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1、高中数学巧用函数单调性妙解题函数是高中数学的重要内容，函数的单调性又是函数的重要性质。在求解某些数学问题时，若能根据题目的结构特征，构造出一个适当的单调函数，往往能化难为易，化繁为简，获得巧解和妙解。下面举例说明。一. 巧求代数式的值例 1. 已知 ( x2y)5x52x2 y0 ，求 ( xy) 20 07 的值。解：已知条件可化为()x2y 5()x2y( x)5( x)设 fx()x5x ，则 f (xyf 2)() x而 fx()x5x 在 R 上是增函数则有 x2 yx ，即 xy0所以 ( xy ) 20070点评：本题关键是将条件转化为()x2 y 5()x2 y(x)5( x)
2、 ，再构造相应函数 fx( )x5x ，利用单调性求解。x的根为 ，方程 xlog3 x3 的根为 ，求 + 的值。拓展练习： 已知方程 x 33（答案：3 ）二. 妙解方程例 2. 解方程 4x7x65x解：易见 x=2 是方程的一个解xx原方程可化为47651654而 f (x)65x（因为x4(0，1) ）65在 R 上是减函数，gx( )765x同样在 R 上是减函数x47因此 fx( )g( x)6565x在 R 上是减函数xx422由此知：当 x 2时，4771656565654xx422771当 x 2 时，65656565这说明 x 2 与 x2 的数都不是方程的解，从而原方程
3、仅有唯一解x 2 。拓展训练：解方程5x1 2x ( 22x ) 。（答： x2 ）点评：解该类型题有两大步骤：首先通过观察找出其特解x0 ，然后等价转化为fx( ) a(a为常数 ) 的形式，最后根据f ( x) 的单调性得出原方程的解的结论。三. 妙求函数的值域例 3.求函数 ycos2 x6cosx 10 (0 x) 的值域。3cosx解：令 cosxt ，则y ft()t133t因为 0x，所以1t 1而 f (t )在 t1， 1内递增所以 f (1)f (t )f (1)又 f (1)5 ， f (1)1752174f ( x)而42所以5 ， 17 为所求原函数的值域。2 4四
4、. 巧解不等式例4.解不等式log5 (1x)log16x解：设tlog16 x，则 x165 ，x4t原不等式可化为log5 (14t )ttttt，即141则1 45551tt设 f ()t455显然 f (t ) 是 R 上的减函数，且1 f ()1 ，那么不等式即 f (t )f (1)t 1因此有 l og16 x1，解得 0x16点评：解不等式其实质是研究相应函数的零点，正负值问题。用函数观点来处理此类问题，不仅可优化解题过程，且能让我们迅速获得解题途径。拓展训练：解不等式(5x3)33x6x 3 0 。（答： x1 ）2五. 巧证不等式例 5. 设 a 00， bm，00， n，
5、求证 am nbm na mbm · anbn。222证明：当 m， n 中至少有一个为0 时，则有 am nbm na mbm · anbn ，结论222成立。设 m 0， n 0因为yx (0) 在( 0，) 上单调递增所以ambm 与anbn 必同号，或同为0（当且仅当ab 时）从而 (ambm )( anbn ) 0m nm nmnnmaba ba bam nbm nambm · a n2bn22因此，原不等式成立（当且仅当ab 或 m0 ，或 n0 时取“ =”号）。点评：原不等式等价于am nbmnambnanbm(ambm )(a nbn )0 ，这
6、可由幂函数 y x (0) 在 (0，) 上递增而得到。本题可拓展：令msin2，ncos2，则 a basi n 22bcosacos2bsin 2。六. 巧解恒成立问题例 6.已知函数 f ()xlg 12 x3x a 对区间， 1 上的一切x 值恒有意义，求 a3的取值范围。1 2x3x a解：依题意，03对， 1 上任意 x 的值恒成立1x2整理为 a33x对，1 上任意 x 的值恒成立。x2x1，只需 a设 g()x3 3而 g(x) 在， 1 上是增函数则 g(x)maxg(11)所以 a1七. 巧建不等关系例 7. 给定抛物线C： y24x ， F 是g()x maxC 的焦点，
7、过点F 的直线 l 与 C 相交于 A ， B 两点，设 FBAF 。若4， 9 ，求 l 在 y 轴上的截距的变化范围。，1 )，2 )解：设 A( xy1B( xy2由 FBAF ，得x21(1x1 )(1)y2y1(2)又y124x1(3)y224x2(4)联立（ 1）（ 2）（ 3）（ 4），解得 x2所以 B(， 2)或( ，2 )所以 l 的方程为 (1) y 2()x 1或 () 1 y2 ()x 1当 y4， 9 时， l 在 y 轴的截距为 2或 211令 f ()2，则1112f '()(1)2(1) 20所以 f () 在 4， 9上是减函数故 3214 或423
8、43314所以直线l 在 y 轴上截距的取值范围是：4 ，33 ， 43443八. 巧解数列问题例 8. 已知数列bn 是等差数列， b11，b1b2 b10 145 。（ 1）求数列bn的通项公式；（ 2）设数列an的通项 an loga (11 )( a0，且 a1) ， Sn 是数列an 的前 nbn项和，试比较Sn 与 1 loga bn 1 的大小，并证明你的结论。3解：（ 1）由 b1b2b10145， b11有 10b1109d 1452得 d 3因此 bnb1(n1)33n2（ 2） Snl oga (11)loga11loga1143n2l oga(11)11 11432n1 loga bn1l oga331n3(11)11 11设 fn()413n 2（ n 为正整数）33nf ( n1)(111 )1 112113 3n 1则413n13n 1f ()n(111 )133n443n2327n354n236n8127n354n227n4所以 f (n1)f (n)即 f (n) 在 nN *上是递增的从而 f ()nf (1)2314即(1 1) 11 113 3n 1( n N * )43n2所以当 a1时， Sn1 loga bn 13当 0 a1 时， Sn1loga bn 13