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1、平面直角坐标系中的伸缩变换【三维目标】知识与技能目标：引导学生探究得出平面直角坐标系中的伸缩变换，进一步理解坐标法；过程与方法目标：让学生经历从具体到一般，从直观到抽象的思维过程, 培养学生严谨的思维品质；情感、态度与价值观目标：在合作交流中学习，培养学生的交流能力及自主探究的意识.【教学重点】通过实例探究得出并运用平面直角坐标系中的伸缩变换【教学难点】求伸缩变换时，系数对应成比例【教学方法】探究式教学【教学手段】多媒体教学【教学过程】一、复习回顾（3 分钟）前面一节课我们学习了平面直角坐标系，通过直角坐标系， 平面上的点与坐标 （有序数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合；在必
2、修 4 模块中， 我们学习了三角函数图象的平移伸缩变换，你能说出怎样由正弦曲线ysinx 得到曲线 y=Asinwx (w>0 )吗？（活动：请学生回答）提示：1、 y=sinx纵坐标不变y=sinwx横坐标不变y=Asinwx1纵坐标变 A 倍横坐标变为 w2、 y=sinx横坐标不变y=Asinwx纵坐标不变1y=Asinwx纵坐标变 A 倍横坐标变为w今天，我们学习平面角坐标系中的伸缩变换二、新知探究1、 问题情境：（4 分钟）（ 1）怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=sin2x ？（ 2）怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y3sinx？（活动：学生一起回答）提示：（
3、1） y=sinx纵坐标不变横坐标变为12ysin2x ，如图：（多媒体展示）1（ 2）ysinx横坐标不变y=3sinx ，如图：（多媒体展示）纵坐标变为3 倍2、思考：（6 分钟）从平面直角坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持纵坐标y 不变，横坐标 x 变1y 变为原来的 3 倍” 的实质是什么？ ( 活动：让学生为原来的 2” “横坐标不变，纵坐标分组讨论探究，分组回答)提示： y=sinxy=sin2x点 p(x,y) 点 p (x ,y )“保持纵坐标 y 不变，横坐标x 变为原来的x1 x2y y12 ” , 将其变成符号语言得：我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换.
4、类比前面过程，你能写出问题所对应的坐标变换公式吗？提示： y=sinxy=3sinx点 p(x, y) 点 p (x ,y )“横坐标不变，纵坐标y 变为原来的 3 倍”，将其变成符号语言得：xxy3y我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.3、提出问题 :（3 分钟）怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=3sin2x ？（活动：请学生回答）实际上，这是上述问题（1）（ 2）的“合成” ，如图：（多媒体展示）纵坐标不变横坐标不变y=3sin2xy=sinxy=sin2x横坐标变为 1/2纵坐标变为 3 倍点 p(x,y) 点 p (x ，y )2x1 x它的坐标对应关系式为：2y
5、3y我们把式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。4、探究： 结合前面研究过的问题，由具体到一般，你能得出些什么？（ 4 分钟）（提示： y=sinxy=Asinwx ）（活动：请多名同学答）把大家所说的概括起来，就得到平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义：定义：设点 p(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换:xx,(0)yy,(0)注意： 1、 >0, >0；的作用下，点 p(x,y)对应到点 p (x ,y )，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 .（黑板板书且多媒体展示）上述式都是坐标伸缩变换，在它们的作用下， 可以实现平面图形的伸缩， 因此，平面图形的
6、伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示. （注意坐标法思想的渗透） .三、应用示例（7 分钟）例 1：在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形（ 1） 2x+3y =0（ 2） x2+y2=1分析：方程 2+3 =0 是一条直线， x2+y2=1 是一个圆， 它经过伸缩变换后图形怎样？直线？xy首先，我们不妨求它们的方程 .（解答如下， 多媒体逐步展示）x2 xx1 x .解：2由伸缩变换得(1)y3 y1 y .y3将其代入2x 3y，得到经过伸缩0变换后的图形方程是xy0.因此，经过伸缩变换x2x 后，直线y3y2 x 3 y 0变成直线（如右图）x y 0.3x1 x .
7、（ ）将2代入x2y21，21 y .y3得到经过伸缩变换后的图形的方程是 x 2y 21.49x2x 后，因此，经过伸缩变换y3y圆x2y2变成椭圆x 2y 2（如右图）1491.方法归纳：代入法（多媒体标注）注： 教学时，要让学生注意“数”与“形”的对应关系，初步体会利用代数运算研究几何图形变换和性质的方法；与用方程表示图形一样，用坐标伸缩变换可以表示图形的伸缩变换，展现了坐标法思想。四、拓展提升（6 分钟）1、在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x ,3x曲线 C 变为曲线x 2+9y 2= 9，求曲线C 的方程；yy2、在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：直线 x-2
8、y=2 变成 2x-y=4.（活动：请两名学生上黑板做，然后对其进行评析，再用多媒体展示参考答案）解： 以 x3x，代入x29 y29(1)yy得到( 3x ) 29 y 29化简得到x 2y 21这就是曲线C的方程 .( 2)设伸缩变换为xx(0)，代入 2 x y4yy (0)得到2 xy4，将其与 x2y即2x4y比较，24得到1，4 ;注意：系数对应成比例故所求伸缩变换为xx.y4 y点评： 第一小题同样是用代入法，将伸缩变换代入变换后的方程，可得原方程；第二小题已知了变换前后的方程，要求伸缩变换， 应该先设伸缩变换; 让学生进一步尝试与体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法.五
9、、随堂练习（4 分钟）1、在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：曲线 x2- y2-2 x= 0变成曲线（用多媒体展示参考答案）x2-16 y 2-4 x = 0.4解：设伸缩变换为xx(0)，代入22，yy (0)x16 y4 x 0得216(y)2x0( x)4即2 x216 2 y 24 x 0将其与 x2y22 x0比较注意：得到2，1;1 、 >0 , >0 ；22 、形式统一，系数对应成比例.x2 x故所求伸缩变换为y1 .y2六、课堂小结（用多媒体展示）（2 分钟）1、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换:2、 >0 >0；形式统一，系数对应成比
10、例；,3、代入法、坐标法思想,学会利用代数运算研究几何图形变换和性质的方法.七、课后思考（用多媒体展示）（1 分钟）由例 1 我们知道，在伸缩变换下，直线变为直线，圆可以变成椭圆；那么，在伸缩变换下，椭圆可能变成什么？双曲线呢？抛物线呢？【板书设计】平面直角坐标系中的伸缩变换定义：拓展提升拓展提升设点 p(x,y) 是平面直角坐标（ 1）学生解答过程（2）学生解答过程系中的任意一点，在变换的 作 用 下 ， 点p(x,y) 对 应 到 点 p (x ,y )，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.方法归纳： 代入法【教学反思】学生在函数（特别是三角函数）的学习中，对函数图像的伸缩变换有了一定的了解，在平面几何的学习中也接触过图形变换. 但两者之间的联系没有建立起来，特别是他们还不知道用代数方法表示图形伸缩变换的方法. 本节课使学生在已有认知的基础上，明确在平面直角坐标系中 ，可以用坐标伸缩变换研究平面图形的伸缩变化， 使学生进一步理解了坐标法思想和代入法思想 . 从上课情况来看， 求坐标伸缩变换时， 形式要统一， 系数要对应成比例是难点，应加强课后练习及辅导 .56