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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2 .回答选择题时，选由每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目 的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合A 1，。，1,2, Bxx21,则 ApBA,1,0,1B.0,1C.1,1D.0,1,22,若 z（1 i） 2i ,则 z=A.1 iB
2、.1+iC.1 iD.1+i3 .两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率 是A.B.C.D.4 .西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著 .某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90位，阅读过红楼梦的学生共有 80亿阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.85 .函数f(x) 2sinx sin2x在0, 2兀的零点个数为A. 2B. 3C. 4D. 56.已知各项均为正
3、数的等比数列an的前 4 项和为 15,旦 a5=3a3+4ai,则a3=A. 16B. 8C. 4D. 27.已知曲线y aexxlnx在点(1, ae)处的切线方程为 y=2x+b,则A. a=e, b= 1 B, a=e, b=1 C, a=e 1, b=1 D . a=e 1, b i8 .如图，点N为正方形 ABCD的中心，4ECD为正三角形，平面ECD，平面ABCD, M是线段ED的中点，则A.BM=EN,且直线B.BM吒N,且直线C.BM = EN,且直线D.BM庄N,且直线EN是相交直线EN是相交直线BM,BM,EN是异面直线EN是异面直线9 .执行下边的程序框图，如果输入的为
4、0.01,则输由s的值等于1 QiS = j + ar是/ I&7A.2 2c. 2126x10.已知F是双曲线C:-4i的一个焦点,占八、P在C上，O为坐标原点，若OP = OF|,则OPF的面积为A.2D- i11.记不等式组6。表示的平面区域为D .命题p; （X,y） D,2X y 9；命题 q： (x, y)D,2x y 12 .下面给生了四个命题这四个命题中,所有真命题的编号是A.B.C.12.设f x是定义域为R的偶函数，且在o, 单调递减，则A.f (lOg31)43（2万）2> f (2)B.f(lOg3P2(23)3> f (22)C.2f (23) &
5、gt;f （啕3）423D. f （23） > f （22） > f （log31）4二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13 .已知向量 a （2,2）, b （8,6）,则 cos a,b .14 .记Sn为等差数列an的前n项和，若a3 5® 13 ,则8 2215. 设Fi, F2为椭圆C:工+工1的两个焦点，M为C上一点且在第一象 36 20'限.若mf6为等腰三角形，则 M的坐标为.16. 学生到工厂劳动实践，利用 3D打印技术制作模型.如图，该模型 为长方体ABCD A1B1C1D1挖去四棱锥 O- EFGH后所得的几何体，其 中O为长
6、方体的中心，E, F, G, H分别为所在棱的中点， AB=BC= 6 cm , AAi= 4cm , 3D打印所用原料密度为 0.9 g/cm3,不考虑 打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g.三、解答题：共70分。解答应写由文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。17. （12 分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A, B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离 子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经
7、过一段时间后用某种科学方法测算由残留在小鼠 体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得至UP (C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a, b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).18. (12 分)ABC的内角A、B、C的对边分别为 a、b、c.已知 a sin bsin A . 2(1)求 B;(2)若 ABC为锐角三角形，且 c=1 ,求 ABC面积的取值范围.19. (12 分)图1是由矩形ADEB, ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其
8、中 AB=1 , BE=BF=2,/ FBC=60 ,将其沿AB, BC折起使得BE与BF重合，连结DG , 如图2.(1)证明：图2中的A, C, G, D四点共面，且平面 ABC，平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积.20. (12 分)已知函数f(x) 2x3 ax2 2 .(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0<a<3时，记“*)在区间0, 1的最大值为M,最小值为m, 求M m的取值范围.21. (12 分)2已知曲线C： y=薮，D为直线y= 3上的动点，过 D作C的两条切线，切点分别为A, B.(1)证明：直线AB过定点：(2)若以E(0,：)为圆心的圆
9、与直线 AB相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程.(二)选考题：共 10分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如 果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4 Y:坐标系与参数方程(10分)如图，在极坐标系 Ox 中，A(2,0) , B(V2)，C(T2,), D(2,)弧 AB, 44BC , CD所在圆的圆心分别是(1Q), (1弓)，(1，),曲线M1是弧AB,曲 线M2是弧BC ,曲线M3是弧CD .(1)分别写生M1 , M2, M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1 , M2 , M3构成，若点P在M上，且|OP|品)求P的极坐标.23.选修4：不等式选讲(10分)设
10、x, y,z R,lLx y z 1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2 的最小值;(2)若(x2)2(y1)2(za)2 1 成立，证明：a 3或 a 1.32019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案一、选择题1. A 2. D 3. D 4. C 5. B 6. C 7. D 8. B 9. C 10, B 11 .12. C二、填空题13,旨14, 10015. (3,A)16. 118.8三、解答题17 .解：(1)由已知得 0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1 -0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2 &
11、gt;0.15+3 20+4 0.30+5 20+6 私10+7 私05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3>0.05+4 10+5 0.15+6 35+7 私20+8 私15=6.00.18 .解：(1)由题设及正弦定理得sin Asin A 2c sinBsinA.因为 sinA 0,所以 sinC sin B .2由 A B C 180 可得 sinC cos, 故 cos 2sin cos.22222因为 cosB 0 故 sinB 1,因此 B=60°. 2'2 2'(2)由题设及(1)知ABC的面积S. ABC旦.4由正弦定理得acsin
12、 A sin 120 C sin C sin C, 312tanC 2由于zabc为锐角三角形，故0 <A<90 ,0 <C<90 .由(1)知A+C=120° ,所以 300 <C<90 ,故1 a 2,从而，Saabc 中.因此，4ABC面积的取值范围是 ,8219 .解：(1)由已知得 AD4BE, CGBE,所以 AD"CG,故 AD, CG确定一个平面，从而 A, C, G, D四点共面.由已知得AB BE, AB BC,故AB 平面BCGE .又因为AB 平面ABC,所以平面 ABC 平面BCGE .(2)取CG的中点M,连结
13、EM, DM.因为AB/DE,AB 平面BCGE,所以DE 平面BCGE ,故DE CG.由已知，四边形 BCGE是菱形，且/ EBC=60°得EM CG,故CG 平 面 DEM .因止匕DM CG.在 RtzxDEM 中，DE=1, EM = T3,故 DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.R20 .解：(1) f (x) 6x2 2ax 2x(3x a)令 f (x) 0 ,得 X=0 或 x -. 3若 a>0,则当 x ( ,0)U a，时，7 3他)在(，0), a,单调递增，在3若a=0, f(x)在(，)单调递增；若a<0,则当x ，a (J。)时，f(x
14、)在 ,a ,(0,)单调递增，在3(2)当0 a 3时，由(1)知，f (x) 0 ；当 x 0,a 时，f (x) 0 .故30,a单调递减；3f (x) 0 ；当 x 月,0 时，f (x) 0 .故 3a,0单调递减.3f(x)在0,与单调递减，在 a,1单调33递增，所以f(x)在0,1的最小值为3|7 2,最大值为f (0)=2 或f (1)=4 a .于是3 am 274 a,02,2 aa 2, 3.所以M3a -a ,027a 2,3a 八,2 a273.2时,可知23a 27单调递减,所以M m的取值范围是27,2 ,33时，27单调递增，所以Mm的取值范围是瑞1).综上,
15、M m的取值范围是.21 .解：(1)设1Dt, 2,A Xi, yi，则2Xi2yi 1y1一由于y, x,所以切线DA的斜率为“,故一2 为t整理得 2 tx1 2 y1+1=0.设 Bx2,y2 ,同理可得 2tX2 2 y2+1=0 .故直线AB的方程为2tx 2y 1 0 .所以直线AB过定点(0,1).2(2)由(1)得直线AB的方程为y tx 1 .2tx 12 2 ,可得 x2 2tx 1 0 .x2于是x1 x2 2t,y1 y2 t * x21 2t2设M为线段AB的中点，则m t,t由于eM AB ,而EMt,t2 2 ,点与向量（1, t）平行，所以t122to.解得t
16、=0或t 1 .I当t=0时，|EM|=2,所求圆的方程为x2 y 54；2当t 1时，|EM|展，所求圆的方程为x2 y 52 .222 .解：（1）由题设可得，弧 AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为2cos , 2sin , 2cos所以Mi的极坐标方程为 2cos 0M2的极坐标方程为42sin- 三，M3的极坐标方程为442cos 2 冗.4（2）设p（,）,由题设及（1）知若0 j则2cos 石，解得 ：；若 当则2sin 凡解得或立；4433若宁 /，则2cos 解得 ；综上，P的极坐标为瓜工或 旧工或 8,红 或 石,2 .633623.解:(1)由于(x 1) (y 1)
17、 (z 1)2222_(x 1) (y 1) (z 1)2(x 1)(y 1) (y 1)(z 1) (z 1)(x 1)_2223 (x 1) (y 1) (z 1),故由已知得(x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 4, 3当且仅当x=|, y ：, z 1时等号成立.333所以(x 1)2 (y 1)2 (z 1)2的最小值为4. 3(2)由于(x 2) (y 1) (z a)2(x 2)2 (y 1)2 (z a)2 2(x 2)( y 1) (y 1)(z a) (z a)(x 2)_ 2223 (x 2) (y 1) (z a),故由已知得(x 2)2 (y 1)2 (z a)2,当且仅当x y z胃时等号成立.333因此(x 2)2 (y 1)2 (z a)2的最小值为 丝齐2由题设知1 ,解得a3或a 1 .33