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1、微分方程数值解II，课堂开卷。1. (20分) 选择题（在选项前头打，每题只选一个）(1). 下述哪个误差是描述数值方法的相容性的：(a) 离散误差； (b) 舍入误差；(c) 全局误差；(d) 截断误差。(2).逼近于微分方程的某个格式的修正方程为，其中则正确的说法是：(a) 右端第一项为耗散误差，第二项为频散误差；(b) 频散误差引起数值振荡；(c) 耗散误差引起数值振荡；(d) 耗散误差始终起抑制数值振荡的作用。(3). 关于求解扩散方程的ADI方法，错误的说法是：(a) ADI格式属于一种分数步法；（b）每个方向只需要求解一维的方程组；（c）对于二、三维初边值问题都是无条件稳定的；（d
2、）可能存在因式分解误差。(4). 下列哪个方程不属于双曲型方程？(a) 标量方程；（b）波动方程 ；（c）标量方程；(d) 方程组。(5). CFL条件是差分格式稳定的必要条件，它可以描述为：(a)数值解的依赖域包含微分方程真解的依赖域；（b）微分方程真解的依赖域包含数值解的依赖域。(6). 函数的Total variation 是:(a) 5 ； (b) 1； (c) 2； (d) 4。(7). 标量守恒律的特征线在解的光滑区为： (a) 一般曲线； (b) 直线。(8). 标量守恒律的间断解 是：(a) 满足Lax 熵条件的； (b) 不满足Lax 熵条件的。(9). 对于非线性标量守恒律
3、，如果恒大于零， 则初值的Riemann问题有激波解的情形是：(a) ；(b) 。(10). 守恒律方程组的Jacobian 矩阵为。问i点和i+1两点代数平均的矩阵是不是Roe矩阵？ (a) 是Roe 矩阵 ；(b) 不是Roe矩阵。2. (20分) 设，。利用三点，构造有最高精度的逼近于的差分逼近式。解：分别将和在处做泰勒展开，可得结合上述两式，得令得到故可得到逼近格式误差为,其中。又令则得到故可得到逼近格式误差为。3. (20分)对于线性对流方程,有中心格式, 试写出格式的修正方程。解:设函数精确满足差分格式，记，将其带入上述中心差分格式得到将各项在处做泰勒展开,并化简得到进一步整理有省
4、略二阶时间和空间项得 (1)上式分别对求偏导数有故 (2)结合(1)(2)式可得所以格式的修正方程为4. (20分) 用类似于Leveque 书6.1节得到Lax-Wendroff格式的Taylor级数展开，推导变系数对流方程的Lax-Wendroff格式。解：在处做泰勒展开，有根据，可得，代入上述泰勒展开公式得上式右端取前四，用中心差分近似代替空间导数，可得Lax-Wendroff格式5. (20分) 对于线性对流方程,有Warming-Beam格式,试用von Neumann稳定性方法，分析格式的稳定性。解：设，其中，代入Warming-Beam格式，约去得到则有因，故当时，有，此时格式稳定.