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1、高中数学：活学活用正余弦定理正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形形状的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、 角关系转化为单一角的关系或边的关系 在高考中主要有以下几个命题热点：一、求斜三角形中的有关元素例 1、（ 07 年全国文）设锐角三角形ABC 的内角 A 、 B、 C 的对边分别为a、 b、 c ，且 a2bsinA求角 B 的大小若 a3 3, c5求边 b解：由正弦定理得a2R sin A,b2R sin B(R 为ABC 外接圆半径 )，代入 a2b sin A 得 sin A2 sin B sin A sin A0 sin B12由ABC 为锐角三角形得B300（ 2）
2、根据余弦定理得：b 2a2c 22ac cos B(33)2522 335 cos3002725457所以 b7二、判断三角形的形状例 2 ：（ 05 年北京）在ABC 中，已知2 sin Acos Bsin C ，则 ABC 一定是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C.等腰直角三角形D. 正三角形解：在ABC 中，由 C( AB)得 s i nCs i nA( B)由条件得 2sin Acos B sin( AB)即2 sin Acos Bsin A cos Bcos Asin B sin A cos Bcos Asin B0 sin( AB)0 A BAB0AB则 ABC 为等腰三角形，
3、故选（ B）三、解决与面积有关的问题例 3 、（ 99 年上海）在ABC 中，若 B300 , AB23,AC 2 则ABC 的面积是解：由正弦定理得2233:0sin C即 sin Csin 302ABAC C600 或1200当 C600 时， A900 ，则S ABC1 ACABsin A12 23 sin 9002322当 C1200 时， A300，则S ABC1 AC AB sin A12 2 3 sin 300322故SABC23或 3四、 三角形中恒等式证明例 4、 (00年全国) 在ABC 中，求证 ： a2b 2sin( AB)c2sin C证明 :由余弦定理得 : a 2
4、b 2c22bc cos A ， b2a 2c22ac cos B a 2b 2b 2a22bc cos A 2ac cos B则 2(a 2b2 )2ac cosB2bccos A整理得a 2b 2a cos Bb cos Ac2c由正弦定理得a2R sin A, b2R sin B, c 2R sin C （ R为ABC 外接圆半径）代入右边得：a 2b 2sinAcosB sinBcosAsin （ AB）c2sinCsinC故原题得证五、解决实际应用问题例 5：（ 07 年年山东 )如图，甲船以每小时 302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1 处时，乙
5、船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处，此时两船相距20 海里，当甲船航行 20分钟到达A2 处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的 B2 处，此时两船相距 102海里，问乙船每小时航行多少海里？北120A2B2105A1B1乙甲解：如图，连结A1 B2 ，由题知 A2 B210 2，北A1 A2 302202 ，A1 A2A2B2，120A21060B2又 A1 A2B2180 12060 ，105A1B1 A1 A2 B2 是等边三角形，A1B2A1 A2102 ，甲乙由已知 :AB20，BAB1056045，11112在 A1B2 B1 中，由余弦定理：B1 B22A1B12A1B222A1 B2 A1B2cos4520 2(102) 22201022200 2B1B210 2 因此，乙船的速度的大小为10260 30 2 （海里 /小时）20答：乙船每小时航行30 2 海里