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1、解析几何(14)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 2019吉林辽源市田家炳中学调研以直线x= 1为准线的 抛物线的标准方程为()A . y2= 2x B . y2= 2xC. y2 = 4x D. y2= 4x答案：D解析：易知以直线x= 1为准线的抛物线焦点在 x轴的负半 轴上，且抛物线开口向左，所以 y2= 4x,故选D.x2 y2一 、一2. 2019山东潍坊一模双曲线C: -16=0),当 入916变化时，以下说法正确的是()A.焦点坐标不变B.顶点坐标不变C.渐近线方程不变D.离心率不变答案：C解析：若入由正
2、数变成负数，则焦点由 x轴转入y轴，故A 错误.顶点坐标和离心率都会随 入改变而改变，故B, D错误.该 4双曲线的渐近线万程为y= Wx,不会随入改变而改变，故选 C.3223. 2019山东烟台诊断测试，数学运算 若双曲线a2 b2 = 1(a>0, b>0)与直线y=V3x有交点，则其离心率的取值范围是 ()A. (1,2) B. (1,2C. (2, +oo) D. 2, +oo)答案：C解析：双曲线的焦点在x轴，一条渐近线方程为y=bx,只a /需这条渐近线的斜率比直线 y=V3x的斜率大，即b>43.所以e=aJI+J2>2,故选 C.4. 2019重庆西南
3、大学附中月考过抛物线x2 = 4y的焦点F 作直线，交抛物线于 Pi(xi, yi), P2(X2, y2)两点,若yi + y2 = 6, 则 |PlP2| = ()A. 5 B. 6C. 8 D. 10答案：C解析：根据抛物线的定义得|PiP2| = yi + y2+p,可得|PiP2|=8, 故选C.5. 20i9湖南五市十校联考在平面直角坐标系xOy中，抛 物线C： y2 = 4x的焦点为F,准线为l, P为C上一点，PQ垂直 l于点Q, M, N分别为PQ, PF的中点，直线MN与x轴交于 点 R,若/ NFR= 60°,则 |NR|=()A. 2 B.3C. 2v3 D.
4、 3答案：A解析：如图，连接MF, QF,设准线l与x轴交于H, .抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l, P为C上一点， .|FH|=2, |PF| = |PQ|, M, N 分别为 PQ, PF 的中点, .MN/QF, PQ 垂直 l 于点 Q, .PQ/OR, .|PQ|=|PF|, /NFR=60°,PQF 为等边三角形，- MFXPQ,.F 为 HR 的中点，.|FR|= |FH|=2, . . |NR|=2.故选 A.6. 2019河南洛阳尖子生联考如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点S(0,3), SA, SB与圆 C: x2 + y2 my= 0(m>0)和
5、抛物线 x2= 2py(p>0)都相切， 切点分别为M, N和A, B, SA/ ON,则点A到抛物线准线的距 离为()_A. 4 B. 273C. 3 D. 373答案：A解析：连接OM,因为SM, SN是圆C的切线，所以|SM|=|SN|, |OM|=|ON|.又 SA/ ON,所以 SM/ON,所以四边形 SMON 是菱形，所以/MSN =/MON连接MN,由切线的性质得/ SMN = /MON,则 SMN为正三角形，又 MN平行于x轴，所以直线SA的斜率k=tan 60 = 退设A(x0, y0),则=V3 .又X0x2点A在抛物线上，所以x2= -2pyo.由x2= 2py,得
6、y=加，乙py' = -1x,则一1x0=43 ，由得 yo= 3, p=2,所 p p以点A到抛物线准线的距离为一y° + 2=4,故选A.八 5_5A. 0,万 B. 1,万 -55C. 2 , 2 D. 1, 答案：D解析：通解联立，得7. 2019武汉市高中毕业生四月调研测试 已知直线y=kx -1与双曲线x2-y2 = 4的右支有两个交点，则 k的取值范围为 ()5 2x2y2=4,消去 y 得(1 k2)x2 + 2kxy= kx 1, 5=0,所以k中 土，设直线与双曲线的两个交点的坐标分别为A> 0,(xi,yi),(X2,y2),所以Xl + X2&g
7、t;0,即X1X2>0,2k 2 + 20 1-k2 >0,-2k°， 1-k2-59>0,1-k24k2v5,- 一5整理得kk-1 k+1 >0, 解得ivkv芍，所以实数kk2> 1,的取值范围是1, 好 ,故选D.优解 因为直线y=kx- 1恒过定点(0, 1),双曲线x2-y2 =4的渐近线方程为y=虫，要使直线y= kx- 1与双曲线的右支 有两个交点，则需k>1.当直线y=kx-1与双曲线的右支相切时，方程 kx- 1 = A/x24,即(1 k2)x2+2kx 5=0有两个相等的实数根，所以 A5 .= (2k)2+20(1 k2)
8、=0,得k=下2"(负值舍去)，结合图象可知，5要使直线y= kx- 1与双曲线的右支有两个交点，则需k< 2 . 5综上，实数k的取值范围是1,看，故选D. x2 y28.已知F1, F2分别是椭圆C: a2 + b2=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P,使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2,则椭圆C离心率的取值范围是（）A. 2, 1 B. 1, * 3321 / _1C. 3, 1 D. 0, 3答案：C解析：如图所示，二.线段PF1的中垂线经过F2,.PF2 = F1F2=2c,即椭圆上存在一点 P,使得PF2=2c. - a c&
9、2c& a+ c.又 = 0 v ev 1.e=CG a3，1 .9. 2019云南昆明调研设点M为抛物线C: y2=4x的准线 上一点（不同于准线与x轴的交点），过抛物线C的焦点F且垂直 于x轴的直线与 C交于A, B两点，设MA, MF, MB的斜率分 别为k1，k2, k3,则k12k3的值为（）k2A. 2 B. 2V2C. 4 D. 4v2答案：A解析：不妨设点A在x轴上方，如图，由题意知，抛物线 C的准线方程为x=1,焦点F（1,0）.将x=1代入抛物线C的方程得y=2 所以A(1,2), B(1, 2).设点M的坐标为(1, y。)，则2 yo yo 2 yoki + k
10、3ki=k2 = -2-, k3=2，所以k = 2.故选 A.10. 2019湖北武汉调研已知A, B为抛物线y2=4x上两点， O为坐标原点，且 OAL OB,则|AB|的最小值为()A. 4V2 B. 2/C. 8 D. 8V2答案：C解析：当直线AB的斜率不存在，即 AB垂直于x轴时， 因为抛物线方程为y2=4x, OAXOB,所以4AOB是等腰直角三 角形，可取A(4,4), B(4, 4),所以|AB| = 8.当直线AB的斜率 存在时，设直线AB的方程为x=my+ b(m*0, b* 0), A(xi, yi), B(X2, y2),因为抛物线方程为y2=4x,所以联立方程得 y
11、2 = 4x,消去 x 得 y2 4my 4b=0,所以 A= 16m2 + x= mx+ b,16b>0, y+y2=4m, y1y2= 4b, 由 X1 = my1 + b, X2=my2+b 得 X1X2= m2y1y2 + mb(y1 + y2) + b2 = 4bm2 + 4bm2 + b2= b2,因为 OA±OB,所以 OAOB=0,即 x1X2 + y1y2=0,所以 b2 4b = 0, 得 b=4 或 b=0(舍去)，所以 ABIuMIm2 :/16m2+16b = 勺 1 + m2 16m2+64 = 4/m4 + 5m2 + 4>8,所以当直线 A
12、B 的斜 率存在时，|AB|无最小值.综上，|AB|min = 8,故选C.11. 2019昆明市高三复习教学质量检测已知F1, F2是椭X2 y2圆E:b2=1(a>b>0)的两个焦点，过原点的直线l交椭圆E 于A, B两点，AF2 BF2=0,且需 =3,则椭圆E的离心率为() |BF2| 41 3A.2 B.42 5C.7 D.7答案：D解析：解法一 根据对称性，线段 F1F2与线段AB在点O处互相平分，又AF2 BF2=0,所以AF21BF2,连接AFi, BFi,所以四边形AF1BF2是矩形，|AFi|=|BF2|. _ IAF2I 3 .根据椭圆的定义，|AFi|+|A
13、F2|=2a,又鬲=4,所以|AFi| 86= 72, |AF2| = 7a,在 RtAFiFz 中，|FiF2|=2c,由勾股定理得（2c）2 8 c 6 c c - 25c 5 =7a 2+ 7a2,得a 2=49,所以椭圆e的离心率e=a=7.故选 D.解法二 根据对称性，线段 FiF2与线段AB在点O处互相 平分，又 AF2BF2=0,所以 AF2 1BF2,连接 AFi, BFi,所以四边形AF1BF2是矩形，|AFi|=|BF2|又超 =*不妨设 |AF2| = 3, |BF2|=4.根据椭圆的定义，2a = |AFi|+ |AF2|=4+ 3 =7,2c=|FiF2| = 4|A
14、Fi|2+|AF2|2 = 5,所以椭圆 E 的离心率 e=c=5, ，a 7故选D.x2 y2 _12. 2019湖南湘东K校联考已知双曲线b2=1（a>0,b>0）的两顶点分别为Ai, A2, F为双曲线的一个焦点，B为虚轴的一 个端点，若在线段BF上（不含端点）存在两点Pi,P2,使得/ A1P1A25 1-3 12 B. 1?2V5+ 1V3+ 1 32 D. 2，2Ak的平方的取值范围= /AiP2A2=2,则双曲线的渐近线的斜率 是（）A. 1,C. 0, 答案：B在y轴正半轴上,解析：不妨设点则F( c,0), B(0, b),直线BF的方程为bxcy=bc.如图，以
15、。为圆心，A1A2为直径作圆O,则Pi, P2在圆。上，由图可知b>a, bc；,b2 +b>a,即b2c2<a2b2+ a2c2,b>a,b2 a2 c2 a2b2<0,b>a,b>a,b2a2 b2+ a2 a2b2<0,b4-a4-a2b2<0,b>1,a ，b 4 b 2 _a a T<0，解得 1<b2<", a 2即双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是1, 一52H ,故选 A.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 2019河北六校模拟已知抛物线 C: y2=2px(p&g
16、t;0)的焦 点为F, O是坐标原点，过点O, F的圆与抛物线C的准线相切， 且该圆的面积为36兀，则抛物线C的方程为.答案：y2=16x解析：设圆的圆心为M(Xm, yM).根据题意可知圆心 M在抛 物线C上.又圆的面积为36见.圆的半径为6,则|MF|=XM + pIp 、 _,p p p -=6,即xm = 6 2，又由题息可知xm = 4，：4 = 62，解得p=8.：抛物线C的方程为y 答案：2 cc解析：由题息知F(c,0),则可设M2, y0 .将M 2, y0代入椭c2=16x.x2 y214. 2019湖北武汉调研测试已知F为椭圆C: 7 +点=1(a>b>0)的
17、右焦点，O为坐标原点，M为线段OF的垂直平分线3与椭圆C的一个交点，若cos/ MOF = 3,则椭圆C的离心率为x2 v2，一 .，解析：椭圆万程可化为9+& = 1.设Fl是椭圆的右焦点，则Fi(2,0),连接 AFi, PFi,.|AFi|=R 易知 |pa|+ |PF|=|PA|-|PFi|+6.又一|AFi|W|PA|一|PFi|W|AFi|(当 P, A, Fi 三点共线时等号 成立)，.-.6-V2<|PA| + |PF|<6+V2.4 y2-c2-圆c的方程，得a+ b2= 1,即4 1 4a = y0.设e为线段of的垂直平分线与 x轴的交点，则 AMOE
18、为直角三角形.由于3 c 一、一cos/ MOF=7,所以不妨设2=3,则|OM|=7, c=6.由勾股定理c2一 , 9可得 |ME|=|y0|=77232 = 2勺10,即 b2 1一行=40,得 b2 1全 =40.又 a2b2=36,所以 a485a2+324=0,解得 a2=81 或 a2 c 6 2=4(舍去)，故a=9,所以椭圆C的离心率e= a= 9=3.x215. 2019石家庄高中毕业班检测已知双曲线方程C：不一 g=1(a>0, b>0), P是双曲线上一点，F1, F2为双曲线的焦点， /FiPF2=60°, PF1F2 的面积为 3,则 b=.答案：1b2角牛析：SPF 1F2 = tan 30 = V3b = 3, .b=1, b= 1.16. 2019浙江舟山模拟已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦 点，P是椭圆上的动点，A(1,1),则|PA| + |PF|的最大值为, 最小值为.答案：6 + 2 6-2