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1、精品资料欢迎下载同角三角函数的基本关系【知识梳理】同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：同一个角 的正弦、余弦的平方和等于221.即 sin cos 1.sin (2) 商 数 关 系 ： 同 一 个 角 的 正 弦 、 余 弦 的 商 等 于 这 个 角 的 正 切 ， 即 cos tan_其中 k 2 k Z.【常考题型】题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值12【例1】(1)已知 sin 13，并且 是第二象限角，求 cos 和 tan .(2) 已知 cos 4，求 sin 和 tan .52212 2525 解(1)cos 1 sin 1 13 13，又 是第二象限角， 所以
2、 cos <0，cos 13，sin 125 .tan cos (2)sin2 1 cos2 1 4 232，554因为 cos 5<0 ，所以 是第二或第三象限角，当 是第二象限角时，3，tan sin 3sin 3，tansin ；当 是第三象限角时，55cos 4sin 3cos 4.【类题通法】已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1) 若已知 sin m，可以先应用公式cos ± 1 sin2，求得 cos 的值， 再由公式tan sin 求得 tan 的值cos (2) 若已知 cos m，可以先应用公式sin ±2，求得 sin 的值， 再由公式
3、tan 1cossin 求得 tan 的值cos 精品资料欢迎下载sin 22 1，求 m? sin mcos 及 sin cos(3) 若已知 tan m，可以应用公式 tan cos 1， sin ±m得 cos ±的值1 m21 m2【对点训练】已知 tan 4，且 是第三象限角，求sin ， cos 的值3解： 由 tan sin 4，得 sin 43cos ，cos 3又 sin2cos2 1，由得 16 22299 cos cos1，即 cos25.344又 是第三象限角，故cos 5，sin3cos 5.题型二、化切求值【例 2】已知 tan 3，求下列各式的
4、值(1) 4sin cos ； 3sin 5cos 22(2)sin 2sin·cos cos22；4cos 3sin 3212(3)4sin 2cos . 解4tan 14× 3111；(1) 原式3tan 53× 3514(2)tan2 2tan 192×3 12原式22；234 3tan 43×33sin21cos2 3tan2 14242(3) 原式sin2 cos2 tan2 13× 914229.9140【类题通法】化切求值的方法技巧精品资料欢迎下载(1) 已知 tan m，可以求asin bcos asin2bsin c
5、os ccos2或的值，将分子分母同csin dcos dsin2 esin cos fcos2除以 cos 或 cos2，化成关于tan 的式子，从而达到求值的目的(2) 对于 asin2bsin cos ccos2的求值， 可看成分母是1，利用 1 sin2cos2 进行代替后分子分母同时除以cos2，得到关于tan 的式子，从而可以求值【对点训练】已知 tan 2，求下列各式的值：2sin 3cos (1)；4sin 9cos (2)4sin 2 3sin cos 5cos2 .2sin 3cos 2tan 32× 23解： (1) 1.4sin 9cos 4tan 94
6、15; 29(2)4sin22 3sincos 5cos2cos 24sin 3sin5cos22，sin cos 这时分子和分母均为关于sin ， cos 的二次齐次式因为 cos2 0，所以分子和分母同除以cos2，则 4sin23sin cos 5cos2 4tan2 3tan 54× 43× 2 5 1.tan2 14 1题型三、化简三角函数式【例 3】化简 tan 11，其中 是第二象限角2sin 解因为 是第二象限角，所以sin >0， cos <0.故 tan 12 1 tan 1 sin2 2sinsin 2sin cos tan cos 2&#
7、183;sinsin cos sin cos ·cos sin 精品资料欢迎下载 1.【类题通法】三角函数式化简技巧(1) 化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的(2) 对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的(3) 对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2 cos2 1，以降低函数次数，达到化简的目的【对点训练】化简： (1)sin cos ；tan 1(2) sin2 sin4， 是第二象限角sin cos sin cos sin cos 解： (1)tan 1 sin cos . 1
8、sin cos cos cos (2) 由于 为第二象限角，所以sin >0， cos <0，242222故 sin sin sin1 sin sincos |sin cos | sin cos .题型四、证明简单的三角恒等式【例 4】求证： tan sin tan sin tan sin tan sin . 证明 法一： 右边tan2 sin2tan2 tan2 cos2tan sin tan sin tan sin tan sin 2222tan 1 cos tan sin tan sin 左边，tan sin tan sin tan sin tan sin tan sin 原
9、等式成立法二： 左边tan sin sin ，tan tan cos 1 cos 精品资料欢迎下载tan tan cos 1 cos 1 cos22右边tan sin sin sinsin ，sin 1 cos sin 1 cos 1 cos 左边右边，原等式成立【类题通法】简单的三角恒等式的证明思路(1) 从一边开始，证明它等于另一边；(2) 证明左、右两边等于同一个式子；(3) 逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简【对点训练】证明：1 2sin cos 1 tan 1 tan cos2 sin222cos sin cos 2sin证明： 左边cos sin cos sin sin cos
10、2cos sin cos sin cos sin cos sin cos 1 tan cos sin cos sin 1 tan cos 右边，原等式成立【练习反馈】3，则 cos 等于 ()1已知 ， ， sin 254B 4A. 5513C 7D. 5解析：选B32， 且 sin 5，23 24cos 1 sin 1 55.精品资料欢迎下载2若 为第三象限角，则cos 1 sin2A 3B 3C1D 1解析： 选 B为第三象限角，原式2sin 2 的值为()cos 2sin 3. cos sin 13已知 cos sin 2，则 sin cos 的值为 _解析：由已知得 (cos sin
11、)2 sin2 cos22sin cos 1 2sin cos 14，解得 sin cos38.答案： 382sin cos 的值为 _4若 tan 2，则 sin 2cos 2sin cos 解析： 原式cos 2tan 12×213sin 2cos tan 22 24.cos 答案： 3412sin 130 cos° 130 °5化简：2.sin 130 ° 1 sin 130 °sin2130 ° 2sin 130 cos° 130 °cos2130 °解： 原式sin 130 ° cos2130 °|sin 130 °cos 130 |°sin 130 °|cos 130 | °sin 130 °cos 130 °1.sin 130 °cos 130 °