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1、呼唤中国的牛顿“引导学生设计问题的开放式教学研究”扫描南通市第一中学符永平国际华人数学家大会主席、“菲尔兹奖”获得者丘成桐教授一语中的：数学是做研究，奥数是做题目。获得奥数金奖只能证明考试的能力而不代表研究能力，研究的根本是找问题，奥数只训练别人给的题目，而不知道去做自己的题目，临摹式、复制式的教学直接影响着一个民族的创造力。一20多岁的时候，曾有过这样的梦想：希望自己的学生像牛顿一样在课上发现问题8年来，我觉得这对数学课堂教学太难太难了。但我发现，从数学现象的发现到一个完整数学问题的提出，有一段不寻常的过程。这是一个怎样的过程?这过程对学生发现问题、提出问题、解决问题的能力有什么相关性?这种
2、过程性训练的操作途径何在?等等。为了潜心探究这些问题，“九五”期间我承担了“中学数学导探教学研究”等两项市级立项课题，并在此基础上滚动为江苏省“十五”教学研究立项课题“引导学生设计问题的开放式教学研究”。8年的摸索，使我对这一问题有了一些肤浅的认识。牛顿做的不是老师给的题目。做的是自己的题目，题目是由苹果从树上掉下来这一现象思考后设计而成的，即苹果为什么不往天上飞而往下掉?可谁没见过或不知道果子会从树上掉下来呢?但没有人能像牛顿那样提问。由现象到问题还需要什么?如何从发现问题走向提出问题?何为问题。问题，是这样一种情景，个体想做某件事，但不能马上知道对这件事所需采取的一系列行动。简言之，是一种
3、具有一定困难、需要学生通过努力去克服(寻找达到目标的途径)，而又力所能及的学习情境(学习任务)。实践证明，任何学习愿望总是在一定的情景中发生的，只有具有这种问题情景，对学生才能有强大的吸引力，而对学习需要才具有强烈的刺激作用。问题一般有三要素：起始状态、目标状态和障碍。障碍是起始状态转变为目标状态的一种阻止。这三者成有机结合，没有障碍便不成问题。问题的三种级能。根据问题内容可将问题分成为低级型、中级型、高级型三种，低级问题是由他人呈现的问题，解决的方法是已知的，解决这类问题，学生只需记忆。中级型也是由他人呈现的问题，可解决的方法和结果是未知的，解决这类问题，学生需运用推理。而高级型问题是由学生
4、自己发现的问题，解决这类问题，不仅靠记忆的推理，还须具有问题意识并运用创造性思维解决问题的能力。开放式教学有三方面的主要特征。(1)师生关系开放，教师是学生知识建构的促进者，是课程的设计者，是确立学生主体地位的鼓励者，而不是单纯的传授者；(2)教学内容的开放；(3)教学过程的开放(包括教学观念、学生学习方式)。开放式教学与开放式教学的特征。开放对应于封闭，生成对应于预设。课堂教学是预设和生成，封闭与开放的矛盾统一体。开放式课堂珍视教学进程中的不确定性和非预期性，倡导突破课堂教学的预期目标和既定计划的限制而走向生成、开放的创造天地，从而使教师的教育智慧和学生的创新人格趋向充分表现的极致。开放性和
5、生成性是这一课堂教学形式的基本特征。它既注重知识，更注重能力，既注重认知，也注重情感体验，其目标具有开放生成性：它强调富有个性的教学活动过程，关注师生在这一过程中获得的丰富多彩的体验和个性化的创造性表现，其过程具有开放生成性；它打破了囿于学校、教室、教材的教学空间概念，鼓励课堂向社会延伸，向自然延伸，向生活实际延伸，向电子网络延伸，其空间具有开放生成性；它强调多元价值取向的评价，不仅允许对问题的解决可以有不同的答案，而且鼓励学生独辟蹊径，进行创造性思维，其评价也具有开放生成性。“引导学生设计问题的开放式教学”的涵义。引导学生设计问题的开放式教学”是指在数学问题情景下，通过引导学生设计问题，使学
6、生更好地发现问题、提出问题和解决问题的操作性研究。因为设计问题的过程是学生实实在在发现问题、探索问题和解决问题的过程。同时，发现探索和解决问题又为设计问题服务，从而把培养学生发现问题的意识和创新能力在引导学生设计问题的过程中真正得到训练，进而提高学生的创造力。设计问题。一切创新都始于问题的发现和提出，发现问题不等于能提出来，这就要有探索问题的过程。引导学生设计问题，就是将问题情景中的数学现象设计成数学问题，是对发现问题的一种数学概括或建构，是大胆提出问题的前提，是探索和解决问题的一种操作，是实施知识再创造的过程，是好奇心伴随下创新意识和能力养成的有效途径。另外，随着课程改革的深入，一些极富学生
7、创新能力发展的“设计问题或设计方案”的题型，已开始在中考、高考题中涌现，并作为评价学生创新能力的重要题型。引导学生设计问题开放式教学模式。教学模式是教学过程的本质概括和抽象，是联结教学理论和教学实践的中介。基于对创造性教学理念和创造性教学过程本质的理解，我们认为，以引导学生设计问题的开放式教学，是基于师生关系开放、教学内容开放、教学过程开放和教学评价开放的动态教学模式，如下图：二“为什么总是平行四边形?这太奇怪了!”再折折、剪剪、量量、猜猜引图1图2图3导学生从动手实验去设计问题。关于“三角形中位线”的教学，传统方法一般先去定义中位线，然后证明中位线定理，最后是应用定理，一切在“复制”、“粘贴
8、”的格式化中完成。为了引导学生设计问题，我首先将一道应用三角形中位线定理解答的例题来激发学生的好奇心，要求学生画了不少凸四边形，并依次连接四边中点，同学们惊奇：不管怎么画，四边形EFGH为什么总是平行四边形(图1)?在强烈的好奇心伴随下，同学们通过图2，取AB、AC中点D、E，过DE折纸AABC，沿DE剪纸，再通过量DE、BC长度，结合猜想很快设计并提出问题：DE=(12)BC?DEBC？淡化数学知识的神秘感，迎合学生好动、好胜、好奇的个性心理特征，使学生探究问题的欲望一下子被激起。设计的问题怎么解决?有的同学通过拼凑，有的将AABC绕E点旋转180°同学们又惊喜地发现：有全等、有平
9、行四边形(图2)等，从而将学生自己设计和提出的问题再通过自己的探索得到证明。在接下来的定理应用和课堂巩固的教学环节中，由于学生刚从问题本质的研究中来，所以，对问题的延伸就显得居高临下，如对图(1)的神奇现象自然转化为三角形中位线定理来解决：又如图(3)，若设ABC的周长为C，EF为ABC的第一个中点三角形，记作1，则n的周长为C2n；再如，同学们能自觉构建三角形的中位线定理测量不可直接到达的AB两地的距离等等。学生们一直在亢奋心态中设计着整个教学过程，正如爱因斯坦提到的关于教育的两个最美好的条件：一个是“神圣的好奇心”，即探索事物的强烈兴趣，以及在探索中所获得的喜悦和满足感；另一个是“内在的自
10、由”，即能够进行独立思考、探索和自由合作交流。课堂上精心创设“启悟”有效地让学生去“体悟”，即让学生发现了设计了提出了解决了!真正使学生置身于弗赖登塔尔倡导的“数学再创造”中。三请同学们结合一次函数y=kx+b(k0)的定义，设计一个“美丽”的陷阱引导学生从“枯燥”的数学概念设计问题。大家知道，学生数学基础不牢，主要是对数学的基本概念掌握得不够扎实。怎样让学生对抽象、枯燥的数学概念在理解、应用、研究中充满情趣？这一直是数学教师的一大困惑。为此，我根据一次函数y=kx+b(k0)的定义。要求学生抓住定义的特征，设计一个“陷阱”，好让其他同学高高兴兴踩进你的“陷阱”，沿着：定义特征设计陷阱高高兴兴
11、掉进去。学生创造之火始终烧着，下面是师生在课堂的对话实录：生1：m=？时，函数y=(m+1)x是一次函数。生2：“陷阱太明显m+10，但此时b=0，它不是一次函数。生3：错，正比例函数也是一次函数，b可以为零。生4：可设计m=？时，函数y=(m+1)xm+1+m，这样还要考虑指数。生5：把生4设计的指数“m+1”设计成“m2”，即y=(m+1)xm2+m师：这个设计美妙，很有创意!大家欣赏?生6：由一次函数的定义有(m2=1，即m=±1)。生7：你真上当了，因为m=-1时，m+1=0，即不符合定义中的k0，m=-1应舍去，所以m=1。同学们直呼上当!几经思维“冲浪”，看似“枯燥”的概
12、念，通过引导学生设计“陷阱”问题，其概念的内涵得到挖掘，学生的好奇心和探索热情被唤起，知识的“再创造”在美好的感受中内化着。学生认知发展就是观念上的平衡状态不断遭到破坏，并不断达到新的平衡状态的过程，因此，教师必须把握住“点燃”点和导火处，让学生在设计问题中不断认识自己已有知识的局限性，产生要努力通过新的探索活动，达到新的、更高的平衡的冲动，让问题在学生新的需要与原有水平之间产生冲突，激发学生的学习动机，不断切入学生思维的最近发展区，缩短学生原有水平与学习目标之间的距离，从而拓展学生的心智品质。四“2、3、5、6真会这么巧吗?法国数学家的韦达定理也可改成中国定理。”我走出了全国优课评比一等奖教
13、案的“绝唱版”引导学生从观察、猜想去设计问题。一元二次方程“根与系数关系”是初中数学的“精典”内容之一，也因此作为全国优课评比的课题，获大奖的教案又经过多年的“锤打”，教学设计己很难有什么新招出来，可以说已成“绝唱版”，其教学方法主要是让学生填表去发现根与系数的关系。如方程X2-5X+6=0要求在表中填写两根X1、X2的值(2和3)、两根和X1+X2的值(2+3=5)以及两根X1X2(2×3=6)的值，通过4个一元二次方程对应值的填写，学生发现了根与系数关系。而我们是从设计问题的角度去引导学生不是填表而是让学生去设计表格。首先引导学生观察方程两根2和3与方程X2-5X+6=0特征的关
14、系?学生惊喜发现2+3=5，2×3=6，这么巧？于是，提出再尝试几个一元二次方程，认为有必要研究X1+X2与X1X2表就被学生自然的设计出来了，这跳出了让学生定势去填写。数学规律的启悟和发现如果能从问题生发的源本出发，其创新意识的培养价值是不一样的。当学生再设计“一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)两根X1、X2，X1+X2等于-ba吗?X1X2等于ca？”时，学生的探索激情和学习效率以及对问题本质的认识显然比老师让学生填表又要高出一个层次，特别当探究出一元二次方程根与系数的关系时，其兴奋、快乐之状真很难言表，有同学说：韦达真了不起，可我们应用的是我们中国人发现的“中国定理”!让
15、学生设计问题的尝试也让我从“绝唱版”中向前又走了一步。五中国的学生做过几道自己的题目？一堂“名师课堂”的公开课上，我引导学生设计了20多道几何题，有些题型竟与后来的中考题类似利用开放题的特征引导学生设计问题。开放题不定性特征有激发学生好奇心和强烈探究的学习心理机制的功能。开放题有条件开放、结论图4图5图6开放、条件和结论都开放、解决过程和解题策略开放等，这使学生从多角度、多层次和不同学习能力的学生设计问题创造了条件。在“圆与圆位置关系”的复习课上，我利用象征世界人民和平友好的智慧的“五环旗”引导学生设计问题。1通过引导学生改变圆的半径大小、圆心距的变化，研究图(4)中已知两个大小相等的圆环和内
16、外圆半径，设计了求小曲四边形面积等问题。2“把三个环两两相切摞在水平面上，要知道最高点到水平面的距离，请设计添加一个条件如图(2)”。学生由此还设计了“三个易拉罐至少要用多长的带子扎紧(除去打结长度)3通过引导学生结合“五环圆”设计了问题的条件、问题的结论、问题的条件和结论、解答策略等系列训练后，自然过渡到“切点三角形”，即A、B、T三个切点的问题(如图3)，通过多媒体一些线段的变化和隐含部位的光、色闪烁，有梯度地引导同学顺利设计了(1)设计证线段相等(如AP=BP)；(2)设计证角相等(如Q=BTR)；(3)设计证两线平行(如ATBR)；(4)设计证垂直ATBT；(5)设计证等积问题；(6)
17、设计比例中项问题(如AB2=QT·RT)；(7)设计计算问题(如求AB、QR的夹角)，特别是通过多媒体有意制造悬念：将AQ、CR下延，当有学生设计了隐蔽的以A、T、B为顶点的矩形时，给大家内心产生的震憾和幸福是无与伦比的，并设计出了高质量的与矩形相关的系列“姐妹”题，还有的以内公切线和连心线构造了平面直角坐标系，至此，我们会深切感受到学生在设计问题的同时，最好地解决了问题。而这又恰恰是建立在发现和探索问题的基础之上，跃上函数“领地”，这一奇妙之创让人震惊，可冷静一想却又在情理之中。这种开放式的习题课其课堂效率是可想而知的共26道题，特别是图6这类题型仍是去年全国各地不少中考数学压轴题
18、的背景图，有专家预测图6还可能是05年中考数学题的热点“背景”。同行们对这堂以设计问题为主线的复习课的评价也自然超越了应试训练与应试效果的视域。设计问题不是重要目标，重要的是培养学生在好奇心的伴随下发现问题，探索问题、研究问题、提出新的问题，并解决。同行们鼓励，这种课堂是实实在在从操作层面训练学生的创造能力。虽然，数学开放题的教学和开放式的数学教学在很多地方具有共同之处，比如，都要求开放，要求教学过程中，教师创设自由、和谐的学习氛围，把学习的主动权真正交给学生，让学生在合作、探索的过程中获取数学知识和思维方法，发展解决问题的能力。但它们还是有区别的，是两个不同的概念，不能混为一谈。前者强调了要
19、通过数学开放题作为载体，而后者更注重教学理念。仅有数学开放题，而没有开放式教学的理念，不能成为其真正有效的数学开放题教学，也就不会收到数学开放题教学所能体现的教育价值和效果。反之，光有形式，没有教学的内质，也就不能落实数学教学的目标和要求。因此，把握数学开放题的本质，掌握开放式数学教学的方法，并在课堂教学中有机地把两者结合起来，是有效引导学生学会设计数学问题的关键所在。六数学课上，我先给学生一段古文，学生从古文中发现这种判别苦李的方法非常奇妙引导学生从故事等情景设计数学问题。一上课，我就要求学生迅速阅读并弄懂这段古文中的故事：“王戎七岁，尝与小儿游。看道旁李树多子折枝，诸儿竞走取之，唯戎不动，
20、人问之，答曰：树在道旁而多子，此必苦李'。取之，信然。”同学们浓厚的兴趣迅速从故事情节被引导到研究：王戎用的是什么方法来证明李子是苦的?这方法不同于以往的从已知出发，进行分析或综合。而是假设问题的反面成立，即假设李子甜的或很好吃，从假设出发进行推理，也就是如果李子很好吃，那么道路旁边这么多易采到的果子应该早就没有了，这与事实“多子”矛盾，从而得到要证明结论“此必苦李”。在学生们充分研究的基础上，再引导学生从设计问题的角度让学生尝试发明了“反证法”，并归纳出这种方法的解题规律：假设论证结论。数学问题可以引导学生设计，数学思想方法通过问题情景同样可以尝试让学生在积极探索的基础上去发现、设计
21、、再创造。当有同学发现并提出应用反证法说明武侠小说或电影中常见的：人能在水上行或能轻轻跃进很高的房屋，这些绝技与物理上阿基米德定理和世界跳高纪录矛盾时，我们倍感数学科学与数学教育育人功能的美妙。以“再创造”的教学观引导学生设计了“反证法”的定义、方法和解题步骤，这设计过程是自然的、轻松的、好奇的、有趣的以此为铺垫，来解决“过三点的圆”的问题就太简单了。问题情景是设计问题的重要前提，是设计问题质量的重要保证，这是因为问题情景它是一种“气氛”，既能促使学生积极主动地、自由地(而非迫于外界压力)去想象、思考、探索，去发现问题和解决问题，并伴随着一种积极的情感体验。从心理学上讲，“思维活跃于疑路的交叉
22、点”，即思维活跃在有了问题亟待解决之时。人的思维永远是从问题开始，当人的思维活跃在新的有趣的问题亟待解决之时，表现出高度集中、高度振奋。学生在问题情景中学习，可提高注意力。只有把知识和情景结合起来，才有学习的积极性，才使知识带有情绪色彩。教学中是否有成功的问题情景，主要看学习任务与学生已有经验适应如何。所以，创设问题情境首先要求教师熟悉教材，掌握教材结构，了解新旧知识的内在联系。此外，要求教师充分了解学生的已有经验及智能水平，从而才能做到从已知到未知、由表及里、由简到繁、由易到难的循序渐进，才能更好地创设成功的问题情景，才能不断地为学生发现问题、设计问题、大担提出问题服务。七同学们说：“我们编
23、写了教材!”这是因为他们发现了菱形，并设计了例题，还探究到规律引导学生从知识体系固有结构去设计问题。系统论认为：“系统地组织起来的材料所提供的信息，远远大于部分材料提供的信息总和。”创造心理学认为：“新的发明创新主要取决于整体性的认知框架'的转换。而整体性认知框架'的形成则在于对对象整体性的把握。因此，对象整体性的把握是形成创新思维能力的必要条件。”当学生们学菱形时，结合学生刚学过的平行四边形和矩形小结时形成的边、角、对角线和定义、性质、判定的知识体系，引导学生发现和设计问题。首行提供的问题情景是：我们己研究过了两条对角线互相平分且相等四边形，两条对角线还有什么关系的特殊四边形
24、?当学生通过尝试不同的对角线，发现两条对角线互相垂直平分的四边形时，十分惊喜，因为这么好看的图形见得不多。我要求同学们结合矩形的学习自己设计问题并解决问题，同学们很快结合四边形的知识体系和研究要素(从矩形迁移而来)全面设计了菱形问题的表格，并通过转化成三角形问题全部解决了菱形的定义、判定和性质等：接着同学们主动提出例题的设计可以自己来，因为可以依据表中的边、角、对角线、判定和性质来设计不同题型。如图7，以平行四边形ABCD对角线AC的垂直平分线为问题背景，图7设计了(1)求证四边形AFCE为菱形；(2)如果AF=2，AFC=120°，求AC、EF及菱形的面积有求边、角、对角线的，也有
25、应用判定和性质的，有计算题也有证明题，有开放题也有变式题。整个教学过程都是引导同学们在不确定中去发现、去设计、去解决、去延伸。学生的学习心理不断的处在一种悬而未决的求知状态中，因而好奇心也不断的被激起，创新的意识因此不断被“点燃”，同时学生也不断欣赏着数学变化与方法多样性的美丽风光，特别当学生打开课本发现教材的编写没有大家合作研究的成果实用时，同学们数学学习的主人形象和主体精神让我十分感动。设计问题是为了更好地解决问题，虽然没有个个设计出问题，但人人都在发现问题、探索问题、感受问题、积极地解决问题，设计问题有效地展示了问题生成的本质，增加了不同层次学生探索问题的机会，使学生对数学再创造成为可能
26、。按照认知科学下的建构主义观点，知识的学习只有通过自身的体验，才能得到“同化”和“顺应”，也就是说应由学生本人把要学的东西发现和“创造”出来。这样获取的知识在头脑中才能根深蒂固。操作中引导学生依据知识体系设计问题构建题型体系，学生在设计问题的过程中实实在在探索、解决、延伸着问题，同时完善着题型体系，并体验着数学思想和方法，领悟其价值，滋生应用意识。八“老师用我设计的题目考我，能考倒我吗?”我还发现了比考分更重要的引导学生从最近发展区(从易到难)设计问题。例题“如图7，五边形ABCDE，对角线AD、CE相交于F，求AFC”。这道题是初一学生(七年级)，学习了多边形内角和(人教版第七章)后的一道有
27、难度的例题，传统的讲授法主题用分析法或综合法，分析后展示解题过程，让学生听懂(或模仿)。而用设计问题的方法就是根据学生的认知规律和学习水平，在学生的最近发展区引导学生依据问题情景，在不断探索中设计问题和解决问题。首先告诉同学这是正五边形(图7)你能设计什么问题?同学们基本上都能设计“求每个内角和外角”。然后引导学生“能添加一条对角线后设计问题?”大部分同学能很快设计图(8)，求AEC或CED等。最后鼓励学生还能设计什么复杂一点的问题，不少同学设计出了“连AD与CE相交于F，求AFC等”，还有的同学发现连AC后AC=AD。少数同学还研究了正几边形相应的问题，拾级而上，图8图9图10设计着问题。“
28、设计”是激发，是召唤，更是好奇心的“点燃”，学生学习的自信心，探索欲望，钻研精神和不畏艰难的学习品质都在好奇心的伴随下不断生成，这与满足于让学生听懂的教学目标是无与伦比的。我们做个测试，对三个平行班，在这道题教学后的一个月进行检测结果发现“设计”法比传统教学法的均分多出了20多分。学生的回答也不相同，一种是“我当时肯定听懂了，可考试的时候记不起来了。”另一种是“老师拿我设计的题目考我，能考倒我吗?”确实，问题是学生发现和“再创造”出来的，学生见了首先有亲切感而不是紧张感。显然，引导学生设计问题的教学使学生学会设计问题和解决问题同步，勇于尝试与自我评价同步，体验成功与创新意识的生成同步师生之间倍
29、感创新之火燃烧的美妙!九“我的答案和标准答案不一样，我的解答肯定是对的，因为我去过瑞慈医院。”这是张竞同学在已发表的一篇从数学“旁边”走过小论文中的一段话我尝试引导学生从现实生活中设计数学问题。心理学研究表明：意识到问题的存在是思维的起点。而强烈的问题意识，又可作为思维的动力，促使人们去解决问题。正因为如此，心理学理论中一个极其重要的观点是：科学上很多重大发明与创新，与其说是问题的解决者促成的，毋宁说是问题的发现者促成的。就像有无数的人都知道水烧开壶盖会被顶起，但没有人能像瓦特那样提问：壶盖为什么会被顶起?正是瓦特的这个问题以及由此发明的蒸汽机，极大地推动了人类文明的进步。这一切都有力地证明了
30、一个简单却是十分重要的命题：一切创新都始于问题的发现和提出。我从“数在现实生活不够用的问题情景”让学生设计相反意义的正、负数，从而“发明”了正、负数；学习了方程组和不等式组的应用题后我有目的提供了循环经济等材料，同学们通过“绿色采购”、“绿色伙伴”、“绿色产品”的研究设计了不少投资少、电耗少、节水多、废水少、利润高的数学应用题；还结合建设中的世界第一斜拉桥苏通大桥的斜拉线设计了平行线的有关数学问题；不少同学还对外校为我们命题的期中试卷上出现的“宾馆客房二人间30元”严重违背事实进行抨击，并提出了重新设计方案等；还有同学还在思考2008年北京奥运开幕、闭幕式的创意设计。数学教学的个性化、社会化、
31、生活化是我们每位教师所必须追求的，发现问题是为了设计问题和更好的解决问题，而设计问题是为了更好的探索问题、发现问题的本质，是培养学生创新意识和创新精神最具操作性的教学。同学们还把自己的小发现和一些点滴探究感受写成数学“小论文”。有学生的“数学小论文”发表在首都师范大学、上海师范大学、西南师范大学、哈尔滨师范大学等高等学府主办的刊物上；有编辑老师这么鼓励我们：“领略到的是孩子坚持不懈的决心，再仔细品味一下，更觉得执著、专注是我们所有人成功的法宝”，这是中国优选法统筹法与经济数学研究会会报在头版头条对同学们的鼓励。江苏教育报刊社的主编王写之老师在长长的“编者按”中对我们三位同学的小论文有这样的评价“很多人认为，发现、发明是科学家的事，至少得是成人才行，其实不然这三位同学的小论文也许能给大家一点启示”。河南教育出版社中学生数理化副主编张志良老师对我推荐的23份学生“小论文”(寒假作业)以“拟陆续全部刊发，望您及您的学生再支持本刊”。李舒敏同学的“小论文”还获华中师范大学举办的中学生数学论文竞赛高中组特等奖说心里话，这些固然让我高兴，但最高兴的是我已感到有不少同学开始在数学的世界里健康成长。