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1、、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳：1概念与公式：等差数列：1° .定义：若数列an满足ani -an =d（常数）,则an称等差数列;2° 通项公式：an = （n -1）d = ak （n -k）d;n + an)n(n 1)3° 刖n项和公式：公式： Sn- naid.2 2等比数列:定义若数列an满足Jqan（常数），则an称等比数列；2 ° 通项公式：n 1n _k 亠。an 二 a-q 二 akq ； 3前-项和公式：Snai - anqi -qa-(1( q = i),当 qh 时 Sn = na- 1 -q2 简单性质:首尾项性质：设
2、数列an : ai,a2, a3/，an ,i°若an是等差数列，则ai an = a2 - a.二a3 - a./二；2 .若an是等比数列，则 ai Qn a2 'an d a3，an_2 = 中项及性质：a +bi° 设a, A , b成等差数列，则 A称a、b的等差中项，且 A；22° 设a,G,b成等比数列，则 G称a、b的等比中项，且 G = , ab, 设p、q、r、s为正整数，且 p q = r s,i° 若an是等差数列，则ap +aq =a+a$;2° .若an是等比数列，则ap aq二aq; 顺次-项和性质：n2n
3、3ni ° .若 an是公差为d的等差数列，则7 ak, 7 ak,ak组成公差为n2d的等差数列；kmkm十k Tn 十n2n3n2° 若an是公差为q的等比数列，则二ak,二ak,二ak组成公差为qn的等比数列.（注意：当q= - i,-为k z-k=n +k=2n"H偶数时这个结论不成立） 若an是等比数列，2则顺次-项的乘积：aia' an,an iana2n, a2n ia2na3n组成公比这qn的等比数列.若an是公差为d的等差数列，1° 若n为奇数，则Sn二na中且S奇-S偶二a中(注：a中指中项，即a =： an.i,而S奇、S偶
4、指所有奇数项、所有偶数项的和)；2°若n为偶数，则S偶-S奇二.2(二)学习要点：1 学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意公差d工0的等差数列的通项公式是项 n的一次函数an=an+b;公差d丰0的等差数列的前 n项和公式项数 n的没有常数项的二次函数 Sn=an2+bn;公比q丰1的等 比数列的前n项公式可以写成“ Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的2解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证 明的性质解题3 .巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：三数成等差数列，可设三
5、数为“a,a+m,a+2m (或aa-m,a,a+m )”三数成等比数列，可设三数为“ a,aq,aq2(或，a,aq) ”四数成等差数列，可设四数为q“ a, a m,a 2m, a - 3m(或a -3m, a -m, a m,a - 3m); ” 四数成等比数列，可设四数为应在学习中总结经验a,aq, aq 2,aq3(或弓,±a, aq,土aq3), ”等等；类似的经验还很多, q q例1解答下述问题：1 1 1(i)已知一，一，-成等差数列，求证:a b cc ab-,c2(1)a b成等差数列;c成等比数列.2aba -2解析该问题应该选择“中项”的知识解决，la c=Z
6、= 2ac=b(a c),a c b ac b2 2 2 2/八 *b+c 丄 a+bbc+c +a +ab b(a+c)+a + ca_ 2(a c)2 =b(a c)b c c a(2)c2(a c)acacb成等差数列;ca b(2)(a _b)(c _b)二 ac _b (a c) 2224b ba , ,c 2 2评析判断(或证明)一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断, (H)等比数列的项数 n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024,所有偶数项的乘积为aaa片an1024解析设公比为q丄口=442a?a4a.128J2(1)35= 1024 128、2
7、=2乏二355=2乏,将(1)代入得(22)n818283 a nn JF n二(a1 q )5n 35 得ai1 2 3q3535(n -1) = 2,得 n = 7.2 2(川)等差数列an中，公差aH，akn恰为等比数列，其中& =1*2此数列中依次取出部分项组成的数列：求数列kn的前n项和.2解析a1,a5,a17成等比数列，.a§二&1£仃,= (a1 4d)2 =a1 (a 16d)二 d® -2d) =0d =0, a1 =2d,二数列akn的公比q =玉=色一=3,aa.ak二印3心=2d 3心n而akn 二 a1 (kn -1)d
8、 =2d (kn -1)d 由，得kn =2 3心-1,3n _1kn的前n项和Sn =2 3-n =3n -n-1.3 1评析例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功例3解答下述问题：4,又成等比数列,(I)三数成等比数列，若将第三项减去32,则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去求原来的三数厂 2d +32d-32a=02Qa =16 +d解析设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单, 设等差数列的三项分别为a-d, a, a+d，则有(2(a _d)(a +d +32) =a2.(a 4) =(a _d)(a +d)=3d 2 - 32d64
9、= 0, d = 8或 d =,得 a = 10或 26,39原三数为 2,10,50或 2,26,33.9 99(n)有四个正整数成等差数列，公差为 10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数解析设此四数为 a -15,a -5,a5,a15(a15),.(a -152) (a 一5)2 (a 5)2 (a 15)2 =(2m)2(m N ) 二 4a2500 =4m2 二(m _a)(m a) =125,125 =1 125 =5 25, m - a与m - a均为正整数,且m - a ： m a,m -a = 1m a =125解得a =62或a =12(不合),.所求四数为47
10、, 57, 67, 77评析巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主 要方法.、等差等比数列练习题一、选择题1、如果一个数列既是等差数列,(A)为常数数列又是等比数列，则此数列(B)为非零的常数数列(C)存在且唯一(D)不存在2.、在等差数列gn 中,ai=4,且aa5，a13成等比数列，则 a ? 的通项公式为(A) an = 3n 1(B) an 二 n 3(C)an = 3n 1 或an = 4(D)an 二 n 3或 an 二 43、已知a,b,c成等比数列，且 x, y分别为a ca与b、b与c的等差中项，则的值为x y4、(B)
11、 - 2(C) 2(D) 不确定互不相等的三个正数 a,b,c成等差数列,X是a,b的等比中项，y是b,c的等比中项，那么x2, b2,2y三个数(A)(C)成等差数列不成等比数列既成等差数列又成等比数列(B)成等比数列不成等差数列(D)既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列:an匚的前n项和为Sn , S2n 12=4n 2n,则此数列的通项公式为(A)an =2n -2(B) an =8n -2(C)a2n4(D)an2二 n2 - n8、26、已知(z -x) =4(x - y)(y -z)，则7、(A) x, y, z成等差数列数列& *的前n项和Sn(B) x, y,z成
12、等比数列(C)i,-,1成等差数列x ' y ' zn -1，则关于数列、an 啲下列说法中，正确的个数有(D)丄丄x y-成等比数列z一定是等比数列，但不可能是等差数列可能既不是等差数列，又不是等比数列(A) 4( B) 3一定是等差数列，但不可能是等比数列可能既是等差数列，又是等比数列(C) 2(D) 1可能是等比数列，也可能是等差数列1111数列迄纭怎,前n项和为2(A) n2(b)n2(D)n2 一门一土9、若两个等差数列*bn的前n项和分别为An、Bn,且满足AnBn_ 4n 2一 5n - 5，则坐的值为b5 + b1310、已知数列11、已知数列的前(B)19(C
13、)207(D)-8a / 的前n项和为Sn=n25n - 2，则数列 3n ? 的前10项和为56(B)58(C)62(D) 60an 的通项公式n项和为an二n 5为，从：an中依次取出第3, 9, 27,3n, 项，按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列321、数列 的前n项和记为Sn, a1,an2Sn 1 n-1(D) 3n1 10n-3n(3n 13)(B) 3n - 512、下列命题中是真命题的是a 数列是等差数列的充要条件是 an = pn *4(9=0)，那么此数列也是等比数列b 已知一个数列;an:的前n项和为Sn二an2 bn a ,如果此数列是等差数列C数列'久是
14、等比数列的充要条件 an =abndd .如果一个数列 gn 的前n项和Sn = abn c (a = 0, b = 0,b = 1)，则此数列是等比数列的充要条件是填空题13、各项都是正数的等比数列 、an，公比q =1 a5,a7,a8，成等差数列，则公比 q =14、已知等差数列 3n ；， 公差d 0,a1,a5,a仃成等比数列，则a1a5 *17a2 ' a6 ' a1815、16、17、1已知数列"an 满足Sn =1 1 an则an =4在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 解答题已知数列&#
15、163;n是公差d不为零的等差数列，数列是公比为q的等比数列，bi =1,b2 =10,b3 =46，求公比q及bn。18、已知等差数列，an的公差与等比数列"bn的公比相等，且都等于d (d0,d =1),a1,a3=3b3 ,a5=5b5,求an,bn19、 有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。_ 2020、 已知an f为等比数列，a - 2, a2 ' a ，求*、an的通项式。（i）求：an ?的通项公式；（H）等差数列的各项为正，其前n项和为Tn，且T3 = 15，又a<Hb|,a<Hb2, a3
16、 +b3成等比数列，求Tn22、已知数列满足 ai =1,an# =2an +1（n N ）.（i）求数列 & / 的通项公式；（ii） 若数列fbj满足42才2.46=临 T）bn（ n N ），证明：CbJ是等差数列;数列综合题、选择题题号123456789101112答案BDCAAACADDDD、填空题1.52641 nc13.14.15. -()16. _6、322933三、解答题17. a b1 =a1,at)2 =a1o=a+9d,ab3 =a46=a+45d由abn为等比数例，得(a什9d)2=a1(a1+45d)得 a1=3d,即 ab1=3d,ab2=12d,ab3=
17、48d.q=4 又由abn是an中的第 bna 项，及 abn=ab1 4n-1=3d 4n-1,a1+(bn-1)d=3d 4n-1二 bn=3 4n-1-22 2 _18. a3=3b3 ,a1+2d=3a1d ,a1(1-3d )=-2da5=5b5,a1+4d=5a1d4 , - a1(1-5d4)=-4d4=2，22 15d =1 或 d =,由题意，d= ,a1=- - 5。55an=a1+( n-1)d=斗）bn=a1dn-1=- - 5a19.设这四个数为 一，a, aq,2aq -a-a aq =2163由，得 a =216,a=6q则g© +aq +(3aq a)
18、 =36代入，得3aq=36,q=2这四个数为3，6，12，18_a3220.解：设等比数列an的公比为q,则qz 0a2= = 7 , a4=a3q=2qM M所以 2 + 2q=20 ,解得 q1=3 , q2= 3,1 1 _ 18 _ 当 q1=3, a1=18.所以 an=18 逼)円二厂=2 %3_n.当 q=3 时,ai= 9 ,所以 an=2 X3n仁2 X3n 3.21.解：(l)由an 1 =2Sn 1可得an =2Sn二1 n_2，两式相减得an 1 _an =2an,an 1 =3an n _2又 a2 = 2S1 1 = 3 二 a? = 3a1故Caj是首项为1,公
19、比为3得等比数列n 1 an =3 -(n)设:b/?的公差为d由 T3 =15 得，可得 b1 b2 b3 =15，可得 b2 =5故可设 d =5 -d,b3 =5 d又 a1 = 1,a2 = 3,氏=92 由题意可得(5 _d +1 J(5+d+9 )=(5+3)解得 d1 = 2, d2 =10等差数列的各项为正， d 0 d =2n(n _1 )2- Tn =3n2 二 n2 2n222 (I)： Van+=2ant )N*an1 1 =2(an 1),an 1是以a1 2为首项，2为公比的等比数列。an 1 =2n.2 *即 an =2 -1(n N ).(II)证法一：4b14b2.4bny(an * 1化(bib2 . bn) -n23b2 . bn) -n二nbn,2(db2. bnbm)-( n 1)=(n 1)0 1.一，得 2(bn 1 一 1)=(n 1)bni -nbn, 即(n 1)bn .1. -nbn 2 = 0,nbn 2 -(n 1)bn d 2 = 0.，得nbn 2-2nbn .4 nbn = 0,即 bn 2 - 2bn 1 bn =0,bn 2 - bn 1 二 bn 1 - bn (n，N ), g 是等差数列。