《上海高中数学复习专题讲座关于求圆锥曲线方程的方法_5096.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海高中数学复习专题讲座关于求圆锥曲线方程的方法_5096.docx（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高中数学复习专题讲座：关于求圆锥曲线方程的方法高考要求求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法重难点归纳一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上22时，可设方程为mx+ny =1(
2、m 0, n 0)定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小典型题例示范讲解C'18mC例 1 某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴 ( 即双曲20 m线的虚轴 ) 旋转所成的曲面，其中、 是双曲线的顶点，、 是冷却塔上口A'14 m AA AC C直径的两个端点， 、 是下底直径的两个端点， 已知 =14 m， =18 m, B BAACCBB=22 m, 塔高 20 m 建立坐标系并写出该双曲线方程22 mB 'B命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实
3、际问题的能力知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积错解分析建立恰当的坐标系是解决本题的关键技巧与方法 本题是待定系数法求曲线方程解如图，建立直角坐标系xOy, 使 AA在 x 轴上， AA的中点为坐标原点O， CC与 BB平行于 x 轴设双曲线方程为x2y2=1( a 0, b 0), 则 a=1 AA =7a2b22yC'C又设 (11,y1),(9,x2) 因为点、C在双曲线上，所以有BCBA'Ax2292y2o11y11,2172b272b 2B'B由题意，知y2 y1 =20, 由以上三式得y1= 12, y2=8, b=72
4、故双曲线方程为x2y249=198例 2 过点 (1 ，0) 的直线 l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为2 的椭圆 C相交于 A、B 两点，直2线 y= 1 x 过线段 AB的中点， 同时椭圆 C上存在一点与右焦点关于直线l 对称， 试求直线 l 与椭圆 C的方程2命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设y1计新颖，基础性强Ay= 2 x知识依托 待定系数法求曲线方程， 如何处理直线与圆锥曲线问题，对称o 1xB问题错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，
5、将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线斜率的等式解法二，用韦达定理AB解法一由 e=c2a 2b2122a2, 得a22, 从而 a =2b , c=b设椭圆方程为 x2+2y2=2b2, A( x1, y1),B( x2, y2) 在椭圆上则22=22,22=22, 两式相减得， ( 12222yy2x1x2x1 +2y1x2 +222)+2(y1 2 )=0,1.bybxxyx1x22( y1y2 )设 AB 中点为 ( x, y ),则 k=x0, 又( x , y) 在直线 y=1x 上， y =1x , 于是x0= 1, k = 1, 设 l00AB2y00020202
6、 y0AB的方程为 y= x+1右焦点 (,0)关于l的对称点设为 (x ,y),by1解得 x1则 xbyx2b1y1b2由点 (1,1) 在椭圆上，得 1+2(1 ) 2=2b2,2=9,a29bbb168所求椭圆 C的方程为 8x 216 y 2=1,l的方程为 y= x+199解法二由=c2a2b21, 从而22,=,得a=2bea2a22c b设椭圆 C的方程为x2+2y2=2b2, l 的方程为 y=k( x 1),222224k 2将 l的方程代入C 的方程，得(1+2 k ) x 4k x+2k 2b =0, 则x1+x2=12k 2 , y1+y2=k( x1 1)+ k(
7、x21)= k( x +x) 2k=2k1212k2直线 ly = 1 x 过 AB的中点 ( x1x2 , y1y2), 则k12k2, 解得 k=0，或 k= 1212k 221222k 2若k=0, 则l的方程为y=0, 焦点(,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0F c舍去，从而 k= 1，直线 l的方程为y=( x 1), 即 y= x+1, 以下同解法一例 3 如图，已知 P1OP2的面积为27 ，P为线段 P1P2 的一个三等分点， 求以直线4P113、OP为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程OP122命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合
8、运用所学知识分析问P题、解决问题的能力知识依托 定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标oP2适合方程错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出P1OP2 的面积是学生感到困难的技巧与方法 利用点 P 在曲线上和 P1OP2的面积建立关于参数a、 b 的两个方程，从而求出a、 b 的值解以 O为原点， P1OP2的角平分线为x 轴建立如图的直角坐标系x2y2设双曲线方程为22 =1( a 0, b 0)ab由 e2= c 21 ( b ) 2( 13) 2 ，得 b 3a 2a2a2两渐近线 OP、OP方程分别为 y=3x 和 y=3x122
9、2yP1PoxP2设点 P ( x,3x ), P ( x , 3x )(x 0, x 0),则由点P1 P得 P 点坐标为P 分 P P 所成的比 =2,112122221212PP2(x12 xx12x2),又点 P 在双曲线x24 y 2=1上，所以( x1 2x2 ) 2( x1 2 x2 )232 ,2a29a29a29a2=1,即( x1+2x2) 2 ( x1 2x2) 2=9a2, 整理得 8x1x2=9a2又2921329213| OP1|x14 x12x1 ,|OP |x24 x22x22 tan P1Ox23122sin P1OP21 tan 2 P1Ox19134S P
10、OP1 | OP1 | |OP2 | sin P1OP2113 x1x21227 ,12224134即 x1x2=92由、得 a2=4, b2=9故双曲线方程为x2y2=149例4双曲线x 2y 2bFFPOPPFF FPF4b2 =1( N)的两个焦点、，为双曲线上一点， | 5,|,|,| 成等121122比数列，则 b2=_解析设1( c,0 ）、 2(c,0)、( ,y),则FFP x2+|PF22PO|2222| PF1| =2(|+| F1O| ) 2(5 +c ),即 | PF1| 2+| PF2| 2 50+2c2 ,2PF|22PF| · | PF|,又 | PF|
11、 +|=(| PF| | PF|)+2|121212依双曲线定义，有 | PF1| | PF2|=4,依已知条件有12122=4c2| PF| ·| PF|=| F F| 16+8c2 50+2c2, c2 17 ,3又 c2=4+b2 17 , b2 5 , b2=133答案 1学生巩固练习1 已知直线 x+2y 3=0 与圆 x2+y2+x 6y+m=0 相交于 P、Q两点，O为坐标原点，若 OPOQ，则 m等于 ( )A 3B 3C 1D 12 中心在原点，焦点在坐标为(0，±52) 的椭圆被直线3 2=0 截得的弦的中点的横坐标为1 ，x y2则椭圆方程为 ( )A
12、. 2x 22 y 21B. 2x 22 y 2125757525x 2y 21x2y 21C.75D.2525753 直线 l 的方程为 y=x+3, 在 l 上任取一点P，若过点P 且以双曲线 12x24y2=3 的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为 _4已知圆过点 (4 ， 2) 、 ( 1，3) 两点，且在y轴上截得的线段长为 43，则该圆的方程为 _PQ5已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F， M是椭圆上的任意点， | MF| 的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以 y=x 为轴的对称点M1 和 M2，且 | M1M2|= 4 10 ，试求
13、椭圆的方3程6 某抛物线形拱桥跨度是20 米，拱高 4 米，在建桥时每隔4 米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长7 已知圆 C1 的方程为 ( x 2) 2+( y 1) 2= 20 , 椭圆 C2 的方程为 x 2y 23a 2b 2 =1( a b2 ，如果ACDEFB0) ， 2 的离心率为1 与2 相交于、两点，且线段恰为圆1 的C2CCA BABC直径，求直线AB的方程和椭圆C2 的方程参考答案 :1 解析将直线方程变为22y+m=0,x=32y, 代入圆的方程 x+y +x 6得(3 2y) 2+y2+(3 2y)+ m=0整理得 5y220y+12+m=0, 设 P( x1,
14、y1) 、 Q( x2, y2)12m则 y1y2=, y1+y2=4又 P、 Q在直线 x=3 2y 上， x1x2=(3 2y1)(3 2y2)=4 y1y2 6( y1+y2)+9故 y1y2+x1x2=5y1y2 6( y1+y2)+9= m 3=0，故 m=3答案 A2 解析由题意，可设椭圆方程为y 2x 222a2b2=1, 且 a=50+b ,即方程为y2x 250 b2=1b2将直线3 2=0 代入，整理成关于x的二次方程x y2 2由 x1+x2=1 可求得 b =25, a =75答案 C3 解析所求椭圆的焦点为F ( 1,0),F (1,0),2a=| PF|+| PF|
15、1212欲使 2a 最小，只需在直线l 上找一点 P 使 | PF|+| PF| 最小，利用对称性可解答案x2y 2=112544 解析设所求圆的方程为( xa) 2+( y b) 2=r 2( 4 a) 2( 2 b)2r 2a 1a 5则有 ( 1 a)2(3b)2r 2b 0 或 b 4| a |2 ( 2 3)2r 2r 213r 227由此可写所求圆的方程答案 x2+y2 2x12=0 或 x2+y2 10x8y+4=05 解 | MF| max=a+c,| MF| min=a c, 则( a+c)( a c)= a2 c2=b2,2设椭圆方程为x2y2b =4,a214设过1和2
16、的直线方程为y= +mMMx222222将代入得 (4+ a ) x2a mx+a m 4a =0设 M1( x1, y1) 、 M2( x2 , y2), M1M2 的中点为 ( x0, y0),则 x0= 1 ( x1 +x2)= a 2m, y0= x0+m=4m24a 24a22m4m,y代入 y=x, 得 a24a24aD' oE'C'F'x2m=0,由知 x +x=0, x x =4a2,由于 a 4,4 a21212又| MM|=2410ACDEFB2 ( x1x2 )4 x1x2,1232故所求椭圆方程为x2y2代入 x1+x2, x1x2 可解
17、 a =5,5=146 解以拱顶为原点， 水平线为 x 轴，建立坐标系， 如图， 由题意知， | AB|=20 ，| OM|=4 ，A、B坐标分别为 ( 10， 4）、(10 ， 4）设抛物线方程为 x2=2py, 将 A 点坐标代入，得 100= 2p×( 4), 解得 p=12 5, 于是抛物线方程为 x2= 25y由题意知 E点坐标为 (2 ， 4) ，E点横坐标也为2，将 2 代入得 y= 016, 从而 | EE|=( 0 16) ( 4)=384 故最长支柱长应为384 米7解由 =2 , 可设椭圆方程为x2y 2e22b2b2 =1,又设 A( x1, y1) 、B( x2, y2), 则 x1+x2=4, y1+y2=2,又x12y12x2 2y22x1 2x2 2y1 2y222b2b2 1,2b2b2 =1, 两式相减，得2b2b2=0,即( x1+x2)( x1 x2)+2( y1+y2)( y1 y2)=0化简得y1y2 = 1, 故直线 AB的方程为 y= x+3,x1x2代入椭圆方程得3x212x+18 2b2=0 有=24b2 720,又| AB|= 2 (x1x2 )24x1 x220 ,y3A24b272202得 2，解得 b =893ox故所求椭圆方程为x2y2B168=1课前后备注