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1、精品教育资源函数的零点(时间：45分钟满分：100分)一砒巩固一、选择题(每小题5分，共25分)1 .函数f(x)=x23x 4的零点是()A. 1, - 4B. 4, - 1C. 1,3D.不存在解析：函数f(x) = x23x4的零点就是方程 x23x4 = 0的两根4与一1.答案：B2,函数f(x)=3x+x 2的零点所在的一个区间是()A. (-2, 1)B. (-1,0)C. (0,1)D. (1,2)解析：f(0) = 1<0, f(1)=2>0,且函数f(x)=3x+ x2的图象在(0,1)上连续不断.答案：C3.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x, f(
2、x)对应值表：x1234567f(x)123.521.5 7.8211.57-53.7-126.7 129.6那么函数f(x)在区间1,6上的零点至少有()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个解析：由表可知 f(2)f(3)<0, f(3)f(4)<0,f(4) f(5)<0.f(x)在1,6上至少有3个零点.故选 B.答案：B4,已知x0是函数f(x)=2xlog1x的零点，若0<x1<x0,则 的)的值满足()3A. f(x1)>0B. f(x1)<0C. f(x1)=0D. f(x1)>0 与 f(x1)<0 均有可能解析：由于f
3、(x)在(0, + 8)上是增函数，所以 f(xi)<f(xo) = 0.答案：B5.已知函数f(x)=6log2x,在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是()xA. (0,1)B. (1,2)C. (2,4)D. (4, +oo)6解析： 法一：对于函数f(x)=-log2x,因为f(2)=2>0, f(4) = -0.5<0,根据零点的 x存在性定理知选 C.6, 一法二：在同一坐标系中作出函数h(x) =-与g(x) = log2x的大致图象，如图所不，可得f(x)x的零点所在的区间为(2,4).答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6,对于方程x3+x2-2x-
4、1 = 0,有下列判断：在(一2, 1)内有实数根；在(一1,0)内有实数根；在(1,2)内有实数根；在(OO, +OO )内没有实数根.其中正确的有.(填序号)解析：设 f(x)= x3+x22x 1,则 f( 2) = 1V0, f(-1) = 1 >0,f(0) = 1V0, f(1) = - 1<0, f(2)=7>0,则f(x)在(一2, 1), ( 1,0)(1,2)内均有零点，即正确.答案：7 .方程lg x+x 1 = 0有 个实数根.解析：由原方程得lg x=x+ 1,问题转化为函数y=lg x的图象与函数y=x+ 1的图象交点的个数.欢迎下载使用作出相应函
5、数的图象，如图:由图可知，有一个交点，故原方程有且仅有一个根.答案：18 .二次函数y=x2-2ax+a- 1有一个零点大于1, 一个零点小于1,则a的取值范围 是.解析：,二次函数y=x22ax+a1的开口向上，又其一个零点大于1,另一个零点小2于1, .当x= 1时，其函数值小于零，即 1 -2ax 1 + a-1<0.a>0.答案：a>0三、解答题(每小题10分，共20分)9 .判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)f(x)= x2+ x+ 2;x2+4x12(2)f(x)=乂 2；x 2(3)f(x)= 3x+1-7；f(x)=log5(2x 3).解：(
6、1)令x2+x+ 2=0,因为A= 12-4X 1 X2=- 7<0,所以方程无实数根.所以 f(x)= x2 + x+ 2不存在零点.2 x(2)因为 f(x)=-+ 4x12 (x+6 jx2)x- 2(x+6<x2)令=0,解得x- 2x=-6,所以函数的零点为一6.令 3x+17=0,解得 x= 10g37, 3所以函数的零点是10g37.3令 10g5(2x 3) = 0,解得x=2,所以函数的零点是2.10 .已知函数 f(x)= 3x2+2x m+1.(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点.(2)若函数恰有一个零点在原点处，求 m的值.解：(1)函数有两
7、个零点，则对应方程一3x2 + 2xm+1 = 0有两个不相等的实数根，易知 A>0,即 4+ 12(1 - m)>0,可解得 m<4.3由A= 0,可解得m=4;3由Av 0,可解得m>4.3一， 4 , 一，一一，故当mv0时，函数有两个零点； 34 . 一，“一、当m=4时，函数有一个手点； 34 . 一，一当m>q时，函数无零点. 3(2)因为0是对应方程的根，有 1 m= 0,可解得m= 1.犍力提生一、选择题(每小题5分，共10分)1,函数f(x)=x3的零点个数是()A. 0B. 1C. 2D.无数个解析：作出y=x3与y= gj的图象，如图所示，两
8、个函数的图象只有一个交点，所以函数f(x)只有一个零点.故选 B.A. (0,1)C. (1,2)答案：B2.若方程10g2x的解为x1,方程Wj=log2x的解为地,则x1x2的取值范围为(B. (1 ,+8 )D. 1 , +oo )解析：由已知，得:"i = lOg2Xi, g*2=lOg2X2,在同一坐标系中，画出函数 丫= y=吆j及y= log2x的图象，如图所示.观察图象可知，xi> 1,0VX2V 1 ,，0<一苗必<2，即 0VlOg2Xi<2，lOg2X21 修rV 2,两式相加，得 lOg2Xl+ lOg2X2< 0, lOg2(X
9、lX2)< 0,即 0VXlX2<1.答案：A二、填空题（每小题5分，共10分）3 .若方程log3X+X= 3的解所在的区间是（k, k+1）,则整数k=解析：方程为 10g3X+ X3=0,设 f（X）= l0g3X+X3,.f(2)=1og32-1<0, f(3)=1>0,即 f（2） f（3）<0 ,函数在（2,3）内存在零点. k=2.答案：24 .函数f（X）= 1og2X x+2的零点的个数为 .解析：令 f（X）=0,即 10g2XX+ 2=0,即 10g2X=X 2.令 y=1og2X, y2= x- 2.画出两个函数的大致图象，如图所示.有两个
10、不同的交点.所以函数f（X）= 10g2X-X+ 2有两个零点.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)5 .已知函数 f(x) = ax24x+2.(1)若 f(2 x) = f(2 + x),求 f(x)的解析式.(2)已知a< 1,若函数y=f(x)log?：在区间1,2内有且只有一个零点，试确定实数 取值范围.解：(1)因为f(2 x)=f(2 + x),所以f(x)的对称轴为x= 2,一 4IP-=2,即 a=1.2a2所以 f(x) = x 4x+ 2.,x 2(2)因为 y= f(x) log2：= ax 4x+ 5log",设 r(x)= ax24x+5,
11、s(x)= log»(x C 1,2),则原命题等价于两个函数r(x)与s(x)的图象在区间1,2内有唯一交点，当a = 0时，r(x) = 4x+5在区间1,2内为减函数，s(x) = log 2x(x £ 1,2)为增函数,且 r(1)= 1 >s(1)= 0, r(2)=3vs(2) = 1,所以函数r(x)与s(x)的图象在区间1,2内有唯一交点.当a<0时，r(x)图象开口向下，对称轴为x= 2<0,a所以r(x)在区间1,2内为减函数，s(x)= log2x(xC 1,2)为增函数，r(1 / s(1 a+ 1 n 0,则由"'
12、;' '? f? -1<a<1,所以一1wa<0.“2 尸 s(2)4a3W1当0vaW1时，r(x)图象开口向上，对称轴为x=1>2,a所以r(x)在区间1,2内为减函数，s(x)= log2x(xC 1,2)为增函数，,r(1s(1a+ 10,则由*:'？ f? -1<a<1,所以 0<a< 1.j(2 尸 s(2)4a-3< 1综上所述，实数a的取值范围为1,1.6 .已知函数f(x)=x2-(k-2)x+ k2+3k+5有两个零点.(1)若函数的两个零点是一1和一3,求k的值；(2)若函数的两个零点是“和3,求小+百的取值范围.解：(1):一1和一3是函数f(x)的两个零点，.-1和一3是方程x2 (k 2)x+k2+3k+5 = 0的两个实数根.1-3=k-2,则 j ( 3)=k23k 5 解得卜=2.(2)若函数的两个零点为a和3,则a和3是方程x2-(k-2)x+ k2+3k+5= 0的两根，"a+ 3= k 2,.彳 a 伊 k2+ 3k+ 5,I = (k 2 2-4(k2+3k+5 产 0.a + 3 = ( 2a 伊一k 10k 6 ,则4一 4W k< 一 3,/+ 32在区间一4, 4 上的最大值是 18,最小值是50,即 /+百的取值范围为1_39*8 .