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1、点线面的位置关系（1）四个公理公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言：Aw|,Bw|,且A三很，B = I :- o公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 它给出了确定一个平面的依据。公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线（两个平面的交线）。符号语言：且p ：n：=i,PT。公理4:（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言：a/l,且b/l= a/b。（2 ）空间中直线与直线之间的位置关系1. 概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。已知两条异面直线a,b，经
2、过空间任意一点O作直线a /a,b /b，我们把 a 与b所成的角（或直角）叫异面直线a,b所成的夹角。（易知：夹角范围0< 90 ）公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言：a/l,且b/l= a/b。定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形）2.位置关系:共面直线r目交直线：同 彳.平行直线：同平面内，有且只有一个公共点平面内，没有公共点；.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直 线 与 平 面 的 位置 关 系 有'直线在平面内（I U
3、 Ct）有无数个公共点直线在平面外直线与平面相交（1 n直线与平面平行（II n = A）有且只有一个公共点 i /.）没有公共点（4）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种："两个平面平行（a / / ®没有公共点两个平面相交（： P| 1 = |）有一条公共直线考点1：点，线，面之间的位置关系例1.（2014辽宁,4,5分）已知m,n表示两条不同直线，口表示平面.下列说法正确 的是（）A.若 m/a ,n /a ,贝 U m/ nB.若 m±a ,n ? a ,贝 U m± nC.若 m±a ,m± n,贝
4、U n /a D.若 m/a ,m± n,贝 U n丄a答案1.B解析1.A选项m n也可以相交或异面,C选项也可以n? a ,D选项也可以n/ a或n与a斜交.根据线面垂直的性质可知选 B.例2.（2014山东青岛高三第一次模拟考试，5）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，贝U下列命题正确的是（）A.若山旳出门仏则旅B.若丄0上门仪*则H丄0C若&丄0"丄0则aliad.若口丄占卫丄久b丄几则"丄"答案2. D解析2.A选项不正确，因为是可能的；B选项不正确，因为：二-卞，时， "，沙都是可能的；A. 1B. 2C. 3D .
5、4C选项不正确，因为'：占丄李时，可能有；D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的. 故选D例3. （2014广西桂林中学高三2月月考,'是两个不同的平面.下列命题中正确的是（A） 心一:厂“二 D :臥/ 丄二（C） r W 丨；.' y .川答案3. D4）设:、是两条不同的直线，、（ ）（B） 很丄也丄空汕 J ，驚丄務（D） 茫乩攀亠&尸匸：匸亠打解析3. 若宀丄Ju .：；，则平面 与垂直或相交或平行，故（A）错误；若黑丄醜惡人鼠朋燔，则直线；与相交或平行或异面，故（B）错误；若;，：丄.乂厂-m _亠厂，则直线与平面1'垂直或相交或平
6、行，故（C）错误;若'"，则直线：，故（D）正确选D.例4. （2014周宁、政和一中第四次联考，7）设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题： 若/，且 则 -; 若/ ，且/贝U /; 若叭0一3"左，贝胖/酬/戡； 若小J w订二“；且/，贝U /.答案4. B解析4.正确；直线 或，错误；错误，因为正方体有公共端点的三条棱两两垂直；正确故真正确的是，共2个.2. 空间几何平行关系转化关系：线线平行线面乎行面面平行直线、平面平行的判定及其性质归纳总结定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判疋平面外的一条直线与平 面内的一条直线平行
7、， 则该直线与此平面平行a 広 a,bua,且 a/b二 a/a在已知平面内“找出”一条直线与 已知直线平行就可以判定直线与 平面平行。即将“空间问题”转化 为“平面问题”平面与平面平行的判疋一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行au 0,bu P, arib = P,aG,ba 二 P /a判定的关键：在一个已知平面内找出 两条相父直线与另一平面 平行。即将“面面平行问题”转化 为“线面平行问题”直线与平面平行的性 质一条直线与一个平面平 行，则过这条直线的任 一平面与此平面的交线 与该直线平行a/a,au B,a 门 B =b二 a/b平面与平面平行的性 质如果两个
8、平行平面同时 和第三个平面相交，那 么它们的交线平行» 0,诃丫 =a,a/ b1. 证明线线平行的方法： （平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。即公理4(证明这条两条直线的方向量共线。如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。即面面平 行的性质。2. 证明直线和平面相互平行的方法 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行； 证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行； 证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。3. 证明两平面平行的方法：(1) 禾I用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，贝尼们必相交，再 导出矛盾。(2) 判定定理：一个
9、平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：an b，af a ， b f a ， a/ B，b / B，贝U a / B。(3) 垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a丄a , a丄B则a / B。(4) 平行于同一个平面的两个平面平行。:111 = - /4. 两个平面平行的性质有五条：(1) 两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：a / B，aa，贝U a / B。(2) 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这 个定理
10、可简记为：“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：a / B，a n 丫 =a， B n 丫 =b，贝U a/ bo(3) 一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：a / B，a丄a，则a丄B。(4) 夹在两个平行平面间的平行线段相等(5) 过平面外一点只有一个平面与已知平面平行3. 空间几何垂直关系1 .线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一 条，必垂直于另一条。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，
11、如果和这个平面的一条斜线垂 直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。P0 丄 a, O = a推理模式： PA A = a _ AO。a u a, a 丄 AP注意：三垂线指PA PO AO都垂直a内的直线a其实质是：斜线和平 面内一条直线垂直的判定和性质定理.要考虑a的位置，并注意两定理交替使 用。2. 线面垂直(1) 定义：如果一条直线I和一个平面a相交，并且和平面a内的任意一条直 线都垂直，我们就说直线I和平面a互相垂直+其中直线I叫做平面的垂线，平面 a叫做直线I的垂面，直线与平面的交点叫做垂足。直线I 与平面a垂直记作：I丄a(2) 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条
12、相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。(3) 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条 直线平行。3. 面面垂直(1) 两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。(2) 两平面垂直的判定定理：(线面垂直=面面垂直)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。(3) 两平面垂直的性质定理：(面面垂直=线面垂直)若两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。考点2:证明线面之间的平行与垂直例1 .如图,四边形ABC助正方形，PD丄平面ABCD/DPC=30 ,AF丄PC于点F,FE / CD交
13、PD于点E.又 CD! AD,Pm CD=D, ADL平面 PCD/. ADL PC,又 AFL PC,AFA AD=A,/ PC!平面ADF即卩CF丄平面ADF.例2.(2011江苏,16, 14分)如图,在四棱锥P-ABC冲,平面PADL平面ABCD,AB=AD, / BAD=60 , E, F 分别是AP, AD的中点.求证：(I )直线EF/平面PCD;(II)平面BEFL平面PAD.pa答案(I )在厶PAD中,因为E, F分别为AP, AD的中点,所以EF/ PD.又因 为EF?平面PCD, PD?平面PCD,所以直线EF/平面PCD.(I)连结BD.因为AB=AD, / BAD=
14、60 ,所以 ABD为正三角形.因为F是AD 的中点,所以BF丄AD.因为平面PADL平面 ABCD, BF?平面ABCD,平面PACT 平面ABCD=AD所以BF丄平面PAD.又因为BF?平面BEF,所以平面BEFL平面PAD.例3. (2009 江苏，16,14 分)如图，在直三棱柱ABC-ABG中,E、F分别是 AB、AiC的中点，点D在BC上,A Q丄BiC.求证：(I ) EF / 平面 ABC;(II)平面AFD丄平面BBCC.答案3.( I )因为E、F分别是AiB、AiC的中点，所以EF/ BC, EF?面ABC, BC ?面ABC.所以EF/平面ABC.(I)因为直三棱柱 A
15、BC-ABiG,所以BB丄面AiBiG, BBi丄AiD,又AiD丄BiC,所 以AiD丄面BBCiC,又AD?面AFD,所以平面 AFD丄平面BBCC.例4. (2008江苏，i6, i4 分)如图，在四面体 ABC冲,CB=CD, AD丄BD,点E、 F分别是AB BD的中点.求证：(I )直线EF/平面ACD;(I)平面EFCL平面BCD.B答案4.( I )在厶ABD中,因为E、F分别是AB BD的中点，所以EF/ AD.又AC?平面 ACD, EF?平面 ACD,所以直线EF/平面ACD.(II) 在 ABD中 ,因为 ADL BD, EF / AD,所以 EF丄 BD.在厶BCD中
16、 ,因为CD=CB, F为BD的中点，所以CFLBD.因为EF?平面EFC, CF?平面EFC, EF与CF交于点F,所以BDL平面EFC.又因为BD?平面BCD,所以平面EFCL平面BCD.例5.(2013北京海淀区高三三月模拟题，17,14分)在四棱锥厂' 中，平面'I ，是正三角形，：与'；的交点i1恰好是-中点，又P壯亦4,缈心2(T，点N在线段PB上,且I)求证:启丄鸞；I)求证：平面;答案7.(1)因为是正三角形，是 中点，所以衣，即BD丄AC.又因为力丄iABCD，处匸平面胭,所以必丄肋.又 皿，所以Rm平面PAC.又卩(上平面円C,所以UD1 PC .(U)在正三角形" 中，轨:“士:，在中，因为为中点,漆上迸：,所以ii '.又 一，所以-.tanZCDM = = = V3DM =所以由 '，得所以在等腰直角三角形，中，心：=£热丸，所以“.所以；，孤汀用接薦：述，所以"''.又平面，m 匸平面呑殳：，所以： 平面必殳：.