2019年全国统一高考数学试卷文科Ⅰ.docx

《2019年全国统一高考数学试卷文科Ⅰ.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年全国统一高考数学试卷文科Ⅰ.docx（24页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）题号一二三总分得分12 小题，共60.0 分）1. 设 z= ，则|z|=（）A. 2B.C.D. 12. 已知集合U=1 ， 2，3，4，5，6，7， A=2， 3，4，5， B=2 ，3，6， 7， 则B ?UA=（）6，A.B.C.D.3. 已知a=log20.2， b=20.2， c=0.20.3，则（）A.B.C.D.4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（ 0.61，称为黄金分割比例8），著名的“断臂维纳斯 ”便是如此此外， 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄

2、金分割比例，且腿长为105cm， 头顶至脖子下端的长度为26 cm， 则其身高可能是（）A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190 cm5. 函数 f（x）= 在 - ， 的图象大致为（）第 8 页，共 18 页6. 某学校为了解1000 名新生的身体素质，将这些学生编号1 ， 2， ， 1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100 名学生进行体质测验若46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是（）A. 8 号学生B. 200 号学生C. 616 号学生D. 815 号学生7.8.9.tan255 =°（）A.B.C.已知非零向量满足 | |=2

3、| |，且（- ） ，则A. B.C.如图是求的程序框图，图中空白框中应填入A.B.C.D.D.与 的夹角为（）10. 双曲线C：- =1（ a> 0， b> 0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则 C 的离心率为（）A.B.C.D.11. ABC 的内角A， B， C 的对边分别为a， b， c， 已知 asinA-bsinB=4csinC， cosA=- ，则=（）A. 6B. 5C. 4D. 312. 已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A， B 两点 .若，则C 的方程为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13. 曲线y 3

4、（ x2 x） ex在点（0， 0）处的切线方程为14. 记 Sn为等比数列an的前n项和，若a1=1， S3= ，则S4=15. 函数f（ x） =sin（ 2x+ ） -3cosx的最小值为16. 已知 ACB=90°， P 为平面 ABC 外一点，PC=2，点P到 ACB 两边AC， BC 的距离均为 ，那么 P 到平面 ABC 的距离为17.18.19.7 小题，共82.0 分）满意不满意男顾客4010女顾客3020某商场为提高服务质量，随机调查了50 名男顾客和50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：1）分别估计男、女顾客对该商场服务满

5、意的概率；2）能否有95% 把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：2P（ K2 k）0 0500.0100.001k3.8416.63510.828记 Sn为等差数列an的前n项和，已知S9= a5（ 1）若a3=4，求 an 的通项公式；（ 2）若a1>0，求使得Sn an n 的取值范围如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4， AB=2， BAD=60°， E， M， N 分别是 BC， BB1， A1D 的中点（ 1）证明：MN 平面C1DE；（ 2）求点C 到平面 C1DE 的距离20. 已知函数f（ x） =2sinx-xcosx

6、-x， f（ x）为f（ x）的导数（ 1）证明：f（ x）在区间（0， ）存在唯一零点；（ 2）若x 0， 时，f（ x） ax，求a的取值范围21. 已知点 A， B 关于坐标原点O 对称， |AB|=4， M 过点 A， B 且与直线x+2=0 相切（ 1）若A 在直线 x+y=0 上，求 M 的半径；（ 2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA |-|MP |为定值？并说明理由22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（ t为参数）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2 cos + sin +11=0（ 1）求 C 和 l 的直角坐

7、标方程；（ 2）求C 上的点到l 距离的最小值23. 已知a, b, c为正数，且满足 abc=1.证明: (1) -+-+-<a2+b2+c2;(2) ( a+b) 3+ (b+c) 3+ (c+a) 3> 24第#页，共18页答案和解析1 .【答案】C解：由 z= ，得 |z|=|第 13 页，共 18 页故 选 ： C直接利用复数商的模等于模的商求解本 题 考 查 复数模的求法，考查 数学 转 化思想方法，是基础题 2 .【答案】C【解析】解： U=1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， A=2， 3， 4， 5， B=2， 3， 6， 7， CUA=1 ， 6， 7，则

8、B ?UA=6 ， 7故 选 ： C先求出CUA，然后再求B?UA即可求解本 题 主要考 查 集合的交集与补 集的求解，属于基础试题 3 .【答案】B【解析】【分析】本 题 考 查 了指数函数和对 数函数的 单调 性，增函数和减函数的定义 ，属基 础题由指数函数和对 数函数的 单调 性易得log20.2<0， 20.2>1， 0< 0.20.3< 1，从而得出a， b， c的大小关系【解答】解：a=log20.2< log21=0，b=20.2> 20=1 ， 0< 0.20.3< 0.20=1， c=0.20.3 （ 0， 1）， a<

9、c< b，故 选 B4 .【答案】B【解析】【分析】本 题 考 查简单 的推理和估算，考查 运算能力和推理能力，属于中档题 充分运用黄金分割比例，结 合 图 形， 计 算可估 计 身高【解答】解： 头顶 至脖子下端的长 度 为 26cm，说 明 头顶 到咽喉的 长 度小于26cm，由 头顶 至咽喉的 长 度与咽喉至肚脐 的 长 度之比是 0.61，8可得咽喉至肚脐 的 长 度小于 42cm，由 头顶 至肚 脐 的 长 度与肚 脐 至足底的 长 度之比是，可得肚 脐 至足底的 长 度小于=110，即有 该 人的身高小于110+68=178cm，又肚脐至足底的 长度大于 105cm，可得头顶

10、 至肚 脐 的长度大于 105×0.618 65c， m即 该 人的身高大于65+105=170cm，故 选 B5 .【答案】D【解析】【分析】本 题 考 查 了函数的 图 象与性 质 ，解 题 关 键 是奇偶性和特殊值 ，属基 础题 由 f（ x）的解析式知f（ x） 为 奇函数可排除A，然后计 算 f（ ），判断正负 即可排除 B， C【解答】解： f（ x） =， x - ， ， f（ -x） =-=-f（ x）， f（ x） 为 - ， 上的奇函数，因此排除A；又f() =，因此排除B， C.故 选D6 .【答案】C【解析】解： 从 1000名学生从中抽取一个容量为 100的

11、 样 本， 系 统 抽 样 的分段 间 隔 为=10， 46 号学生被抽到，则 根据系 统 抽 样 的性 质 可知，第一组 随机抽取一个号码为6，以后每个号码 都比前一个号码 增加 10，所有号 码 数是以 6 为 首 项 ，以 10 为 公差的等差数列，设 其数列 为 an， 则 an=6+10( n-1) =10n-4，当 n=62时 ， a62=616，即在第62组 抽到616故 选 ： C根据系 统 抽 样 的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为 100的 样 本，抽 样的分段 间 隔 为10， 结 合从第 4 组 抽取的号 码为46，可得第一组 用 简单 随机抽样 抽取的号 码

12、本 题 考 查 了系 统 抽 样 方法，关 键 是求得系 统 抽 样 的分段 间 隔7 .【答案】D【解析】解：tan255 ° =tan( 180° +75°) =tan75°=tan( 45° +30°)=故 选 ： D利用 诱导 公式 变 形，再由两角和的正切求解本 题 考 查 三角函数的取值 ，考 查诱导 公式与两角和的正切，是基础题 8 .【答案】B【解析】【分析】本 题 考 查 了平面向量的数量积 和向量的 夹 角，属基 础题 由（ - ） ，可得， 进 一步得到，然后求出 夹 角即可【解答】解： （- ） ，=，故 选

13、B9 .【答案】A【解析】【分析】本 题 考 查 了程序框 图 的 应 用 问题 ，解 题时应 模 拟 程序框 图 的运行 过 程，以便得出正确的结论 ，是基 础题 模 拟 程序的运行，由题 意，依次写出每次得到的A 的 值 ， 观 察 规 律即可得解【解答】解：模 拟 程序的运行，可得：A= ， k=1 ；满 足条件k2 ， 执 行循 环 体， A= ， k=2；满 足条件k2 ， 执 行循 环 体， A= ， k=3；此 时 ，不 满 足条件k2 ，退出循 环 ， 输 出 A 的 值为，观 察 A 的取 值规 律可知 图 中空白框中应 填入 A= 故 选 A10.【答案】D解：双曲 线C：

14、- =1a> 0， b> 0）的渐 近 线 方程 为 y= ，线 的一条 渐 近 线 的 倾 斜角 为 130°，得，则=，=e= 故 选 ： D由已知求得，化 为 弦函数，然后两边 平方即可求得C 的离心率本 题 考 查 双曲 线 的 简单 性 质 ，考 查 同角三角函数基本关系式的应 用，是基 础 题11 .【答案】A【解析】解： ABC 的内角A， B， C的 对边 分 别为a， b， c，asinA-bsinB=4csinC， cosA=- ，解得3c2=，=6故 选 ： A利用正弦定理和余弦定理列出方程组 ，能求出 结 果本 题 考 查 了正弦定理、余弦定理、三

15、角函数性质 ，考 查 了推理能力与计 算能力，属于中档题 12 .【答案】B【解析】【分析】本 题 考 查 了 椭圆 的性 质 ，属中档 题 根据 椭圆 的定 义 以及余弦定理列方程可 解得 a= ， b= ，可得 椭圆 的方程第 14 页，共 18 页【解答】解：AF2|二2|BF2|,|AB|二3|BF2|,又|AB|=|BF|,BFi|二3|BF2l,又|BF1|+|BF引=2a,|BF2|二；,. |AF2|=a, |BF1|= - a,则|AF引|=a,所以A为椭圆短轴端点,在 RtMFz。中，C0S/AF2。，在包尸干？中，由余弦定理可得cosZBF2F1_1 _oj根据 cosZ

16、AF2O+cosZBF2F1=0,可得+ =0,解得a =3, .'3=3 .b2=a2-c2=3-1=2.所以椭圆C的方程为：不+1=1. 32故选B.13 .【答案】y=3x【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题关键，属基础题.对片3 1+x)eX求导，可将x=0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程. 【解答】解：，y=3 2+x)ex,. y'=3 gx+1)ex+3 2+x)e(<=3ex 2+3x+1),.,当 x=0 时，y-3,. y=3 K+x)eX在点Q, 0)处的切线斜率k=3,.切线方程为:y=3x.

17、故答案为:y=3x.14 .【答案】【解析】解： 等比数列an的前 n 项 和，a1=1， S3= ， q1 ，= ，整理可得，解可得， q=- ，故答案 为 ：利用等比数列的通项 公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数列的求和公式即可求解本 题 主要考 查 了等差数列的通项 公式及求和公式的简单应 用，属于基础试题15 .【答案】 -4【解析】解： f（ x） =sin（ 2x+） -3cosx，=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1，令t=cosx， 则 -1 t1， f（ t） =-2t2-3t+1 的开口向上，对 称 轴 t= ，在 -1 ， 1上先增后

18、减，故当 t=1 即 cosx=1 时 ，函数有最小值 -4故答案 为 ： -4线 利用 诱导 公式，二倍角公式对 已知函数 进 行化 简 ，然后 结 合二次函数的单调 性即可去求解最小值本 题 主要考 查 了 诱导 公式，二倍角的余弦公式在三角好按时 化 简 求 值 中的 应用及利用余弦函数，二次函数的性质 求解最 值 的 应 用，属于基础试题16 .【答案】【解析】解： ACB=9°0 ， P 为 平面 ABC 外一点，PC=2，点P到 ACB 两 边 AC，BC的距离均为 ，过 点 P作 PD AC，交AC于 D，作PE BC，交BC于 E， 过 P作 PO 平面ABC，交平面

19、ABC于O，连结 OD， OC， 则 PD=PE= ， CD=CE=OD=OE=1 ， PO= P 到平面ABC 的距离 为 故答案 为 ：过 点P作PDAC，交AC 于 D，作PEBC，交BC于E，过P作PO平面 ABC，交平面 ABC 于 O， 连结OD， OC， 则 PD=PE= ，从而 CD=CE=OD=OE=1 ，由此能求出P 到平面ABC 的距离本 题 考 查 点到平面的距离的求法，考查 空 间 中 线线 、 线 面、面面 间 的位置关系等基 础 知 识 ，考 查 推理能力与计 算能力，属于中档题 17 .【答案】解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率女顾客对该商场

20、服务满意的概率P= = ；（ 2）由题意可知，K2= 4.762> 3.841 ，故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异【解析】1）由 题 中数据， 结 合等可能事件的概率求解；3.841 进2）代入计 算公式： K2=行比 较 即可判断本 题 主要考 查 了等可能事件的概率求解及独立性检验 的基本思想的应 用，属 于基 础试题 18 .【答案】解：（1）根据题意，等差数列 an中，设其公差为d，若S9=- a5，则S9=9a5=-a5，变形可得a5=0，即a1+4d=0，若a3=4，则d= =-2，则an=a3+（ n-3） d=-2n+10，（ 2）若Sn an，则

21、na1+d a1+（ n-1 ） d，当 n=1 时，不等式成立，当n2 时，有 d-a1，变形可得（n-2） d -2a1，由（ 1）可知 a1+4d=0，则有（n-2） -2a1，又由a1> 0，则有n 10，则有2 n 10，综合可得：1 n 10 n N【解析】本 题 考 查 等差数列的性质 以及等差数列的前n 项 和公式，涉及数列与不等式综 合 应 用，属于基础题 （ 1）根据 题 意，等差数列an中，设 其公差 为 d，由S9=-a5，即可得S9=9a5=-a5， 变 形可得a5=0， 结 合 a3=4， 计 算可得 d 的 值 ， 结 合等差数列的通 项 公式 计 算可得答

22、案；（ 2）若Sna n，则 na1+da1+（ n-1） d，分 n=1 与 n2两种情况 讨论 ，求出n 的取 值 范 围 ， 综 合即可得答案19 .【答案】证明：（1） 直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4， AB=2， BAD =60 °， E， M， N分别是BC， BB1， A1D 的中点 DD 1平面ABCD， DEAD，以 D 为原点，DA为 x轴，DE 为 y轴， DD1为z 轴，建立空间直角坐标系，M （ 1，2）， N（ 1，0， 2）， D（ 0，0，0）， E（0， 0）， C1（ -1， 4），=（ 0， - ， 0） ，=（ -

23、1 ， ） ，=（ 0，），设平面C1DE 的法向量=（ x， y， z），则，取 z=1 ，得=（ 4， 0， 1），? =0， MN ? 平面 C1DE， MN 平面 C1DE解：（2）C（-1 ，0），=（-1 ，0），平面C1DE 的法向量=（ 4， 0， 1）， 点 C 到平面C1DE 的距离：d= =【解析】（ 1）以 D为 原点， DA 为 x轴 ， DE 为 y轴 ， DD1为 z轴 ，建立空 间 直角坐 标 系，利用向量法能证 明 MN 平面C1DE（ 2）求出=（-1，0），平面C1DE 的法向量=（4，0，1），利用向量法能求出点C 到平面C1DE 的距离本 题 考 查线

24、 面平行的 证 明，考 查 点到平面的距离的求法，考查 空 间 中 线线 、线 面、面面 间 的位置关系等基础 知 识 ，考 查 推理能力与计 算能力，属于中档20.【答案】解： （ 1 ） 证明： f（ x） =2sinx-xcosx-x， f（ x） =2cosx-cosx+xsinx-1=cosx+xsinx-1 ，令g（ x） =cosx+xsinx-1 ，则g（ x） =-sin x+sin x+xcosx=xcosx，当x （ 0，）时，xcosx> 0，当x， 时，xcosx< 0， 当 x= 时，极大值为g（） =< 0，又g（0）=0，g（ ）=-2， g（

25、 x）在（0， ）上有唯一零点，即f（ x）在（0， ）上有唯一零点；（2）由（1）知， f（x）在（0， ）上有唯一零点x0，使得f（ x0） =0，且f（ x）在（0， x0）为正，在（x0， ）为负， f（ x）在 0， x0递增，在x0， 递减，结合f（ 0） =0， f（ ） =0，可知f（ x）在 0， 上非负，令h（ x） =ax，作出图示， f（ x） h（ x），a0 （ 1）令g（x）=f （x），对g（x）再求导 ，研究其在（0， ）上的 单调 性， 结 合极 值 点和端点 值 不 难证 明；（2）利用（1）的 结论 ，可 设 f （x）的零点为x0，并结 合 f （x）

26、的正负 分析得到f（x）的情况，作出图 示，得出 结论 此 题 考 查 了利用 导 数研究函数的单调 性，零点等问题 ，和数形 结 合的思想方法， 难 度 较 大21.【答案】解： M 故点A， B 且 A在直线 x+y=0上， 点 M 在线段 AB 的中垂线x-y=0 上，设 M 的方程为：（x-a） 2+（ y-a） 2 =R2（ R> 0），则圆心 M （ a， a）到直线x+y=0 的距离 d= ，又 |AB|=4， 在Rt OMB 中，d2+（|AB|） 2=R2，即又 M 与 x=-2 相切， |a+2|=R由 解得或， M 的半径为2 或 6；（ 2） 线段为 M 的一条弦

27、， 圆心 M 在线段 AB 的中垂线上，设点 M 的坐标为（x， y），则|OM |2+|OA|2=|MA|2， M 与直线 x+2=0 相切， |MA|=|x+2|， |x+2|2=|OM |2+|OA|2=x2+y2+4， y2=4x， M 的轨迹是以F （ 1 ， 0）为焦点x=-1 为准线的抛物线， |MA|-|MP|=|x+2|-|MP |=|x+1|-|MP|+1=|MF|-|MP|+1， 当 |MA|-|MP|为定值时，则点P 与点 F 重合，即P 的坐标为（1， 0）， 存在定点P（ 1， 0）使得当A运动时，|MA|-|MP |为定值【解析】（ 1）由条件知点M 在 线 段

28、AB 的中垂 线 x-y=0 上， 设圆 的方程 为 M 的方程 为（ x-a） 2+（ y-a） 2=R2（ R> 0），然后根据圆 与直 线 x+2=0 相切和 圆 心到直 线x+y=0 的距离，半弦长 和半径的关系建立方程组 即可；（ 2） 设 M 的坐 标为 （ x， y），然后根据条件的到圆 心 M 的 轨 迹方程 为y2=4x，然后根据抛物线 的定 义 即可得到定点本 题 考 查 了直 线 与 圆 的关系和抛物线 的定 义 ，考 查 了待定系数法和曲线轨 迹方程的求法，属难题 22.【答案】解：（1）由（ t为参数），得，两式平方相加，得（ x -1），（ C 的直角坐标方程

29、为（ x -1 ），由 2 cos+ sin +11，得 =0即直线 l 的直角坐标方程为得；（ 2）设与直线平行的直线方程为，联立，得16x2+4mx+m2-12=0 由 =16m2-64（ m2-12） =0，得m=± 4（ 当 m=4 时， 直线与曲线 C 的切点到直线的距离最小，即为直线与直线之间的距离，为：【解析】本 题 考 查简单 曲 线 的极坐 标 方程，考 查 参数方程化普通方程，考查 直 线 与 椭圆 位置关系的应 用， 训练 了两平行 线间 的距离公式的应 用，是中档题 （ 1）把曲 线 C 的参数方程变 形，平方相加可得普通方程，把x= cos， y= sin

30、代入2 cos+ sin +11，可得直=0线 l 的直角坐标 方程；（ 2）写出与直线 l 平行的直 线 方程 为，与曲 线 C 联 立，化 为 关（ x 的一元二次方程，利用判别 式大于 0 求得m， 转 化 为 两平行 线间 的距离求C 上的点到l 距离的最小值 23.【答案】证明：（1）分析法：已知a， b， c为正数，且满足abc=1 要证（1）+ + a2+ b2 +c2；因为abc=1 就要证：+ a2+ b2+c2；第 24 页，共 18 页222即证：bcac+ab +b +c ;即：2bc+2ac+2ab<2+2b2+2c2；2222a +2b +2c -2bc-2a

31、c-2ab>0non(a-b)，(a-c) + (b-c) 刊-a, b, c为正数，且满足 abc=1.(a-b) 2>0, ( a-c) ( b-c) 2Ao恒成立；当且仅当： a=b=c=1 时取等号.即(a-b) 2+ (a-c) 2+ (b-c)之“得证.故-+-+ - /+ b2 + Q 得证.(2)证(a+b) 3+ (b+c) 3+ (c+a)钺立；即：已知a, b, c为正数，且满足 abc=1.(a+b)为正数；(b+c)为正数；(c+a)为正数；333(a+b) + (tH-c) + (c+a) >3 (a+b) ? (b+c) ? (c+a);当且仅当

32、(a+b) = (b+c) = (c+a)时取等号；即：a=b=c=1时取等号；-a, b, c为正数，且满足 abc=1.(a+b) >2 ； ( b+c) >2 ; ( c+a) >2 一;当且仅当a=b, b=c; c=a时取等号；即：a=b=c=1时取等号； 333 (a+b) + (tH-c) + ( c+a) >3(a+b) ?(b+c) ? (c+a) >3X8 ?=24abc=24;当且仅当a=b=c=1时取等号；故(a+b) 3+ ( b+c) 3+ (c+a) >24 得证.故得证.【解析】Q)利用基本不等式和1的运用可证，4)分析法和综合法的证明方法可证.本题考查重要不等式和基本不等式的运用，分析法和 综合法的证明方法.第18页，共18页