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1、高考数学回归课本教案第十六章平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理设 A',B',C'分别是ABC的三边 BC，CA，AB或其延长线上的点， 若 A' , B', C '三点共线，则BA'CB'AC '1.A' CB'A C'B梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若BA' CB' AC '1.则 A' ,B',C '三点共线。A'CB'A C'B塞 瓦定理设 A',B',C' 分 别是A
2、BC 的 三边 BC， CA， AB 或其延 长线上 的点 ，若AA' , BB ', CC ' 三线平行或共点，则BA' CB' AC'1.A' CB' A C'B塞瓦定理的逆定理设 A', B',C' 分别是ABC的三边 BC， CA，AB 或其延长线上的点，若BA'CB'AC '1. 则 AA' , BB ', CC ' 三线共点或互相平行。A'C B'A C'B角元形式的塞瓦定理A', B',C'
3、 分别是ABC 的三边BC， CA， AB 所在直线上的点，则AA' , BB ', CC ' 平行或共点的充要条件是sinBAA'sin ACC ' sinCBB 'sinA' ACsin C ' CB sin1.B'BA广义托勒密定理设 ABCD为任意凸四边形，则AB?CD+BC?AD AC?BD，当且仅当 A， B， C，D四点共圆时取等号。斯特瓦特定理设 P 为ABC的边 BC上任意一点， P 不同于 B， C，则有22PC2BPAP =AB?+AC?-BP?PC.BCBC西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的
4、任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。 （到两圆的幂 （即切线长） 相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理ABC的外心 O，垂心 H，重心 G三点共线，且 OG1GH.2二、方法与例题1同一法。 即不直接去证明， 而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。例 1 在000ABC中， ABC=70， ACB=30，P，Q为ABC内部两点， QBC= QCB=10
5、，0PBQ= PCB=20，求证： A， P， Q三点共线。用心爱心专心证明0APAC，设直线 CP交 AQ于 P1 ，直线 BP交 AQ于 P2，因为 ACP= PCQ=10，所以QP1CQ在ABP，BPQ，ABC中由正弦定理有ABAP2，QP2BQABAC.sin AP2 Bsin ABP2sin 200sin BP2 Q ， sin 30 0sin 700由，得AP1AP2。又因为12上，所以12QP1QP2P ，P 同在线段 AQP，P 重合，又 BP 与CP仅有一个交点，所以P1， P2 即为 P，所以 A， P， Q共线。2面积法。例 2见图 16-1 ， ABCD中， E，F 分
6、别是 CD，BC上的点，且BE=DF，BE交 DF于 P，求证：AP为 BPD的平分线。 证明 设 A 点到 BE， DF 距离分别为h1,h 2，则S ABE1h1 , S ADF1BEDF h2 ,212又因为S ABE ABCDADF2S =S，又 BE=DF。所以 h1=h2，所以 PA为 BPD的平分线。3几何变换。例 3 （蝴蝶定理） 见图 16-2 ，AB是 O的一条弦， M为 AB 中点， CD，EF 为过 M的任意弦，CF， DE分别交 AB于 P， Q。求证： PM=MQ。 证明 由题设 OM AB。不妨设AFBD 。作 D关于直线 OM的对称点 D ' 。连结 P
7、D',D'M,DD',D'F ，则 D'MDM .PM D'DM Q.要证PM=MQ，只需证PD ' MMDQ ，又 MDQ= PFM，所以只需证F， P，M， D ' 共圆。因为 PFD ' =1800 - MDD ' =1800- MD ' D =1800- PMD' 。（因为 DD 'OM。AB/ DD ' ）所以 F， P， M， D ' 四点共圆。所以PD' M MDQ。所以 MP=MQ。例 4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三
8、角形，它们的相似比为 1995 ，而且每个三角形三个顶点同色。 证明 在平面上作两个同心圆，半径分别为1和 1995，因为小圆上每一点都染以红、蓝两色之一，所以小圆上必有五个点同色，设此五点为A， B，C， D， E，过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于A ，B ， C ， D ，E ，由抽屉原理知这五点中必有三点同色，不妨11111设为 A1， B1， C1，则 ABC与A1B1C1 都是顶点同色的三角形，且相似比为1995。4三角法。例 5 设 AD，BE与 CF为0ABC的内角平分线， D， E， F 在 ABC的边上，如果 EDF=90，求 BAC的所有可能的值。 解 见图 16-3
9、 ，记 ADE=， EDC= ，由题设 FDA=- ， BDF=- ，22用心爱心专心由正弦定理：AEDE, CEDE，sinA sinsin Csin2得 AEsinsin C ，CEsinsinA2BC ，所以 sinsinCsin C ，又由角平分线定理有AEAB ，又ABECBCsin Csin AsinAsin Asin2化简得 sin2 cos A ，同理 sinBDF2 cos A ，即 cos2 cos A .sin2sinADF2cos2所以 sincos，所以 sin cos -cos sin =sin(- )=0.sincos又- < - < , 所以 = 。
10、所以 cos A1 ，所以 A= 2 。5向量法。223例6 设P是ABC所在平面上的一点， G是ABC的重心，求证： PA+PB+PC>3PG.证明因为PA PBPCPG GAPGGBPGGC 3PG GA GBGC ，又 G为ABC重心，所以 GAGB GC 0.（事实上设 AG交 BC于 E，则 AG2GEGBGC ，所以 GAGBGC0 ）所以 PAPBPC3PG ，所以 | PA | PB|PC| |PAPB PC|3| PG |.又因为 PA, PB, PC 不全共线，上式“ =”不能成立，所以PA+PB+PC>3PG。6解析法。例 7 H 是 ABC的垂心， P 是任
11、意一点， HLPA，交 PA 于 L，交 BC于 X， HM PB，交 PB于 M，交 CA于 Y， HNPC交 PC于 N，交 AB于 Z，求证： X， Y， Z 三点共线。 解 以 H为原点，取不与条件中任何直线垂直的两条直线为x 轴和 y 轴，建立直角坐标系，用 (x k ,y k) 表示点 k 对应的坐标，则直线 PA的斜率为 yPy A ，直线 HL斜率为 xPxA ，xPxAy AyP直线 HL 的方程为 x(x P-x A)+y(y P-y A)=0.又直线 HA的斜率为 y A，所以直线 BC的斜率为x A ，直线 BC的方程为 xxA+yyA=xAxB+yAyB,xAy A又
12、点 C 在直线 BC上，所以 xCxA+yCyA=xAxB+yAyB.同理可得 x x +y y =x x +y y =x x +y y .BCBCABABACAC又因为 X 是 BC 与 HL 的交点，所以点X 坐标满足式和式，所以点X 坐标满足xxP+yyP=xAxB+yAyB. 同理点 Y 坐标满足 xx P+yyP=xBxC+yByC. 点 Z 坐标满足xx P+yyP=xCxA+yCyA.由知，表示同一直线方程，故X， Y， Z 三点共线。用心爱心专心7四点共圆。例 8见图 16-5 ，直线 l 与 O相离， P 为 l 上任意一点，PA，PB 为圆的两条切线，A， B为切点，求证：
13、直线AB过定点。 证明 过 O作 OCl 于 C，连结 OA，OB，BC，OP，设 OP交 AB于 M，则 OPAB，又因为OAPA， OBPB， OCPC。所以 A， B， C 都在以 OP为直径的圆上，即O， A， P， C，B 五点共圆。AB与 OC是此圆两条相交弦，设交点为Q，又因为 OPAB， OCCP，所以 P， M， Q， C 四点共圆，所以OM?OP=OQ?OC。22OA2由射影定理OA=OM?OP，所以 OA=OQ?OC，所以 OQ=（定值）。OC所以 Q为定点，即直线AB 过定点。三、习题精选1 O1 和 O2 分别是ABC的边 AB，AC上的旁切圆，O1 与 CB，CA的
14、延长线切于E， G，O2 与 BC， BA的延长线切于F，H，直线 EG与 FH交于点 P，求证： PABC。2设 O的外切四边形ABCD的对角线AC，BD的中点分别为E，F，求证： E，O，F 三点共线。3已知两小圆 O1 与 O2 相外切且都与大圆 O相内切， AB 是 O1 与 O2 的一条外公切线，A， B 在 O 上， CD是 O1 与 O2 的内公切线， O1 与 O2 相切于点 P，且 P， C 在直线 AB 的同一侧，求证： P是 ABC的内心。4ABC内有两点M， N，使得 MAB= NAC且 MBA= NBC，求证：AMANBM BNCM CNAB ACBC BA1.CA
15、CB5ABC中， O为外心，三条高 AD， BE， CF 相交于点 H，直线 ED和 AB相交于点 M，直线FD和 AC相交于点 N，求证：（1） OB DF， OCDE；（2） OH MN。6设点 I ， H分别是锐角ABC的内心和垂心，点B ，C 分别是边 AC， AB的中点，已知射11线 BI 交边 AB于点 B(B B) ，射线 C I 交 AC的延长线于点C ， B C 与 BC相交于点 K，A12212221为 BHC的外心。试证： A， I ， A1 三点共线的充要条件是BKB2 和CKC2的面积相等。7已知点 A1， B1， C1，点 A2，B2， C2，分别在直线l 1,l 2 上 ， B2C1 交 B1C2于点 M，C1A2 交 A1C2于点 N， B1A2 交 B2 A1 于 L。求证： M， N，L 三点共线。8ABC 中， C=900， A=300， BC=1，求 ABC 的内接三角形（三个顶点分别在三条边上的三角形）的最长边的最小值。9ABC的垂心为 H，外心为 O，外接圆半径为R，顶点 A， B， C 关于对边 BC， CA， AB的对称点分别为A', B', C' ，求证： A', B', C' 三点共线的充要条件是OH=2R。用心爱心专心