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1、点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它 的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、 中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式 作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法 为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗 浅的探讨，以飨读者。定理 在抛物线 y2 2mx(m 0)中，若直线 l与抛物线相交于 M、N 两点
2、，点 P( x0 , y0 )是弦MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 kMN ，则 kMN y0 m.证明：设 M、 N 两点的坐标分别为(x1,y1) 、2 y1 (x2, y2 ) ，则有 12 y22mx1,2mx2.(1)(2)22(1) (2) ，得 y12 y22 2m(x1 x2).y2 y1(y2 y1) 2m.又 kMNx2 x1 , y2 y1 2y0.kMN y0 m.注意：能用这个公式的条件： (1)直线与抛物线有两个不同的交点； ( 2)直线的斜率存在 . 同理可证，在抛物线 x22my(m 0)中，若直线 l 与抛物线相交于 M、N 两点，点 P(x0
3、,y0)是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 kMN ，则kMNx0m.注意：能用这个公式的条件： (1)直线与抛物线有两个不同的交点； ( 2)直线的斜率存在，且 不等于零 .典题妙解例 1 抛物线 y2 4x 的过焦点的弦的中点的轨迹方程是( )2A. y x 12B. y2 2(x 1)C.21yx22D. y 2x 1解： m 2 ，焦点 (1,0) 在 x轴上. 设弦的中点 M 的坐标为 (x, y).y由kMN y m得： xy1 y 2，整理得： y2 2(x 1) .所求的轨迹方程为 y2 2(x 1) .故选 B.例 2 抛物线 y 2x2上一组斜率为 2
4、的平行弦中点的轨迹方程是(A. x 1 ( y > 1 )22解：由 y 2x2 得 x211B. y( x> ) C. y 2x( x>1) D. y 2x 1221，焦点在 y 轴上 . 设平行弦的中点 M 的坐标为 (x,y). 411 由 x m 得： x kMN221 在 y 2x2中，当 x 12时，点 M 的轨迹方程为 x12.1y>2)故答案选 A.例 3 (03 上海)直线 y x 1被抛物线 y2 4x截得的线段的中点坐标是解：m 2，焦点(1,0)在x轴上. 设弦 MN 的中点 P的坐标为 (x,y)，弦MN 所在的直线 l的斜率为 kMN ，则
5、kMN 1. 由 kMN y0 m得： y0 2 ，2 x0 1.从而 x0 3. 所求的中点坐标是 (3,2).例 4 抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，它和直线 y x 1 相交，所得的弦的中点在22x2 y2 5 上，求抛物线的方程 .解：设抛物线的方程为 y2 2mx(m 0) ，直线与抛物线的两个交点为 M、N，弦 MN 的中点P的坐标为 (x0,y0) .由 kMN y0 m得： y0 m ，x0 y0 1 m 1.又 点 P(m 1,m) 在圆 x2 y2 5上，22(m 1)2 m2 5.解之得： m 2, 或 m 1.y x 1, 2 由 2得： x2 2(m 1)x 1
6、0.y2 2mx.直线与抛物线有两个不同的交点，24(m 1)2 4 >0.m< 2 ，或 m >0.m 1. 故所求的抛物线方程为 y2 2x.例 5.已知抛物线 y2 12x 上永远有关于直线 l : y 4x m 对称的相异两点， 求实数 m的取值范围 .解：设抛物线上 A、B 两点关于直线 l 对称，且弦 AB 的中点为 P(x0,y0) .1 根据题意，点 P在直线 l上， AB l， kAB 1 .422又 y2 12x ， y2 2mx， m 6.由 kAB y0 m ，得：4 y0， y024.又由 y0 4x0 m，得： x0m 244点 P( x0 , y
7、0 ) 在抛物线的开口内，( 24) 2 <12 (m 244).解之得： m < 216.故实数 m的取值范围 ( , 216) .例 6. (05全国文 22)设A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 )两点在抛物线 y 2x2上，l是 AB的垂直平分线 . )当且仅当 x1 x2取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点 F？证明你的结论 .)当 x1 1,x23时，求直线 l的方程 .2 111解：() x2 y， p ,F(0, ) .248设线段 AB 的中点为 P(x0,y0)，直线 l 的斜率为 k，则 x1 x2 2x0.若直线l 的斜率不存在，当且仅当x1 x
8、2 0 时， AB 的垂直平分线 l 为 y 轴，经过抛物线的焦点 F.若直线l 的斜率存在，则其方程为y k(x x0) y0 ，kAB由1kAB1x0p 得： kx04x014k1若直线 l 经过焦点 F，则得：81kx0 y0 4y0，1y0 ，与 y0 0 相矛盾 .4当直线 l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当x1 x2 0 时，直线 l 经过抛物线的焦点F.)当 x1 1,x23 时，A(1,2), B( 3,18), x0x1 x221,y0y1 y2210.11 由x0 p 得： k.kAB41所求的直线 l 的方程为 y (x 1) 10 ，即 x
9、 4y 41 0. 4金指点睛21. 已知直线 x y 2 0与抛物线 y2 4x交于 A、B 两点，那么线段 AB 的中点坐标是 22. 直线 y kx 2与抛物线 y2 8x交于不同的两点 P、Q，若PQ中点的横坐标是 2，则|PQ |=3. 已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x轴的正半轴上，直线 l : y 4x 1被抛物线 C 所截得的 弦 AB 的中点 M 的纵坐标为 2 ，则抛物线 C 的方程为 .24. 设P1 P2 为抛物线 x2 y的弦，如果这条弦的垂直平分线 l 的方程为 y x 3，求弦 P1 P2 所在 的直线方程 .25. 过点Q(4,1)作抛物线 y2 8x的弦
10、AB ，若弦AB 恰被 Q平分，则AB 所在的直线方程为 .26. 已知抛物线 y 2x 2上有不同的两点 A 、B关于直线 l: y x m对称，求实数 m的取值范围 .27. ( 05全国理 21)设 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 )两点在抛物线 y 2x2上， l是 AB 的垂直平分线 .)当且仅当 x1 x2取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点 F？证明你的结论）当直线 l 的斜率为 2 时，求 l 在 y 轴上的截距的取值范围28. （08陕西文理 20） 已知抛物线 C：y 2x2，直线 y kx 2交C于A、B两点， M是线段 AB 的 中点，过 M 作 x 轴的
11、垂线交 C 于点 N.（）证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行； （）是否存在实数 k 使 NA NB 0 ，若存在，求 k 的值；若不存在，请说明理由 .参考答案1. 解：22y2 4x， y2 2mx， m 2. 直线的斜率为 1.由 kMN y0 m得： y0 2代入 x0 y0 2 0 求得 x0 4.线段 AB 的中点坐标是 （4,2） .222. 解： y2 8x， y2 2mx， m 4.在 y kx 2 中， x0 2 时， y0 2k 2 ， 若 PQ 中点的纵坐标是 y0 2k 2.由kAB y0 m得： k(2k 2) 4，即 k2 k 2 0.解之得： k
12、 2或 k1.y kx 2,2 8x.得： k2x2 4(k 2)x 4 0.直线与抛物线交于不同的两点， k 2 0,16(k 2)2 16k 2 0. 解之得： k> 1且 k 0.k 2.y 2x 2, 2 2由 2 得： 4x2 16x 4 0. 即 x2 4x 1 0. y 2 8x.设 P(x1, y1),Q(x2,y2) ，则 x1 x2 4, x1 x2 1.|PQ | (1 k2) (x1 x2)2 4x1x25(16 4) 2 15.223. 解： y 8x ， y 2mx， m 4.AB 所在的直线方程为 y 1 4(x 4)，即 4x y 15 0.4. 解：设抛
13、物线的方程为 y2 2mx (m>0). 33在 y 4x 1中，斜率为 4 ， y 2 时， x . 弦 AB 的中点 M 的坐标为 ( , 2).44 由 kAB y0 m得： 4 ( 2) m ， m 8 .2所求的抛物线的方程为 y2 16x .5. 解：x2 2my， m 1. 弦P1 P2所在直线的斜率为1. 设弦 P1 P2 的中点坐标为(x0,y0) .由1kP1P2x0 m 得：1 x0 215 1 5弦 P1 P2的中点也在直线 y x 3上， y03.弦P1 P2的中点坐标为 ( , ) .1 2 0 221 2 2 251弦 P1 P2 所在的直线方程为 y 1
14、(x ) ，即 x y 2 0.1 2 2 26. 解：设弦 AB 的中点为 P(x0 , y0 ) .根据题意， AB l ， kAB1.2 1 2 1 又 x2 y ， x2 2my， m .24111由x0 m ，得： 1 x0， x0.kAB441 又由 y0 x0 m ，得： y0m .4点 P( x0 , y0 ) 在抛物线的开口内，1 2 1 1( )2 <( m).4243 解之得： m > 3 .83 故实数 m的取值范围 ( , ) .82 1117. 解：() x2 y ， m p ,F(0, ).248设线段 AB 的中点为 P(x0,y0)，直线l的斜率为
15、 k，则 x1 x2 2x0.若直线 l的斜率不存在，当且仅当 x1 x2 0时，AB 的垂直平分线 l 为y轴，经过抛物线的焦点 F.若直线 l 的斜率存在，则其方程为y k(x x0) y0 ，kAB1由 x0 m得： kx0 kAB1x00 4k1，与 y0 0 相矛盾 .41 kx0 y04当直线 l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点若直线 l 经过焦点 F，则得：y0，y0F.综上所述，当且仅当x1 x20 时，直线 l 经过抛物线的焦点F.)当 k 2 时，由()知，1，直线 l 的方程为8y0 b 1 .4x0y 2x y01它在 y 轴上的截距 b y041直线 AB 的
16、方程为 y (x x0) y0 ，即 y5162 2 5 代入 y 2x2 并整理得： 4x2 x 2b 85 0直线 AB 与抛物线有两个不同交点，51 16( 2b ) >0，即 32b 9 >0.9b >.329 故l在y轴上的截距的取值范围是 ( 9 , ).322 1 18.()证明： x2y,m p ，设点 M24当 k 0 时，点 M 在 y 轴上，点 N 与原点 在点 N 处的切线为 x 轴，与 AB 平行 .1当 k 0 时，由 1 x0 kABp得：x02yN2x0k2. 得点 N 的坐标为8(k44k82).k4设抛物线 C 在点 N 处的切线方程为y
17、k2 m(x k)，即 y m(x k)8 4 4k2482 2 k k 2 代入 y 2x2，得： 2x2 m(x k4) k8 ，整理得：2 km k2 2x mx2 22k2 8 k 2k2 16|MN | y0 yN4 8 8y kx 2 2, 得 2x2 kx 2 0. y 2x2.k设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 x1 x2 2,x1x2 1.|AB| (1 k2 )(x1 x2)2 4x1x2(k2 1)(k4 4)12 (k2 1)(k2 16) .1 (k 2 1)(k2 16) 2 k 1628. 即 (k 2 1)(k 2 16)22(k 2 16)24化简，得：22k2 16 2k2 1，即 k 2 44k2.故存在实数 k2，使 NA NB 0.