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1、七年级数学有理数的混合运算简便运算技巧（1）江苏科技版【本讲教育信息 】一 . 教学内容：有理数的混合运算简便运算技巧（1）“算对与算巧”求 1 2 399 100 的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事， 其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大， 聪明的高斯没有这样做， 他把这个算式头尾倒过来写成100999821然后将两个式子的对应项相加得到100个 101， 101 乘 100 再除以 2 便得到所求的和。这样不但算得对，而且算得快，这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们数学运算不仅要算对更要算巧。二.重点、难点：有理数运算是代数中最基本的运算， 若能根据题目特点灵
2、活掌握运用一些技巧， 不仅可提高运算速度和准确率， 还可培养学生善于思考的好习惯， 有利于思维能力的培养， 现介绍几种有理数运算中的解题技巧。三.基础回顾：（ 1）有理数的运算法则：加法法则：同号相加一边倒，异号相加大减小，符号跟着大的跑。减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。0 乘任何数都得0。除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。0 不能作除数。有理数的乘方运算：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。（ 2）运算律：加法交换律：a b b a。加法结合律： （ a b） c a（ b c）。乘法交
3、换律：ab ba。乘法结合律： （ ab） ca（ bc）。乘法对加法的分配律：a（ b c） abac。（ 3）运算顺序及注意事项：有理数的加、减、乘、除四则混合运算，一定要先把减法改成加法，除法改成乘法。这样可以防止出错。对含有三级运算的情况，按先乘方、开方，再乘除，最后加减的运算顺序。同级运算从左到右依次运算。有括号时按小、中、大括号顺序进行，有时也可灵活去括号。应注意灵活运用运算律，使计算简便化，对互为相反数其和为零的要优先解决。【典型例题】一.符号与括号有理数运算是代数入门的重点，又是难点， 怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，
4、由于负数的引入，符号“”与“”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号， 因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，去掉或者添上括号， 以此来改变运算的次序，从而使复杂问题变得较简单，在此应特别注意去添括号时符号的变化。例1.计算分析： 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1 或为与第二项，第三与第四项，分别配对的方式计算，就能得到一系列的解：下面需对 n的奇偶性进行讨论：当 n为偶数时，上式是个（ 1）的和，即；当 n为奇数时，上式是个（ 1）的和，再加上最后一项1，如果按照将第一1。，所以有说明： 两种情况可以合并为：二 .
5、巧添辅助数例 2. 计算：解： 原式三.巧用整体例 3 购买 5 种物品，的件数和用钱总数列成下表：那么，购买每种物品各一件共需多少元？解： 由已知表格：购买1 件， 3 件， 4 件， 5 件， 6 件共需 1995元；所以购买2 件，6 件，8 件，10 件，12 件共需 2×1995 元；又因为购买1 件，5 件， 7 件， 9 件，11 件共需 2984 元；所以购买每种物品各一件共需2×1995 2984 1006（元）说明： 设购买物品i 1， 2， 3，4， 5则，由 2×得需要指出的是： 我们无法计算每个，但我们能巧算出这个整体，整体思维常常会帮助
6、我们算对，算快和算得巧妙。四 . 巧用凑整运算例 4. 计算：解：原式 （209） 200 8（ 2000000002）五.巧用公式例 5.计算：1111111122299210023解： 原式1111111 1111122331001001× 3×2×4×× 98×100× 99 ×10122339999100100说明： 平方差公式 ： a2b2( ab)( ab)例 6.计算：( 7822)(78 278×22222)解： 原式782×2222278说明 ：立方差公式：a3b3(ab)(a
7、 2abb 2 )立方和公式：33()(22)abab aabb完全平方公式： (ab)2a 22abb 2 ， ( ab) 2a 22ab b 2六 . 巧用拆项法例 7. （第六届“祖冲之杯”数学竞赛题）1111 _计算 1212312341231001分析： 直接计算难上加难。应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。利用上面介绍的反序相加法，不难求得最后两项为，而，同理，那么本题就不难解决了。解： 原式 12222261220990010100 2(1111111111)223349910010010111（11）说明： 形如 n（ na） 的分数，可以拆成的形式。ann a例
8、8.解： 应用关系式来进行“拆项”。原式【模拟试题】（答题时间： 30 分钟）1. 计算：123456789101112199719981999200020012. 已知 0 为数轴的原点， A、B两点对应的数分别为 1、2，设 P1 为 AB的中点， P2 为 AP1 的中点， P100 为 P99 的中点，求 P1，P2 ，P3， P100 所对应的各数之和。3. 计算： 112 24 45 11 13.863536（分析： 本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。）4. 求和( 11 111) (22222)(33333 )( 5859
9、)2345960345596044659605960（分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。）5.计算： 2005 (11111)2233420032004200412005试题答案1. 解法1：原式(12 34) (5678)(9102212)(1997 1998 1999 2000) 2002(4) ×500200120002000解法 2：原式2. 解：设对应的数为 ai (1i100), 则 ai11i ,i 1,2,1002a1a2a1001111011所以，11122220010021003. 解：原式4. 解：原式1( 12) (123)( 12359)233444606060601234592222212359)(121× （159）× 59225. 解：原式 2005(11 )( 11)(11)(11 )(11 )223342003200420042005 2005(11)20052004 20052005 2004