《高中数学常见递推数列通项的求法知识点分析新人教A版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学常见递推数列通项的求法知识点分析新人教A版.docx（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、学习必备常见递推数列通项的求法类型 1、 an 1ang n 型解题思路：利用累差迭加法，将anan 1g (n 1)， an 1an2 = g (n2) ，a2a1 = g(1), 各式相加，正负抵消，即得an .例 1、在数列 an 中，13,an 1an1，求通项公式an .an(n 1)解：原递推式可化为：anan111nn1则 a2a11 1 ,a3a2111223a4a311，anan 11134n1n逐项相加得： ana11故 an11.4.nn例 2在数列 an中， a10且 an1an2n 1 ，求通项 an .解：依题意得， a10 ， a2a11, a3a23,anan
2、12 n112n3 ，把以上各式相加，得an1 32n 3n 1 1 2n 3n 1 2【评注】由递推关系得，若 g n2是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列； 若 an 1an非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列an 不是等差数列，将递推式中的n 分别用n1, n2,4,3,2 代入得 n1 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得an ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。例 3、已知数列 a 满足 an 1an23 n1， a3，求数列 an 的通项公式。n1解：由 a n 1a n2 3n1得 a n 1 a n 2 3n1欢迎下载则 an(anan 1) (
3、an 1an 2)( a3a2) (a2a ) a11(2 3n 11)(23n21)(2321)(2311)32(3n13n 23231 )(n1)3所以 an2 3 3nn 2 3nn 1133nan 2 3n评注：本题解题的关键是把递推关系式a n1a n21 转化为 an 11，进而求出 ( anan1 )(a n1an 2 )(a3a2 )( a2a1 )a1 ，即得数列 an 的通项公式。练习：an 1an11、 已知 an 满足 a1n(n1) 求 an 的通项公式。1 ，2、 已知 an 的首项 a11 ， an1an2n （ nN * ）求通项公式。3、 已知 an 中， a
4、13 ， an 1an2n ，求 a n 。类型 2 an 1f (n)an 型解题思路：利用累乘法 ,anfn1 ,an1f n2 ,a2f 1 各式相乘得，将ana1an 12anan1La2f n1fn2 L f 1 ，即得 an .an1 an2a1例 4在数列an中， a1an1n，求通项 an .1 ，nan1解：由条件等式an 1nanan 1a2n 1 n 2 1 11ann 1得，a1，得 an.an 1 an 2n n 1 2 nnan 1nn1 an 11 ，则数列 na n【评注】此题亦可构造特殊的数列，由ann得，nan是1以 a1 为首项，以 1为公比的等比数列，n
5、ana1.qn 11 11得 an1.n学习必备例 5、设数列 an 是首项为1 的正项数列，且 (n1)an 12nan2an 1an0 （n=1,2,3 ），则它的通项公式是 an =（ 2000 年高考 15 题） .解：原递推式可化为：( n 1)an 1nan ( an 1an ) =0 an 1an 0，an 1nann1a21a32a43, ，ann 1则,4na12 a23 a3an 1逐项相乘得：an1an1.a1n，即=n练习： 1、已知： a11an2n1an 12）求数列 an 的通项。3 ，2n1（ n2、已知 an 中， an1nan 且 a12 求数列通项公式。n
6、2类型 3、 an 1ca nd( c0,c1) 型解题思路：利用待定系数法，将an1cand 化为 an 1xc anx 的形式，从而构造新数列 anx是以 a1x 为首项，以c 为公比的等比数列 .例 6数列 an满足 an 12an1， a12 ，求 an .解：设，即 an 12anx, 对照原递推式，便有故 由 an 12an1, 得 an 1 12(an1)an 11an1 是 以， 即2 ，得新数列an1欢迎下载a1 12 11为首项，以 2 为公比的等比数列。an12n 1，即通项 an 2n 11【评注】 本题求解的关键是把递推式中的常数 “ 1”作适当的分离，配凑成等比数列
7、的结构，从而构造出一个新的等比数列。练习： 1、已知 an 满足 a13 ， an 12an1求通项公式。2、已知 an 中， a11 ， an3an12 （ n2）求 an 。分析：构造辅助数列，an13( an 11) ，则 an3n1 同类变式 1、已知数列 a n 满足 an12an(2n1)，且 a12 ，求通项 an分析：（待定系数），构造数列 anknb 使其为等比数列，即 an 1k (n 1)b2(anknb) ，解得 k2, b1求得an52n 121n2、已知： a11 ， n2 时， an1an 12n 1，求 an 的通项公式。2解：设anAn B1 an 1A( n
8、 1) B21111an2 an 12 An2 A2 B1 A 221 A1 BA41 a1 4 6 322解得：B6学习必备1 an4n6 是以 3 为首项，2 为公比的等比数列an4n 6 3 ( 1) n 1an34n 622n13、已知数列 a n 满足 an13an23n1， a13，求数列 an 的通项公式。解： an13an23n1 两边除以 3n1 ，得 a n1a n21，3n13n33n1an1an21则3n3n 1，3n13ana na n 1an 1an 2a n 2an 3a2a1a1故( 3 n) ( an 13n 2 ) ( 3n 23n 3 )( 3231 )3
9、na n 13( 21) ( 21) ( 21)( 21)333n33n 133n 233232(n1)( 11111)133n3n3n 13n 2321n 1a n2( n 1)3n (1 3)12n 11，因此3133223n3n则 a n2n 3n13n1322评注：本题解题的关键是把递推关系式an13a n2 3n1a n1an21，转化为3n33n 13n1进 而求 出 ( ana n 1 ) ( a n 1a n 2 )( an 2an 3 )+ + ( a 2a1 )a1 ， 即 得数 列3n3n 13n 13n 23n 23n 332313 ann 的通项公式，最后再求数列 a
10、n 的通项公式。3欢迎下载类型 4 an 1c ang n 型例 7 已知数列an的前 n 项和 Sn 满足 Sn2an2n（ 1）写出数列的前3 项 a1 , a2 ,a3 ；（ 2）求数列 an的通项公式 .解：（ 1）由 a1S12a12 ，得 a12 .由 a1a2S22a24 , 得 a26 ,由 a1a2a3S32a36 , 得 a314(2)当 n2 时, 有 anSnSn12 anan 12 , 即 an2an 1 2令 an2 an1, 则 an2an 1, 与比较得 ,2an2是以 a124为首项 , 以 2 为公比的等比数列 .an2 ( 4) 2n 12n 1 , 故
11、an2 n 12引申题目：1、已知 an 中， a11 ， an2an12n （ n2）求 an2、在数列 an 中， a11, an12an4 3n 1 , 求通项公式 an 。解：原递推式可化为：an 13n2(an3n1 )比较系数得=-4 ，式即是： an 14 3n2(an4 3n 1 ) .则数列 an43n1 是一个等比数列，其首项a14 3115，公比是 2. an4 3n 15 2n 1 即 an4 3n 15 2n 1 .学习必备3、已知数列 an 满足 an 12a n3 2n ， a12 ，求数列 a n 的通项公式。解： an 12an32n 两边除以2n 1 ，得
12、an 1a n3 ，则 an1an3 ，2n 12 n22n 12 n2故数列ana121 为首，以3 是以2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得2n212a n1(n3，所以数列 a n 的通项公式为 an31n。2 n1)( n)2222评注：本题解题的关键是把递推关系式a n12an3 2n转化为an1a n32n12 n，说明数列2 a n 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出an1 ( n1) 3，进而求出数列 an 2 n2n2的通项公式4、若数列的递推公式为a11，则求这个数列的通项公式2 3n 1 (nan 13an)5、若数列的递推公式为a13，则求这个数列的通
13、项公式2 3n 1 (nan 1an)6、已知数列 an 满足 an 12a n3 5 n， a16 ，求数列 an 的通项公式。解：设 a n 1x 5n 12(anx 5n )将 an 12an35n 代入式，得 2a n3 5nx5 n 12an 2x 5n ，等式两边消去2a n ，得 3 5 nx5n 12x5 n ，两边除以5n ，得 3x 52x ，则 x=1，代入式，得 a n 15 n 12(a n5n )欢迎下载由 a151651 0 及式，得 a n 5n0 ，则an15n12 ，则数列 a n5n 是an5n以 a1511 为首项，以 2 为公比的等比数列，则an5n1
14、2n1，故 an2n15n 。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 12an35n 转化为 an 15 n12(a n5n ) ，从而可知数列 a n5n 是等比数列， 进而求出数列 a n5n 的通项公式， 最后再求出数列 a n 的通项公式。类型 5、取倒数例 8、已知数列 an 中，其中 a11, ，且当 n 2 时， anan1，求通项公式 an 。2an 11解：将 anan 1两边取倒数得：112 ，这说明 1 是一个等差数列，2an 11anan 1an首项是11，公差为 2，所以11 ( n1)22n1，即 an1.a1an2n1例 9、数列 an 中，且 a131 ， an
15、 12an，求数列 an 的通项公式 .2an1 提示1111an2 an1例 10、 an 1an,a11 ，求 an2 n an1解：112 n 即 bn 1bn2nan 1an则 bnb12 1 2 n 11 2 2 n2n1an1122n1an12n 1an2 n 1an， a12 ，求 an 的通项。例 11、数列 an 中，12n 1an111解： an 12n 1 an an 1an2n 1bn1bn 1bn1bn1an2nbn 1设12nbnbn112 nbn 1bn212n 1bn 2bn312n 2学习必备欢迎下载解由题意知 an 0，将 an 1an2 两边取对数得 lg
16、 an 12 lg an，即 lg an 12 ，所以lg an数列 lg an 是以 lg a1 = lg 3 为首项，公比为 2 的等比数列， lg an lg a1 2n 1lg 32n 1，即 an32n 1.例 13、已知数列 a n 满足 a n 12 3n a 5n ， a17 ，求数列 an 的通项公式。解：因为 an 12 3 n an5 ，a17 ，所以 a n0， an 1 0 。在 an 12 3n an5 式两边取常用对数得 lg an 1 5 lg ann lg 3lg 2设 lg a n 1 x (n1) y5(lg a n xn y)111b3b2231b2b1
17、22bnb111122232nbn1112n122n22n练习：1、在数列 an 中， a11, an 1anan类型 6、取对数法1 1221an, 求 an 3( 1) n 1 121122n22n2n1将式代入11式，得5 lg a nn lg 3lg 2x (n1)y 5(lg a n xn y ) ，两边消去5lg a n 并整理，得 (lg 3x )nxylg 25xn5y，则xlg 3lg 3x5x4，故xylg 3 lg 2lg 2 5yy164代入11式，得 lg an 1lg 3( n1)lg 3lg 241645(lg anlg 3nlg 3lg 2124164)由lg
18、3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg a11lg 710121644及 式，4164得 lg alg 3 nlg 3lg 202例 12若数列 an 中， a1 =3 且 an 1an （n 是正整数），则它的通项公式是an =n4，164学习必备lg a n1lg 3 ( n1)lg 3lg 2则41645 ，lg 3lg 3 lg 2lg ann4164所以数列 lg anlg 3nlg 3lg 2 是以 lg 7lg 3lg 3lg 2为首项，以5 为公比的41644164等比数列，则lg anlg 3 nlg 3lg 2(lg 7lg 3lg 3lg 2 )5n1， 因 此41644164lg an(lg 7lg 3lg 3lg 2 )5n1lg 3 nlg 3lg 24164464111(lg 7lg 3 4lg 36lg 2 4 )5n 1