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1、.2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(一)例1已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x 2( 2k3 )xk 23k20的两个实数根，第三边长为5（1）当k为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形；（2）当k为何值时，ABC是等腰三角形，并求ABC的周长解析：（1）AB、AC方程x 2( 2k3 )xk 23k20的两个实数根ABAC2k3，AB·ACk 23k2ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC5AB 2AC 2BC 2，( ABAC )2AB·AC25即(2k3)22( k 23k2 )25k 23k100，k15，k,22当k5时，方程为
2、x 27x120，解得x13，x24（均不合题意，舍去）当k2时，方程为x 27x120，解得x13，x24当k2时，ABC是以BC为斜边的直角三角形（2）若ABC是等腰三角形，则有ABAC；ABBC；ACBC三种情况( 2k3 )24( k 23k2 )10ABAC，故第种情况不成立当ABBC或ACBC时，5是方程x 2( 2k3 )xk 23k20的根5 25( 2k3 )k 23k20即k 27k120，解得k13，k24当k3时，方程为x 29x200，解得x14，x25此时ABC的三边长分别为5、5、4，周长为14当k4时，方程为x 211x300，解得x15，x26此时ABC的三边
3、长分别为5、5、6，周长为16例2已知ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x 22( ab )xc 22ab0有两个相等的实数根，又sinA、sinB是关于x的方程( m5 )x 2( 2m5 )xm80的两个实数根（1）求m的值；（2）若ABC的外接圆面积为25，求ABC的内接正方形的边长解析：（1）关于x的方程x 22( ab )xc 22ab0有两个相等的实数根4( ab )24( c 22ab )0，即a 2b 2c 2ABC是直角三角形sinA、sinB是关于x的方程( m5 )x 2( 2m5 )xm80的两个实数根sinAsinB ，sinA·sinB 在RtABC
4、中，sin2Asin2Bsin2Acos2A1( sinAsinB )22sinA·sinB1即( )22× 1m 224m800，解得m14，m220当m4时，方程为9x 23x40，解得x1 ，x2 0在RtABC中，sinA0，sinB0m4不合题意，舍去当m20时，方程为25x 235x120，解得x1 ，x2 ，符合题意ABCttm20（2）ABC的外接圆面积为25外接圆半径为5，c10由（1）知，sinA 或sinA ABC的两条直角边长分别为6，8ABCttt设ABC的内接正方形的边长为t若正方形的两边在ABC的两直角边上，则 解得t 若正方形的一条边在ABC
5、的斜边上，易得斜边上的高为 ，则 解得t 例3已知关于x的方程x 2( mn1)xm0（n0）的两个实数根为、，且（1）试用含有、的代数式表示m和n；（2）求证：1；（3）若点P（，）在ABC的三条边上运动，且ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（ ，1），C（1，1），问是否存在点P，使mn ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解析：（1）解：、为方程x 2( mn1)xm0（n0）的两个实数根( mn1)24m( mn1)24n0，且mn1，mm，nm11 2分（2）证明：( 1 )( 1 )1( )n0（n0），又1 4分（3）解：要使mn 成立，只需mn1 当点P（，）在BC边上运动时由B（ ，1），C（1，1），得 1，1而 1 1在BC边上不存在满足条件的点 6分当点P（，）在AC边上运动时由A（1，2），C（1，1），得1，12此时 1 ，又1 2在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1，）8分当点P（，）在AB边上运动时由A（1，2），B（ ，1），得 1，12由对应线段成比例得 ，2由 解得 ， 又 1，1 2在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（ ，）综上所述，当点点P（，）在ABC的三条边上运动时，存在点（1，）和点（ ，），使mn 成立 10分;3