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1、向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC 。a+b=（x+x' ， y+y'） 。 a+0=0+a=a 。 向量加法的运算律： 交换律： a+b=b+a ； 结合律： （a+b）+c=a+（b+c） 。2、向量的减法如果 a、b 是互为相反的向量，那么 a=-b ， b=-a ， a+b=0. 0 的反向量为 0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减 ” a=（x,y） b=（x',y'） 则 a-b=（x-x',y-y'）.3、数乘向量实数入和向量a的乘积是一个向量，记作入a且I入al
2、 = I入I ? I a I。当？O 0时，入a与a同方向；当入v 0时，入a与a反方向；当入=0时，入a=Q方向任意。当a=0时，对于任意实数人都有 入a=0注：按定义知，如果 入a=Q那么入=0或a=0。实数入叫做向量a的系数，乘数向量 入a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当I入I > 1时，表示向量a的有向线段在原方向（ 心0）或反方向（入v 0）上伸长为原 来的I入I倍；当I入I v 1时，表示向量a的有向线段在原方向（ 心0）或反方向（入v 0）上缩短为原 来的I入I倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：（入 a）?b=入（a?b）=（a?。入 b）向量对于
3、数的分配律（第一分配律）：（入+卩）a=入a+卩a.数对于向量的分配律（第二分配律）：入（a+b）=入a+入b.数乘向量的消去律：如果实数 入工且入a=入,b那么a=b。 如果a0且入a= 那 么入=眇4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a,b并规定Ow a,b > <n定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos a, b>若 a、b 共线，则 a?b=+- I a II b I。向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y&
4、#39;。向量的数量积的运算律a?b=b?a （交换律） ;（入a）?b=入（a?关于数乘法的结合律）;（a+b）?c=a?c+b?c （分配律） ;向量的数量积的性质a?a=|a| 的平方。a _L b = > a?b=O。|a?b| w |a|?|b|向量的数量积与实数运算的主要不同点1、 向量的数量积不满足结合律，即：（a?b）?c丰a?（b?c）例如：（a?b）A2丰aA2?bA<22、 向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a?c （a丰0）推不出b=c。3、|a?b| 工 |a|?|b|4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b 或 a=-b。5、向量的向量积定义：两个
5、向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作axb。若a、b不共线，则axb的模是：I axb I =|a|?|b|?sin a, b> ; axb的方向是：垂直于a和b，且a、b和axb 按这个次序构成右手系。若 a、b共线，则aXb=O。向量的向量积性质：I axb I是以a和b为边的平行四边形面积。axa=0。a lib = > aXb=O。向量的向量积运算律axb=-bxa;（入 a x b=?<（axb） =ax （入 b ;（a+b）xc=axc+bxc.注：向量没有除法， 向量AB/向量CD是没有意义的。向量的三角形不等式1、II aI-IbIIwIa+bI
6、wIaI+IbI; 当且仅当 a、b 反向时，左边取等号; 当且仅当 a、b 同向时，右边取等号。2、aI-IbIIwIa-bIwIaI+IbI。 当且仅当a、b同向时，左边取等号； 当且仅当a、b反向时，右边取等号。6. 定比分点定比分点公式（向量P1P=X?向量PP2 ）设P1、P2是直线上的两点，P是I上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数入,使 向量P1P=X?向量PP2 ,入叫做点P分有向线段 P1P2所成的比。若 P1 （x1,y1） , P2（x2,y2） , P（x,y），则有0P=（0P1+入OP2）（1+入）；（定比分点向量公式）x=（x1+ 入 x2）/（1+ 入）
7、,y=（y1+入y2）/（1+丛）（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若0C= 0A +卩0B ,且 入+卩=1则A、B、C三点共线三角形重心判断式在厶ABC中，若 GA +GB +GC=0,贝U G ABC的重心编辑本段向量共线的重要条件若b0,则a/b的重要条件是存在唯一实数人使a=ba/b的重要条件是 xy'-x'y=0。零向量0平行于任何向量。编辑本段向量垂直的充要条件a丄b的充要条件是 a?b=0。a丄b的充要条件是 xx'+yy'=0。零向量0垂直于任何向量.空间向量fn令 a=（a1,a2,a3）, b
8、 匕也亠），则a b (a!b-a? b2,a3 b3)a ( a1,a2, a3)( R)a b a1b1a2b2 a 3b3a1a2a3b1b2b3共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合a / b a1b1,a2 匕2月3 bs( R)如果三个向量a,b, c不共面：那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序实数组x、y、乙使 p xa yb zc.推论：设0、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组X、y、z 使 OP xOA yOBzOC (这里隐含x+y+z丰1)向量垂直 a baibi a2b2a3b30。空间两个向量
9、的夹角公式cos a,bai bia?b2a3b3|a| |b|(a = (a1.a2.a3), b = Qbb)。空间两点的距离公式：- 2 2 2 d . (X2 xi) (y2 yi)(z2 zi).利用法向量求点到面的距离 ：如图，设n是平面 的法向量，AB是平面 的一条射线，其中A ，则点B到平面| AB 孑|的距离为|n|.异面直线间的距离uur inrd |CD n Sil是两异面直线，其公垂向量为n , C、D分别是li,l2上任一点，d为 |n|li,l2间的距离).uui inB到平面的距离I ab n | rd r ( n为平面 的法向量，AB是经过面 的一条斜线， A )|n|直线AB与平面所成角uui ur u_ arcs in UUB m (m 为平面 的法向量)|AB|m|利用法向量求二面角的平面角：的法向量)m n 亠m nu Iarc cos l 或arccos l ( m , n 为十面|m| n|m| n|