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1、精品资料欢迎下载三角函数的积化和差与和差化积一、教学目的：1. 了解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程，了解此组公式与两角和差的正弦、余弦公式的联系，从而培养逻辑推理能力。2. 掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。二、重点、难点：掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。三、新课讲解：（一）三角函数的积化和差与和差化积公式1 、公式的推导sinsincoscossin()，Ssinsincoscossin， (S)coscoscossinsin， (C)cosc
2、oscossinsin， (C)SS， SSCC， CC，得sinsin2 sincossinsin2 cossincoscos2 coscoscoscos2 sinsin即 sincos1 sinsin12cossin1 sinsin22coscos1cos3cos2sinsin1cos4cos2公式 <1><2><3><4>叫做积化和差公式。其特点为：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和（差）的一半，等式左边为单角、，等式右边为它们的和差角。在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化
3、积。为了用精品资料欢迎下载起来方便，在积化和差的公式中，如果令， 则，2。2<1>中，就有把这些值代入积化和差的公式sin· cos221sinsin222221sinsin2 sinsin2 sin· cos522同样可得，sinsin2 cos· sin622coscos2 cos· cos722coscos2 sin· sin822公式 <5><6><7><8>叫做和差化积公式。其特点为：同名函数的和或差才可化积；余弦的和或差化为同名函数之积；正弦的和或差化为异名函数之积；等式左
4、边为单角与，等式右边为与2的形式。2牢记两组公式的区别与联系，才能正确使用之。2 、明确公式是由两角和与差的三角函数公式推导而得，进一步明确三角函数中公式虽然多，但都不是孤立的，另外，弄清公式的来源以及公式的内在联系，才能更好地记忆和使用它们。3、典例分析例 1. 把下列各式化为和差的形式。（1） sin· cos 51212（2） 2 cos35o · sin 55o（3） cos xy · cos xy分析：利用积化和差公式。精品资料欢迎下载点评：（1）牢记积化和差公式，才能正确使用。（ 2）如求 sin· sin 3的值，可不用积化和差公式， 用二
5、倍角公式即可求88值，即 sin· sin 3sin· cos1 sin42888824例 2. 把下列各式化成积的形式。（1） cosx1（ 2） sin xcosx21）中 1 换成 cos分析：只要将以上两题稍作变形，如将（，（2）中 cosx23看作 sin 90ox 即可直接应用公式进行化积。点评：（1）只有同名函数的和（或差）才能化为积的形式，因此题（ 1）中 1 2化为 cos ，（2）中 cosx 化为 sin 90ox 。3（2）对于型如 a sin xb cosx ，可化为 a2b 2 sin x也能达到和差化积的形式之目的。精品资料欢迎下载例 3.求值
6、：（1）sin 7 ocos15o · sin 8ocos7osin15o · sin 8o（2） sin 2 20 ocos2 80o3 sin 20o cos80o分析：（1）中注意 7°与 15°和 8°的关系；（2）中最常见的想法是降幂扩角及积化和差的应用，但对偶式的应用可能使问题变得更简单。点评：三角函数变换的灵活性更多地体现在拆角的灵活性上，题（ 1）对这一点展现地淋漓尽致；（2）中法 1 属常规方法，只要有扎实的基本功就可以正确完成，而法 2 很巧妙的运用了对偶式使解答变得简单且浪漫。这种方法也可以求型如 cos20o cos40o cos80o 的求值题，试一下是不是很巧妙？