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1、点和直线、直线与直线的位置关系知识点梳理一、点 P(x0 , y0 ) 与直线 l : axbyc0 位置关系 ( a、 b不全为 0 )1、 点P x0,y0)在直线l : ax by c 0上(2、 点P x0,y0)不在直线l : ax by c 0上，则点 P 到 l 的距离 d =；(；的符号确定了点P 关于直线 l 的相对位置。二、直线 l1 : a1 xb1 yc1 0与直线 l2 : a2 xb2 y c20 位置关系 （ a1 ,b1a2 , b2不全为0）1、 l1 与 l 2 相交，交点坐标为两直线联立的方程组的解；l1 与 l 2 夹角公式为。特别地，若 l1 与 l
2、2 垂直。2、l1 与 l 2 平行；两平行直线 l1 与 l 2 的距离 d =。3、 l1 与 l 2 重合。基础练习 (*题为书、练习册题或改编)1.已知点 (a,b)在直线 2x 3y60 上，则直线 ax by6 0 必过定点*2.点 P(1,1)到直线3x4 yc0的距离为，则实数c的值为3*3.已知直线 l : y ax2和 A(1,4) 、B(3,1) 两点。当直线 l 与线段 AB 相交时， 实数 a*4.l1 : 3x2 y60 与 l2 : 9x4 y30的交点坐标为5. l1 : y3x1与 l2 : 3yx40 的夹角为*6.若直线 xay20 和 2x3 y10互相
3、垂直，则a 的值为*7.l1 : xy10与 l2 : 2x2 y10 的位置关系是8. 两平行直线 l1:xy3 0与 l2: 2x2 y1 0 的距离为9.与直线 5x12 y70 平行且距离为1 的直线方程为典型例题 (* 题为书、练习册题或改编)例1已知点 P(4, m) 到直线 l : 4x3y 1 0 的距离是，求实数m的值。4例 2m 为何值时，直线l1 : 4xy4 ， l2 : mxy0 ， l3 : 2x3my40 不能构成三角形。分析：当三条直线交于一点或至少两条直线平行或重合时，三条线不能构成三角形，需要分类讨论。例3等腰直角三角形ABC 的直角边 BC 所在的直线AB
4、 和直角边 AC 所在的直线方程x2y60 ，顶点A( 0,6)，求斜边例4已知三角形ABC的两个顶点A( 1,5) 和 B(0, 1) ，又知C的平分线所在的直线方程为 2x3 y60 ，求三角形三边所在的直线方程* 例 5 直线 l 过 P(1,1) 且与以 A(2, 3) 、 B( 3, 2) 为端点的线段AB 相交，求直线斜率k 的取值范围。反馈练习 (* 题为书、练习册题或改编)*1.已知直线 (a1) x y 12a0 与 (a 2 1) x (a 1) y 150 平行，则实数 a =2.点 P(1,1) 到直线 x cosy sin2 的距离为 d ，则 d 的最大值为3.过点
5、 A(1,2) 且与直线 l : x3y0 成角的直线方程为。34已知两条直线 l1 : x y 0, l2 : axy0 ，其中 a 为实数， 当两条直线的夹角在 (0,)内变动时，则 a 的取值范围是125.若点 (3,1) 和 (4,6) 在直线 3x2 y a0 的两侧，则 a 的取值范围是6.三条直线 x 10,2 x y30, axby c 0交于一点，则a、 b、 c满足（）A a5bc0 B 5abc0 C abc0 D 2abc07.已知点 A(a,2)(a0) 到直线： x y30 的距离为1，则 a8.a 3 是直线 ax2 y 3a 0 和直线3x( a 1) ya 7
6、 平行且不重合的（）A充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D既非充分也非必要条件9. 设 d1与 d2 都是直线 AxBy C0( AB0) 的方向向量，则下列关于d1与d2的叙述，正确的是（）A d1 d2B d1与 d2 同向C d1 / d2D d1与d2 有相同的位置向量10. 求直线 l1 : 3x2y 10 关于直线 l : 2x2 y1 0 对称的直线 l 2 的方程11ABC 的两边 AB, AC 的高所在直线方程分别为2x3 y10和xy0 ，点 A(1,2)是它的一个顶点，求BC 边所在的直线方程。12. 有一束光线从A(2,3) 射到 l : x线的方程（ 2）光
7、线由 A 到 B 的路程y10 反射后过B(1,1)，求：（1）入射光线和反射光13. 在公园内的一个十字路口有一块长方形的土地，地内有一个凉亭C ，凉亭到两条路的距离分别是 20 米和 10 米。为美化公园决定在凉亭的一侧挖一个如下图阴影部分（矩形去掉AOB 部分）所示的荷花池，直线AB 为岸。AB 所在直线的方程；（1）要使荷花池的面积最大，在图示的坐标系中求出（2）如果从十字路口 O 筑一条垂直AB 的石板路，在（1）的条件下求路长。点和直线、直线与直线的位置关系答案基础练习1.(2,3) ； 2. 8或-22 ； 3.1,2 ； 4.(1, 3) ； 5.90 ；326.2； 7.平行
8、；8.52 ；9.5x12 y 20 0 或 5x12 y6 0 。34典型例题例1.解： m5或35 。334xy 4x44 m ， 带 入例2.解：（1）当三条直线交于一点时，由解 得mxy 0y4mm 4l 3 : 2x3my4 0 得 m1, 3；21（2）若 l1 ， l 2 两条直线平行或重合时，m4 ，若 l1 ， l3两条直线平行或重合时，m6若 l2 ， l3 两条直线平行或重合时，m 无解。综上可知， m1,3, 4,1时，三条直线不能构成三角形。26例3.解： AC方程为AB方程为2xy60 ；3xy60 或 x 3 y 18 0 。例4.AB方程为 2x3y60 ，利用
9、对称求得 BC方程为 12 x31 y 310 ，AC方程为24 x23y1390 。例5.k,43 ,。4反馈练习1.-1； 2.22； 3.x 1 或 x3y 2 0 ； 4.3 ,11,3；35.7 a246. A;7.2 18.A;9.C;10.4x6 y30； 11.2x 3y 70 ；12. （ 1）入射光线：5x4 y20 ；反射光线：4xy50 ；（ 2）41 。13. 解：设 AB斜率为 k ， C (20,10) ，则 AB 方程为 y10k( x20) ，（ k 0 ）（1） A(2010 ,0) ， B(0,1020k) ，要使阴影面积最大，则AOB 面积要最小。而kS AOB1 (1020k)(2010 )(k0)200 50 (1)( 4k)400，当且仅当2kk11时 AOB 面积要最小，此时阴影面积最大，且 AB 方程为k4k ， 即 k2x 2y400 。（2） 85 米。