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1、§ 3 5典型例题分析例 1、绷紧的肥皂薄膜有两个平行的边界，线 AB将薄膜分隔成两部分 ( 如图 3-5-1) 。为了演示液体的表面张力现象，刺破左边的膜，线 AB受到表面张力作用被AdB 薄膜拉紧，试求此时线的张力。两平行边之间的距离为d，图 3-5-1线 AB的长度为 l ( l d/2 ) ，肥皂液的表面张力系数为。解：刺破左边的膜以后，线会在右边膜的作用下形状相应发生变化( 两侧都有膜时，线的形状不确定 ) ，不难推测，在l d/2 的情况下，线会形成长度为1d / 2)x(l2的两条直线段和半径为 d/2 的半圆，如图 3-5-2 所示。线在 C、D两处的拉力及各处都垂直
2、于该弧线的表面张力的共同作用下处于平衡状态，显然ATCBTD图 3-5-22Tf i式中为在弧线上任取一小段所受的表面张力，f i 指各小段所受表面张力的合力，如图 3-5-2所示，在弧线上取对称的两小段，长度均为r ，与 x 轴的夹角均为方 ，显然f1 f 2 2r而这两个力的合力必定沿x 轴方向， ( 他们垂直 x 轴方向分力的合力为零 ) ，这样f1xf 2 x2 rcos所以f i 2 r cos4 r 2 d用心爱心专心因此Td说明对本题要注意薄膜有上下两层表面层，都会受到表面张力的作用。例 2、在水平放置的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似呈圆饼形状 ( 侧面
3、向外凸出 ) ，过圆盘轴线的竖直截面如图 3-5-3 所示。为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按 180o计算，已知水银密度13.610 3 kgm3 ，水银的表面张力系数a0.49 N m 。当圆饼的半径很大时，试估算厚度 h 的数值大约是多少 ( 取一位有效数字 ) ？分析：取圆饼侧面处宽度为 x，高为 h 的面f 1f 4元S，图 3-5-3 所示。由于重力而产生的水银对xS 侧压力 F，由 F 作用使圆饼外凸。但是在水银与空气接触的表面层中，由于表面张力的作用使图 3-5-3水银表面有收缩到尽可能小的趋势。上下两层表hhf 3F面张力的合力的水平分量必与F 反向，且大小相f 2等。 S
4、 两侧表面张力 f3 , f4可认为等值反向的。F1 p S1gh 2x解：2f 1 cosf 2Fa x(1cos)1gh 2x2h2a(1cos )g由于 0<<90o, 有310 3 m h 410 3 m例 3、在连通器的两端吹出两个相同的球形肥皂泡A 和 B 后，如图 3-5-4，关闭活栓 K，活栓 K A 和 K B 则依旧打开，两泡内的空气经管相通， 两泡相对平衡。 (1)用心爱心专心若 A 泡和 B 泡的形状小于半球，试证明A 泡和 B 泡之间的平衡是稳定的。若A 泡Kr1和 B 泡的形状大于半球，试证明k AKBrA 泡和 B 泡之间的平衡是不稳定ABr1的。(2
5、) 若 A 泡和 B 泡的形状大于图 3-5-4图 3-5-5r1 V0h半球，设两管口的半径均为r12.00cm ，A 泡和 B 泡的半径均为 r22.50cm 。试问当 A 泡和 B泡分别变化成何种形状时，两泡能再次达到平衡，设空气因压缩或膨胀所引起的密度变化可以忽略。分析：开始时， A 泡 B 泡均小于半球，泡半径应大于管半径。若因扰动使A 泡缩小，则泡半径增大，表面张力应减小，A 泡内压强变小，这时 B 泡内气体过来补充，使 A 泡恢复扰动前的形状，重新达到平衡。对于A 泡因扰动稍增大，或 B 泡因扰动稍增大或缩小的情形可作同样分析。若 A、B 泡形状相同，均大于半球。因扰动使 A 泡
6、缩小，则泡半径变小，表面张力相应增加， A 泡内压强变大，使气体从 A 泡到 B 泡， A 泡缩小和 B 泡增大后，扰动将持续发展。总之，当 A 泡和 B 泡的形状大于半球时，其间的平衡是不稳定的。值得注意的是，当 A 泡缩小到半球形状时，即当 r2 r1 时， A 泡半径最小。若再收缩使形状小于半球时， A 泡半径再度增大，根据上面的分析， A 泡内的压强将再度下降。当 A 泡小于半球， B 泡大于半球，而两者的半径相同时，两泡内的压强再次相同，这又是一个新的平衡状态。解： (1) 见上面的分析。(2) 新的平衡状态为A 泡小于半球， B 泡大于半球，两者半径均为 r ，图 3-5-5 ，有
7、用心爱心专心4r 32V 03V0h2 ( r2h ), 且 h r2r22r123解得 r=3.04cm例 4、在相互平行的石墨晶格上，原子排成正六角形栅格，即“蜂窝结构”如图 1-5-6(a)所示，平面上原子间距为a1.42 10 10m，若石墨的密度为 2270 kg m3，h求两层平面间的距离。 ( 碳原子量为 12)图 3-5-6a解：显然应根据晶格模型进行研究，把b晶格平面适当平移， 使上下层原子正好对齐，这时原子系统可看成如图3-5-6(b) 那样，每个原子属于6 个不同晶胞，因此一个晶胞中 12/6=2 个原子， 1m3石墨中的原子数是N16.0210232.27106/121
8、.1410 29个。晶胞数是上述原子数的一半，故一个晶胞的体积是V5.711.75610 29 m31028晶胞的底面积是S3a 23 25.239 10 20 m2hV S3.3510 10 m说明在晶格模型的计算中，初学者往往把晶胞所包含的原子数搞错，误认为石墨晶胞包含了12 个原子。这里的关键是要分析其中每一个原子是哪几个晶胞所共有，那么每个晶胞仅只能算其1/ n 个原子。例 5、用圆柱形的杯子做“覆杯”实验，杯子的半径为 R，高度为 H，假定开始时杯内水未装满，盖上不发生形变的硬板后翻转放手，由于水的重力作用，硬板将略下降，在杯口和平板间形成凹的薄水层，如图3-5-7 所示。假定水对玻
9、璃用心爱心专心和平板都是完全浸润的，水的表面张力系数为，纸板重为 mg，大气压为 p0 ，水的密度为 ，则为了保证“覆杯”实验成功，装水时，杯内所留的空气体积不得超过多少？flffl 2ff f解：如图3-5-8图 3-5-7图 3-5-8图 3-5-9表示板与杯口间水层的大致形状( 为求清晰，图中比例已被夸大) 。其中虚线表示整体轮廓，实线则划出其一小片分析其受力，图3-5-9 则是俯视平面图。设内凹的薄水层深度为d，由于完全浸润，它就等于凹面的直径，所取出的水液面宽度为 l ，则它受力如下：f 附着层水对凹面的表面张力，有上( 杯沿 ) 下( 硬板 ) 两个，其大小为f l ，方向垂直于
10、l 水平向外。f 和划出部分相连的凹面其他部分的水对该液面的作用力，方向沿圆周切df线方向，大小为2，两力合力大小为2 f sinflf2RF液面内外压力差， 其方向水平指向圆心， 大小为 F ( p0 p)dl ( 其中 p0为大气压， p 为内部水压强 ) 。在受力平衡的条件下应有p0 S( p0p)d ll2ld2RpSmg用心爱心专心图 3-5-10d4R得( p0p)2R如果以硬板为研究对象，受力如图 3-5-10，平衡时有p0 SpS mgp0mg即pR 2p 是水内部的压强， 它应等于杯内气体压强加上由水重所引起的压强，若杯内气体压强为 p ，原来装水后空气层厚度为h，则ppg(
11、H h)进行覆杯实验后，硬纸板是盖住杯口的，这时杯内气体压强就等于大气压即p1p0 ，体积 V1R 2 h ，“覆杯”放手后，由于硬纸板受重力作用，板下移距离d即前述水层厚度)，使杯内气体体积变为 V2R 2 (h d ) ，压强就变为 p ，由玻(意耳定律得p0hphd把代入可求得板重为mg时，水层最大厚度d4 R22mg R2由式可得gh2g(H d)mghp0mggH d 0R2R2H dmHdm2p0mhH d22 R222 R2gR2将式代入即可得到极限情况下杯内原来的空气柱厚度，因式子过繁，就不将 d 值代入了。用心爱心专心说明当杯子倒转放手后，如果杯内装满水而无空气，则大气对平板的向上压力将远大于杯内水及平板重，因此平板紧压杯口，但如果原来杯内有空气，其压强等于大气压，翻转杯子并放开平板合，水与板重将使板下移，杯内空气体积增大，压强减小，只要条件合适， 大气压力有可能承受住杯内气体压力( 小于 p0 S )与水、板重之和。然而，气压减小量是与气体体积增大量有关，而体积增大则决定于板与杯口间水层的厚度，而该层最大厚度则与表面张力引起的附加压强有关。据此反推，即可得到解题思路。用心爱心专心