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1、函数的单调性、最值和极值函数的单调性、最（极）值是高考的热点，新课程中函数的单调性、最（极）值的要求提高了，可能更会成为高考的热点、难点.在高考试题中，函数的单调性、极（最）值往往是以某个初等函数为载体出现，综合题往往与不等式、数列等联系起来，处理方法除了定义法之外，一般采用导数法 . 难度值控制在0.3 0.6之间 .考试要求：了解函数单调性的概念,掌握判断简单函数的单调性的方法；了解函数单调性与导数的关系；能求函数的最大（小）值；掌握用导数研究函数的单调性.题型一已知函数的单调性、最（极）值，求参变量的值.例 1设函数 f ( x)6x 33(a2)x 22ax .（ 1）若 f (x)
2、的两个极值点为x, x且 xx21，求实数a的值；1212a，使得f ( x) 是 (,) 上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存（ ）是否存在实数在，说明理由 .点拨因为是三次函数，所以只要利用“极值点f ( x) 0 的根”，转化为一元二次方程根的问题；利用f ( x) 在 (, )上单调f (x) 0（ 0），转化为判断一元二次函数图像能否在x 轴上方的问题 .解f ( x)18x26(a2) x2a（ 1）由已知有 f (x1)f ( x2 ) 02a，从而 x1 x2181 , 所以 a9 ；（ 2）由36(a2)24182a36(a24)0 ，得 f ( x)0 总有两个不等的实
3、根，f (x) 不恒大于零，所以不存在实数a ，使得 f ( x) 是 R 上的单调函数 .易错点 三次函数的极值点x1 , x2 与原函数 f (x) 的导数关系不清；含参变量 a 的问题是逆向思维，学生易出现错误；学生不会将 f ( x) 在 (,) 上是单调函数的问题转化为f (x)0( 0) 恒成立问题 .变式与引申1： (20XX 年高考江西卷理 ) 设 f ( x)xxax（ 1）若 f(x) 在 (,）上存在单调递增区间，求a 的取值范围；（ 2）当a时， f ( x) 在 , 上的最小值为，求 f ( x) 在该区间上的最大值题型二：已知最（极）值或其所在区域，通过单调性分析参
4、变量的范围.例 2 已知函数 f ( x) x3(1a) x2a(a 2)xb(a， bR) （ 1）若函数f ( x) 的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3 ，求 a， b 的值；（ 2）若函数f ( x)在区间（1， 1）上至少有一个极值点，求a 的取值范围点拔： 第（ 1）问利用已知条件可得f00, f (0)=0 ，求出a， b 的值 . 第（ 2）问利用“极值点f ( x)0 ”的根转化为一元二次方程根的分布问题.解析：（1）由函数f ( x) 的图像过原点，得b0 ，又 f ( x)3x22(1a) xa(a2)， f(x) 在原点处的切线斜率是3 ，则 a(a2)3 ，所以
5、a3 ，或 a1（ 2）法一：由f (x)0 ，得 x1a， x2a 21,1)又 f (x) 在 (上至少有一个极值点，3，a2，111 a 15 a 11 a 13即a 2 或解得1或1a2，aa3，aa223所以 a 的取值范围是， 11 ，5212法二： f (x)3x22(1a)xa(a2) , 由题意 f ' ( x)0 必有一根在 (-1,1)上,故 f ' (-1)f ' (1) 0 , 即 (54aa2 )(1 a2 )0, 解得5a1；或 f ' (-1)=0 ，则 a1 ，当 a1, f (1)0 （舍去），当 a1时，经检验符合题意；同理
6、 f ' (1)=0，则 a1或 5 ，经检验，均不符合题意，舍去 . f ' ( x)0 有两个不同的根在(-1,1)上f ' (-1) 01 或1故 f ' (1)0解得：1aa1022所以， a 的取值范围， 11 ， .5212易错点： 解不等式f ( x)0 出错；第（ 2）问的解法一，不易分析. ；第（ 2）问的解法二，分类讨论，不易讨论完整 .变式与引申2：将（ 2）中改为“f (x) 在区间（1，1）上有两个极值点”，或改为“f ( x)存在极值点，但在区间（1，1）上没有极值点”，如何求题型三函数的单调性、最（极）值与不等式结合的问题a 的取值
7、范围？例3设函数f ( x)x2ex 1ax3bx2 ，已知x2 和x1为f ( x)的极值点（ 1）求 a 和 b 的值；（ 2）讨论 f ( x) 的单调性；（ 3）设 g( x)2x3x2 ，试比较 f ( x) 与 g( x) 的大小3点拔 此题是由指数函数与多项式函数等组合的超越函数，分析第（1）问先由极值点转化为方程的根，再用待定系数法；第（3）问中比较两个函数f (x) 与 g (x) 的大小，可构造新函数F ( x)f ( x)g( x) ，再通过分析函数 F ( x) 的单调性来讨论F ( x) 与 0 的大小关系 .解 （ 1）因为f (x)ex 1 (2 xx2 ) 3a
8、x22bxxex 1 (x2)x(3ax 2b) ，又 x2 和 x1 为 f (x) 的极值点，所以f( 2)f(1)0 ，6a2b，10解方程组得因此a， b133a2b，03（ 2）因为 a1， b1，所以 f ( x)x( x2)(e x 1 1) ，3令 f ( x)0 ，解得 x12 ， x20 ， x31 因为当 x (， 2)(0，1) 时， f (x)0 ；当 x(2，0)(1，) 时， f ( x)0 所以 f ( x) 在 (2，0)和 (1，) 上是单调递增的；在(， 2)和 (0，1)上是单调递减的（3）由（1）可知f (x)2x1132x e，x故 x3F ( xf
9、) xg (x2 x13xx2(e)x)x ( x )，e令 h(x)ex1x ，则 h ( x)ex1 1 令 h ( x)0 ，得 x1 ，因为 x，1 时， h ( x) 0 ，所以 h(x) 在 x，1 上单调递减故 x，1 时， h(x) h(1)0 ；因为 x1，时， h (x) 0 ，所以 h( x) 在 x1，上单调递增故 x1，时，h( x) h(1)0 所以对任意x(，) ，恒有h( x) 0，又x2 0 ，因此F ( x)f ( x)g( x) 0 ，故对任意x(，) ，恒有f ( x) g( x) 易错点求导数时，(x2ex 1 )易出错；比较两个函数的大小属于不等式问
10、题，学生容易只从不等式的简单知识出发，而无法从构造的新函数的单调性来分析.变式与引申3：将第（ 3）问改为：设g( x)2 x3x2 ，试证f ( x)g(x)恒成立3本节主要考查： （ 1）用导数研究函数单调性, 极值；（ 2）利用单调性、极值点与导数的关系解决一些综合问题； （ 3）方程与函数的转化 , 方程思想和函数思想综合应用； （ 4）数形结合思想 . 点评：（ 1）讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；（ 2）求函数单调区间的常用方法：定义法、图像法、复合函数法、导数法等；（ 3）利用求导的方法研究函数的单调性、
11、最（极）值，函数在区间上为单调问题转化为导函数在区间上的正负问题，从而转化为不等式问题，再而研究函数的最（极）值. 需灵活应运用函数与方程思想、数形结合思想、化归思想和分类讨论思想等.习题 13log 3x(0x9)f (b) f (c) ，1. 已知：函数 f (x)11(x9)，若 a ，b ，c 均不相等，且 f ( a)x则 ab c 的取值范围是（）A.(0, 9)B. (2,9)C.(9, 11)D. (2,11)2. 已知函数f ( x)与g(x) 的定义域均为非负实数集，对任意的x 0 ，规定 f ( x)g ( x)min f (x), g( x), 若f ( x)3x, g
12、( x)2x5,是 f ( x)g(x)的最大值为.3.已知函数f ( x)x33ax23x1.（ 1）设a2 ，求f ( x)的单调区间；（ 2）设f (x) 在区间 (2,3)上不单调，求a 的取值范围.4. 已知函数f (x)x ，g (x)a ln x, aR .（ I ）若曲线yf ( x)与曲线yg (x) 相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；（ II ）设函数 h(x)f ( x)g(x) ，当 h( x) ) 存在最小值时，求其最小值( a) 的解析式；（ III）对（ 2）中的(a) ，证明：当a(0,) 时，(a)1.5. 设函数 f ( x) ( x1) 2bln x ，其中 b 为常数（ 1）当 b1f ( x) 在定义域上的单调性；时，判断函数2（ 2） b0 时，求 f ( x) 的极值点；（ 3）求证对任意不小于3 的正整数 n ，不等式 ln( n 1) ln n1n2 都成立