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1、点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用x2y21（ a b 0 ）中，若直线 l 与椭圆相交于M 、N 两点，点 P(x0 , y0 )定理在椭圆ba22是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l的斜率为 k MN ，则 k MNy0b2x0a2 .证明：设 M 、 N 两点的坐标分别为(x1 , y1 ) 、 (x2 , y2 ) ，x12y121,(1)a 2b2则有x22y221.(2)a 2b2(1)(2) ，得x12x2 2y12y2 20.a 2b 2y2y1 y2y1b22 .x2x1x2x1a又 kMNy2y1y1y22 y y.kMNyb2x2x1,x1x22xxxa2 .同理
2、可证， 在椭圆 x2y21（ ab0）中，若直线l与椭圆相交于MNPx0,y0)、 两点，点(b2a 2是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线l的斜率为k MN ，则 k MNy0a 2x0b2 .典题妙解例1设椭圆方程为x2y 21，过点M (0,1)的直线l交椭圆于点A、B O为坐标原点， 点P，4uuur1uuuruuur11满足 OP2(OAOB ) ，点 N 的坐标为,.当 l 绕点 M 旋转时，求：22（ 1 ）动点 P 的轨迹方程；（ 2 ） | NP | 的最大值和最小值 .解：（ 1 ）设动点P 的坐标为(x, y).由平行四边形法则可知：点P 是弦AB的中点.焦点在y 上
3、，a 24,b21.假设直线l 的斜率存在.由 kABya 2y1y4.xb 2得：xx整理，得： 4x2y2y0.当直线 l的斜率不存在时，弦AB 的中点 P 为坐标原点 O (0,0) ，也满足方程。所求的轨迹方程为4x2y 2y0.x 2( y1)211（ 2 ）配方，得：2111.x.44164| NP|2(x1)2( y122)2( x1) 21x 221 ) 2473( x612当 x1时， | NP |min1；当 x1时， | NP |max21 .4466例 2在直角坐标系 xOy 中，经过点 ( 0,2 ) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 x 2y21 有两个不同2的交点
4、 P和Q.（ 1 ）求 k 的取值范围；（ 2 ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、 B ，是否存在常数k ，使得向量OPOQ 与 AB 共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：（ 1 ）直线 l 的方程为 ykx2.ykx2,得： ( 2k 21)x 2由 x 2y21.4 2kx 2 0.2直线 l与椭圆 x 2y 21有两个不同的交点，232k 28( 2k 21) 0.解之得： k 2或 k 2.22k 的取值范围是,22 ,.22（ 2 ）在椭圆 x2y21中，焦点在 x 轴上， a2, b 1 ， A( 2,0), B(0,1), AB (
5、2 ,1).2设弦 PQ 的中点为 M (x0 , y0 ) ，则 OM( x0 , y10 ).由平行四边形法则可知：OPOQ2OM .OP OQ 与 AB 共线，OM 与 AB共线.x0y0，从而 y02 .21x02y02b 2 得： k21 ， k2 .由 kPQx0a222由（ 1 ）可知 k2时，直线 l 与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数k .2例 3x 2y 21（ a b 0 ）的左、右焦点分别为F1、 F2，离心率 e2已知椭圆2b2，右a2准线方程为 x2 .( )求椭圆的标准方程；( )过点 F1 的直线 l 与该椭圆相交于 M 、N 两点，且 | F2 MF2
6、N| 226，求直线 l 的方程 .3解：（）根据题意，得c2ea2 ,a2, b1, c1.所求的椭圆方程为x221.a2yx2.2c（）椭圆的焦点为F1 (1,0)、 F2 (1,0) . 设直线 l 被椭圆所截的弦MN 的中点为 P( x, y) .由平行四边形法则知：F2 MF2 N2F2P .由| F2MF2N| 226得： |F2P|26. ( x1) 2y226 . 339若直线 l 的斜率不存在，则lx 轴，这时点 P 与 F1 ( 1,0) 重合， | F2 MF2 N | | 2F2 F1 |4 ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在 .由 kMNyb 2yy1 .y 21
7、( x2x).xa2 得：1 xx22代入，得 ( x1) 21 ( x 2x)26 .29172整理，得： 9x 245 x170 .解之得： x，或 x.172313y由可知， xx，从而 y.k1.3不合题意 .33x 1所求的直线 l 方程为 yx1 ，或 yx1.例 4已知椭圆 C : x2y 21（ a b 0 ）的离心率为3 ，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于a 2b 23A 、B 两点 . 当 l的斜率为 1时，坐标原点O 到 l2的距离为.2（1 ）求 a, b的值；（2）C上是否存在点，使得当l绕F转到某一位置时，有 OPOAOB 成立？若存在，P求出所有点 P 的
8、坐标与 l的方程；若不存在，说明理由 .解：（ 1 ）椭圆的右焦点为F (c,0)，直线 l的斜率为 1时，则其方程为y xc ，即 x y c 0.原点 O 到 l 的距离： d| 00c |2c2c1 .222，c3a3 .从而 b2 .a3 ， b2 .又 e，a3（ 2 ）椭圆的方程为x2y21. 设弦 AB的中点为 Q (x, y) . 由 OPOA OB 可知，点 Q32是线段 OP 的中点，点 P 的坐标为 (2x,2 y) .4x22 y 21.3若直线 l 的斜率不存在，则lx 轴，这时点 Q 与 F (1,0) 重合， OP( 2,0) ，点 P 不在椭圆上，故直线 l的斜
9、率存在 .由 kAByb 2 得：y1y2.y 22( x2x) . xa 2xx33由和解得：x3 , y2.44当 x3 , y2时， k ABy2 ，点P 的坐标为( 3,2 ) ，直线 l 的方程为44x 1222xy20；当 x3 , y2时， kABxy2 ，点P 的坐标为( 3,2 ) ，直线 l 的方程为441222xy20.金指点睛1. 已知椭圆 x22 y 24，则以 (1,1) 为中点的弦的长度为（）A.3 2B. 233036C.D.232. （06江西）椭圆 Q : x2y 21（ a b 0 ）的右焦点为 F (c,0)，过点 F 的一动直线 m 绕点a2b2F 转
10、动，并且交椭圆于A、 B 两点， P 为线段 AB 的中点 .（ 1）求点 P 的轨迹 H 的方程；（ 2）略 .3 （05 上海）（ 1 ）求右焦点坐标是( 2,0) 且过点 ( 2,2) 的椭圆的标准方程；（ 2）已知椭圆x 2yC 的方程为2ba221（ a b 0 ）.设斜率为 k 的直线 l ，交椭圆 C 于 A 、 B两点， AB 的中点为M.证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（ 3）略 .4. (05湖北 )设 A 、B 是椭圆 3x 2y2上的两点， 点 N (1,3) 是线段 AB 的中点， 线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于C、D 两点 .（ 1
11、）确定 的取值范围，并求直线 AB 的方程；（ 2）略 .5.椭圆 C 的中心在原点， 并以双曲线y2x 21 的焦点为焦点， 以抛物线 x26 6 y 的准线为42其中一条准线 .（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）设直线 l : ykx2(k 0) 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点，使 A 、B 两点关于直线l ' : y mx1(m0) 对称，求 k 的值 .参考答案1. 解：由 x22 y 24 得 x2y 21 ， a 24, b22 .42弦 MN 的中点 (1,1) ，由 kMNyb 21直线 MN 的方程为 y 11 ( x 1) .xa2 得 kMN，22即 x2
12、y3 . k1 .2x 22 y24212y 50 .由2 y得： 6yx3设 M (x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ，则 y1y22, y1 y25.6|MN|(112 ) ( y1y2 )24 y1 y2k5 (4 10) 3303故答案选C.yb2yyb22. 解：（ 1 ）设点 P 的坐标为 ( x, y) ，由 kABa2得：cxa2，xx整理，得： b2 x2a2 y2b2 cx0 .点 P 的轨迹 H 的方程为 b 2 x 2a2 y 2b 2 cx0 .3 解：（1）右焦点坐标是 ( 2,0)，左焦点坐标是 (2,0) .c2 .由椭圆的第一定义知，a(2 2)
13、2( 2 )2(22)2(2)24 2， a 2 2 .2b2a2c 24.所求椭圆的标准方程为x 2y 21.8422（2 ）设点 M 的坐标为 ( x, y) ，由 kAByb 2 得： kyb 2，整理得： b2 x a 2 ky 0 .xaxaa 、 b 、 k 为定值，当直线 l平行移动时，动点 M 在一条过原点的定直线b2 x a2 ky 0 上 .4. 解：（1）点 N (1,3) 在椭圆 3x2y2内， 31232 ，即 12.的取值范围是(12,) .由 3x 2y 2得 y 2x 21，a 2,b 2，焦点在 y 轴上 .33若直线 AB 的斜率不存在，则直线ABx 轴，根
14、据椭圆的对称性，线段AB 的中点 N 在 x 轴上，不合题意，故直线AB 的斜率存在 .由 kABya2得： k AB3， kAB1.xb213所求直线 AB 的方程为 y31 ( x1)，即 x y40 .从而线段 AB 的垂直平分线CD 的方程为y31 ( x1) ，即 x y20 .5. 解：（ 1 ）在双曲线y2x 21 中， a2, b2, ca2b26，42焦点为 F1 (0,6 ), F2(,6 ) .在抛物线 x226 y 中， p6，准线为 y6.2a 26从而 a3, b3.在椭圆中，c.2y 2x21.所求椭圆 C 的方程为39（ 2 ）设弦 AB 的中点为 P( x0, y0 ) ，则点 P 是直线 l 与直线 l '的交点，且直线 l l ' . m1.ky0a 2y0由 kAB x0b2得： kx03 ，ky03x0 . y01 x0 1ky 0x0 k .kx0k , y0 3 .22 y0kx023kk2k21 .2 2k 1.ykx2x0y2lM (0,2) .M (0,2)l.k1 .