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1、优秀学习资料欢迎下载§7. 直线和圆的方程知识要点一、直线方程 .1. 直线的倾斜角： 一条直线向上的方向与 x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与 x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0180(0) .注：当90 或 x2 x1 时，直线 l 垂直于 x 轴，它的斜率不存在 .每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与 x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点 ( a,0), (0, b) ，即直线在 x 轴， y
2、 轴上的截距分别为a, b(a0, b0) 时，直线方程是： xy1 .ab注：若 y2y22 ，但若 y22(x 0) 则不x 2 是一直线的方程，则这条直线的方程是xx333是这条线 .附：直线系：对于直线的斜截式方程y kx b ，当 k,b 均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果 k, b 变化时， 对应的直线也会变化.当 b 为定植， k 变化时， 它们表示过定点 （0， b ）的直线束 .当 k为定值， b 变化时，它们表示一组平行直线.3. 两条直线平行：l 1 l 2 k1k 2 两条直线平行的条件是：l 1 和 l 2 是两条不重合的直线. 在 l 1 和 l 2的斜率
3、都存在的前提下得到的 .因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提 ”都会导致结论的错误 .（一般的结论是： 对于两条直线 l 1 ,l 2 ，它们在 y 轴上的纵截距是 b1,b 2 ，则 l 1 l 2k1k 2，且 b1 b 2 或l 1,l 2 的斜率均不存在，即 A1 B 2 B1A 2 是平行的必要不充分条件，且C1C 2 ）推论：如果两条直线 l 1,l 2 的倾斜角为1,2 则 l 1 l 212 .两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线l 1 和 l 2 的斜率分别为 k1 和 k 2 ，则有 l 1 l 2k1k 21 这里的前提是 l 1,l2 的斜率都存在 .
4、l 1 l 2k1 0，且 l 2 的斜率不存在或k 20 ，且 l 1 的斜率不存在 . （即A1B2A2 B1 0 是垂直的充要条件）4. 直线的交角：直线 l 1 到 l 2 的角（方向角） ；直线l 1 到 l 2 的角，是指直线l 1 绕交点依逆时针方向旋转到与l2 重合时所转动的角，它的范围是 (0, ) ，当90时 tank 2k 1 .1k 1k 2两条相交直线 l 1 与 l 2 的夹角：两条相交直线l 1 与 l 2 的夹角，是指由 l 1 与 l 2 相交所成的四个角中最小的正角 ，又称为 l 1 和 l 2 所成的角，它的取值范围是0,，当k2 k 1.90 ，则有 t
5、an21k 1k 25. 过两直线l 1:A 1 x B 1 y C10 的交点的直线系方程A1 xB1 y C1 ( A2 x B 2 yC 2)0( 为参l 2 :A 2 x B 2 y C 20数， A2 xB2 y C 2 0 不包括在内）6. 点到直线的距离：优秀学习资料欢迎下载 点 到 直 线 的 距 离 公 式 ： 设 点 P(x 0 , y0 ) ， 直 线 l : AxBy C 0, P 到 l的 距 离 为 d ， 则 有Ax 0 By 0Cd.A2 B2两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l 1:Ax By C10,:Ax By C 20(C 1C 2) ，它们之l 2
6、C 1C 2间的距离为 d ，则有 d.A2B27. 关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点.注：曲线、 直线关于一直线 （ yxb ）对称的解法： y 换 x，x 换 y. 例：曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x2对称曲线方程是f
7、(y+2 ,x 2)=0.曲线 C: f(x ,y)=0 关于点 (a ,b)的对称曲线方程是f(a x, 2b y)=0.二、圆的方程 .1. 曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的 与一个二元方程 f (x, y) 0 的实数建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M ( x, y) 其坐标与方程f (x, y)0 的一种关系，曲线上任一点 ( x, y) 是方程 f (x, y)0 的解；反过来，满足方程f ( x, y)0 的解所对
8、应的点是曲线上的点 .注：如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0 ，那么点 P0(x 0 ,y) 线 C 上的充要条件是 f(x 0 ,y0)=02.圆的标准方程：以点C( a, b) 为圆心， r 为半径的圆的标准方程是(xa) 2( y b) 2 r 2 .特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是： x 2y 2 r 2 .注：特殊圆的方程：与x轴相切的圆方程 (xa) 2( yb) 2b 2rb ,圆心 (a, b)或( a, b)与 y 轴相切的圆方程 ( x a) 2( yb) 2 a2 ra ,圆心 ( a, b)或 ( a, b )与 轴y轴都相切的圆方程(x a)2(y
9、 a)2a2ra, 圆心 ( a, a)x3.圆的一般方程： x2y 2 DxEyF 0 .当D2E240 时，方程表示一个圆，其中圆心DED2 E2 4FC,，半径r.F222当22DEDE40 时，方程表示一个点,.F22优秀学习资料欢迎下载当D2E240时，方程无图形（称虚圆） .Fxar cos为参数） .注：圆的参数方程：b（yr sin方程 Ax 2BxyCy 2DxEy F0 表示圆的充要条件是：B0 且 AC0且 D2 E2 4AF 0.圆的直径或方程：已知 A(x1 ,y1 )B(x 2 , y2 ) ( xx1 )( xx 2 )( yy1)( yy2 )0 （用向量可征）
10、 .4. 点和圆的位置关系：给定点M (x0 , y0 ) 及圆 C : (xa) 2( yb) 2r 2 .M 在圆C内(xM 在圆C上（ xM 在圆C外(x0a) 2( y 0b)0a) 2( y0b)0a) 2( y 0b)2 r 22 r 22 r 25. 直线和圆的位置关系：设圆圆 C ： (x a) 2 ( yb) 2r 2 (r0) ；直线 l ： AxByC 0(A2 B20) ；圆心 C( a, b) 到直线 l 的距离 dAaBb CA2 B2. d r 时， l 与 C 相切；x 2y2 D 1x E1 y F 10相减为公切线方程 .附：若两圆相切，则x 2 y2 D
11、2 x E 2 y F 2 0 d r 时， l 与 C 相交；附：公共弦方程：设 C 1: x 2y 2D 1x E1 y F 10C 2 :x2y 2 D 2 x E 2 y F 2 0有两个交点，则其公共弦方程为( D1 D 2 ) x (E1E 2 ) y (F 1F 2)0 . d r 时， l 与 C 相离 .x 2y2 D 1x E1 y F 10相减为圆心 O1 O2 的连线的中与线方程 .附：若两圆相离，则x 2 y2 D 2 x E 2 y F 2 0由代数特征判断：方程组(x a) 2 ( y b)2r2x （或 y ）的一元二次方程，其判Ax BxC 0用代入法，得关于
12、别式为，则：0 l 与 C 相切；0 l 与 C 相交；0 l 与 C 相离 .注：若两圆为同心圆则x 2y 2 D 1 x E 1y F 1 0 ， x 2 y 2D 2 xE 2 y F 2 0 相减，不表示直线 .6. 圆的切线方程：圆x2y 2 r 2 的斜率为 k 的切线方程是 ykx1 k 2 r 过圆 x 2 y 2 Dx Ey F 0优秀学习资料欢迎下载上一点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为： x 0 xy 0 yD x x0E yy0F 0 .22一般方程若点 (x0 ,y0)在圆上，则 (x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)= R2 . 特别地，过圆 x2y 2r 2 上一点P( x0 ,y0 ) 的切线方程为 x 0 x y 0 y r 2 .Ay1 y0 k(x1x0 )若点 ( x0 ,y0)不在圆上，圆心为 (a,b)则by1 k( a x1)，联立求出 k切线方程 .BCR2D (a,b)R17. 求切点弦方程： 方法是构造图， 则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图： ABCD 四类共圆 . 已知 O 的方程 x2y 2 Dx EyF0 又以 ABCD 为圆为方程为 ( xx A )( x a)(y y A )( xb)k 2 R2 (x Aa) 2 ( y Ab) 2 ，所以 BC 的方程即代，相切即为所求.4