)(11)(11)(11)2!2!3!3!4!n!(n 1)!= nlim1(n11)!1.(9)liman 1limaa 。 a>b>0 时， nanbn= nbn1)(aan1a( a ) nlimlimb0 。 当 b>a>0 时， nanbn= nan)1(a n1b 当 b=a>0 时， nlim= nlimaa 。anbn22综上： liman 1aab0=na nbn0ba0aab2<i>小结： 求数列的极限难点问题有几类，无穷多项的和与积；如上例中第(3),(4
7、),(5),(7),(8)，不能直接用极限的运算法则，先要将所给形式变形，化简，如(3)是约分化简， (4)是转化为两个等比数列的和，(5)的关键是能够判断其为无穷递缩等比数列，(7)则是光用等比数列求和公式化简，(8) 却应用的是特殊数列求和的基本方法裂项求和达到化简的目的。 <i i>关于 n 的指数型数列的极限，若含有参数的幂的形式（关于n 的），则需要讨论，以确保符合条件0<|q|<1 ，才可应用 limnq n0来解决问题。例 2. (1)已知 limn( 2n 2na)b,求 a, b.n2(2)liman 2cn2 ,lim已知 nbn2cn(3)已知：l
8、ima2 n4n 1n22 n 13n 2bnc3 , 求： nliman 2bnc 。cnacn 2anb3 , 求 a.8解： (1) nlim( 2n2na ) b,n 2即有： limn(2a)n22na2a0a2b ，则有b2ab4n2an 2cnaca(2)lim2,limn2,2 . nbn2cncbbn2cbncbbblim3limn33又,.ncnanacccnbcan 2bncaa又limlimnn2,ncn 2anb= nabccnn2an2由，得a236， nlimbnc =6。ccn 2anb(3)lima 2 n4n 13 ,n3n224n8141n 当|a2|&g
9、t;4lima2n4 n 1lim4（ a 2）不存在，时， n3n224 n= n349 (n2(na2 )a2 )a 2n12lima2 n4n 1lim( 4)41，当 0<|a|<4时， n3n224 n= n3n8)29(4lima2 n4n1lim11324当 a =4 时， n3n224n= n3n8，9(2) 有： a2=4, 即 a=± 2.4小结： 本例中几问共同特点是已知数列的极限，反过来求式子中待定的系数。解决的方法仍是化归为求数列的极限问题。如(1)中，已知一个关于n 的分式型的极限，实际上考察了对关于n的分式型极限求法的掌握情况。应使学生明确形
10、如：ax 2bxc的极限问题关键看分子，分cx 2dxc母中关于 n 的项的最高次项的系数，如果不能确定其系数时，即需要讨论。例 3 (1)在等比数列 a n 中， a1>1，且前 n 项和 Sn 满足 limnSn1，求 a1 的取值范围。a1(2)数列 a n,b n 均是公差不为0 的等差数列， 且 limnan3 ，求 nmilb1 b2bn。bnna 2n解： (1) a n 为等比数列，又a1>1, 且 nlimSn1,因此 a n 为无穷递缩等比数列，a1设 an 公比为 q. 1a1, 1-q=a21 ,a11q 0<|q|<1, 0<|1-a12
11、|<1,解得： a (1,2) .(2) 设 a n 公差为 d, bn 公差为 d', lima1(n1)dd,nb1(n1)d '3d ' b1 b2bn nb1n(n 1) d ' , na2n=na 1+(2n-1)d,2nb1n (n 1) d 'b11 ( n 1)d '1lim2lim2n(2n 1)d n2n 1)d4n a1a1limnd'1.d12小结： 数列的极限与等差，等比数列的知识的结合是经常考察的问题，尤其要注意对于无穷递缩等比数列的识别，及求和公式的正确运用。例 4 已知数列 a 前 n 项和为 S ,
12、 此无穷数列对于不小于2 的正整数 n, 满足 1-S =a-a .nnnn-1n(1)求 a1, a2, a3. (2)证明 a n 为等比数列。(3)设 bn(12)anlim(b +b + +b ) 的值。，求 nlog 2 a2 n 3log 2 a2n12n1解： (1) S2=a1+a2,1-(a 1+a2)=a 1-a 2,解得: a11,2 S =a +a +a ,同理解得：1,a31a2.3123481(2)<方法 1>, 由 a1,a 2,a 3 推测 an(n N).2n用数学归纳法证明 当 n=1 时，上式成立假设当 n=k(k 1, k N)时， ak12
13、k 成立。1欲证当 n=k+1 时， ak 1k 1 成立，2 1-S k+1=ak-a k+1, 1-(S k +ak+1)=a k -a k+1, 1-S k=ak .(I)同理， 1-Sk+1 =ak+1 .(II)(II)-(I)得： 1-Sk+1-(1-Sk)=a-ak-ak+1=a-ak, 2a =a,k+1k+1k+1k1111, n=k+1 时，命题也成立。 ak 1ak2k2k 122由对于 n N, an12n 均成立。<方法 2> 当 n 2 时， 1-Sn=an-1 -a n. 1-S n+1=an-a n+1. - 得： Sn+1-S n=an-1 -2a
14、 n+an+1, a n+1=an-1 -2a n+an+1,an1,an 12即 a2a3an1 ， a n 为等比数列。a1a2an 12(3) bn11111)2n 32 n 12nlog2 (log 2 ( )2221111(1)2 n( 2n1)2n1(2n 3)2n2n2n 3limn(b 1+b2+b3+ +bn)= nlim(11)(11)1n 11n 35 252 74(2n 1)2(2n 3)2= nlim1(2n13) 2n 1 .33小结： 数列，极限，数学归纳法常常将几个知识点综合起来考察，因此需要清理解决问题的方法及知识体系，这是提高能力的关键。<二 > 本周参考练习：(1) a n 为等比数列， a1=-1 ，前 n 项和为 Sn,S1031，求若S532limnSn.(2)在数列 a n 中，若 lim(2n-1)a n=1,求 limnan 的值。nn(3)数列 a n 的前 n 项和记为Sn，已知 an=5Sn-3(n N),求 limn(a 1+a3+a5+ +a2n-1 ) 的值。练习答案： (1) -214(2)2(3)35