中考数学基础知识复习回顾.docx

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1、学习必备2010 中考数学基础知识复习回顾一、数与式1、实数的分类正整数整数零有理数负整数正分数实数分数负分数正无理数无理数负无理数注意：(1) 实数还可按正数，零，负数分类(2) 整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2 n ( n 为整数 ) 表示；奇数一般用2 n -1 或 2 n +1( n 为整数) 表示(3) 正数和零常称为非负数2、数轴上的点和 实数 一一对应， 如何在数轴上找到无理数所对应的点。a(a0)，3、 a0(a0)，a( a0)注意：(1)a0 (2) 零的绝对值是它的本身， 也可看成它的相反数， 如：若aa， a0；若aa，则 a 0则(3) 正数大于零， 负数

2、小于零， 正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的反而小4、有效数字和科学记数法（ 1）一个近似数四舍五入到哪一位， 就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字（ 2 ） 把一 个 数 记 成a10 n 的 形 式 ， 其 中 ：1 a 10， n 是整数，这种记数法叫做 科学记数法注意：如果这个数的整数数位不比要求保留的有效数字多，则可以直接用四舍五入表示出来；如果整数数位比有效数字多，一定要先用科学记数法表示，然后四舍五入表示例如 15876 保留两位有效数字是 1.6 × 10 4 ，而不能写成 16000a(a，5

3、、 a 20)aa(a0)注意：a 的“双重非负性”a0，：0a6、 n 次方根、 n 次算术根：如果一个数的 n 次方 ( n 是大于 1 的整数 ) 等于 a ，那么这个数就叫做a 的 n 次方根，即如果xna ，那么x 就叫做 a 的 n 次方根根指数是偶数的方根叫做偶次方根 根指数是奇数的方根叫做 奇次方根 注意：(1) 正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；零的偶次方根为零；负数没有偶次方根欢迎下载(2) 正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数；零的奇次方根是零(3) n 为奇数，则nan a 正数 a 的正的 n 次方根叫做 a 的 n 次算术根零的n 次方根也叫做零的

4、n 次算术根 n a 有“双重非负性”： a0 ； n a0 7、实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的8、用数值代替代数式中的字母， 按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值注意：(1) 求代数式的值， 一般是先将代数式化简， 然后再将字母的取值代入(2) 求代数式的值， 有时求不出其字母的值， 需要利用技巧，利用“整体”代入9、乘法公式：平方差公式：(ab)(ab)a 2b2；完全平方公式： (ab) 2a 22abb 2，(ab) 2a22abb 2；立方和公式：(ab)(a2abb2 )a 3b3；立方差公式：(ab)(a2abb2 )a

5、3b 3；( a bc) 2a 2b 2c 22ab2bc2ac 10、 a01 ( a0 ) ； ap1(a0, p 为正整ap数) 11、 因式分解的常用方法（ 1）提公因式法：（ 2）运用公式法：（ 3）分组分解法：（ 4）十字相乘法：因式分解的一般步骤是：(1) 如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；(3) 分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止12、当分子等于零而分母

6、不等于零时，分式的值才是零13、 二次根式的性质(1) (a )2a(a0) a(a，(2)a2a0)a( a0)(3)abab (a0,b 0) (4)aa ( a0, b0) bb二、方程（组）不等式（组）1、如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程如方程 x32 与方程 2x10 就是同解方程 学习必备2、一元二次方程的一般形式是：ax 2bx c 0(a 0) ，它的特征是： 等式左边是一个关于未知数的二次多项式，等式右边是零，其中ax 2 叫做二次项， a 叫做二次项系数； bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数； c 叫做常数项3、一元二次方程的解法直接开平方法：配方法：公式

7、法因式分解法：4、一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1) 判别式定理：>0方程有两个不相等的实数根；=0方程有两个相等的实数根；<0方程没有实数根；0方程有两个实数根(2) 判别式定理的逆定理：方程有两个不相等的实数根>0；方程有两个相等的实数根=0；方程没有实数根<0；方程有两个实数根05、分式方程的一般解法：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程” 它的一般解法是：(1)去分母，方程两边都乘以最简公分母；(2)解所得的整式方程；(3)验根：将所得的根代入最简公分母，若等于0 就是增根，应该舍去；若不等于0 就是原方程的根6、二元一次方程组的解法(1)代

8、入消元法：(2)加减消元法：7、三元一次方程组的解法三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组解三元一次方程组的一般步骤：利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值，从而得到方程组的解8、一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况，如下图所示

9、：(1) xa 如图中 A 所示：(2) x a 如图中 B 所示：(3) xa 如图中 C 所示：(4) x a 如图中 D 所示：9、求不等式组公共解的一般规律：同大取大，同小取小，一大一小中间找欢迎下载三、函数及其图像1、关于 x 轴、 y 轴或原点对称的点的坐标特征：（1）点 P 与点 P' 关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数（2）点 P与点 P'' 关于 y 轴对称纵坐标相等， 横坐标互为相反数（3）点 P 与点 P'' '关于原点对称横、纵坐标均互为相反数2、点 P x, y 到坐标轴及原点的距离(如图)：(1) 点 P (

10、 x ， y ) 到 x 轴的距离等于| y | ；(2) 点 P ( x ， y ) 到 y 轴的距离等于| x | ；(3) 点 P ( x ， y ) 到原点的距离等于x2y23、一般的，如果 ykxb ( k ,b 是常数， k0 ) ，那么 y 叫做 x 的一次函数特别的，当一次函数ykx b 中的 b 为0 时，y kx ( k 为常数， k 0 ) 这时， y 叫做 x 的正比例函数4、一般的，一次函数ykxb 有下列性质：（1）当 k >0 时， y 随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时， y 随 x 的增大而减小5 、 设 直 线 l1 和 l 2 的 解 析 式

11、为 yk1 x b1 和yk2 xb2 ，则它们的位置关系可由其系数确定：；l1与l 2 相交k1k2；k1k2l1与 l2 平行b2b1k1k2l1与 l2 重合b1b26、一般的，如果yax 2bxc(a, b,c是常数 ,a0) ，那么， y叫做 x 的二次函数 (1)一般式： yax2bxc ( a0 )(2)顶 点 式 ： ya(xh)2k ( a0)，其中hb, k4acb22a4a(3) 两 根 式 ： ya( xx1 )( xx2 )(a0) ，其中x1 , x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标如果没有交点，则不能这么表示7、如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处 取

12、 得 最 大 值 ( 或 最 小 值 ) ， 即 当 xb时 ，2ab24acy最值4a如果自变量的取值范围是学习必备欢迎下载x1xx2 ，那么，首先要看b公式：是否在自变量取值xx'a 2a范围 x1xx2 内，若在此范围内， 则当 xb时，其中，常数 a 通常取接近于这组数据的平均数的较“整”b 22a的数， x'1x1 a ，x' 2x2a ，x' n xna ，4acy最值；若不在此范围内，则需考虑函数在4a1x'2x'n ) 是新数据的平均数 ( 通常把xxxy随 xx'(x'12 范围内的增减性 如果在此范围内，n1的

13、增大而增大， 则 xx2 时， y最大ax22bx2c ，x1 ， x2 ， xn 叫做原数据，x'1 ， x'2 ， x'n 叫做新当 xx1 时，y最小ax12bx1c ；如果在此范围内，数据)y 随 x的 增 大 而 减 小 ， 则 当 xx1 时 ，3、统计学中的几个基本概念y最大ax12bx1c；当x x2时，总体：所要考察对象的全体叫做总体y最小ax22bx2c 个体：总体中每一个考察对象叫做个体样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个8、反比例函数中比例系数的几何意义样本样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量k ( k过反比例函数y0) 图象上任一点

14、P 作样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平x均数x 轴、 y 轴的垂线 PM 、 PN ，则所得的矩形 PMON的面积 SPM PN y x xy yk，xxyk Sk 即过双曲线上任意一点作 x 轴、 y 轴的垂线，所得的矩形面积为k 四、统计与概率1、平均数的概念：平均数：一般的，如果有n 个数 x1， x2 ， xn ，1那么， x( x1+ x2 + + xn ) 叫做这 n 个数的平均数，nx 读作“ x 拔” 加权平均数：如果n 个数中， x1 出现 f 1 次， x2 出现 f 2 次， xk 出现 f k 次 ( 这里f1f2f nn ) ，那么，根据平均数的定义，这

15、n 个数的平均数可以表示为xx1 f1x2 f 2xk f k ，这样求得的平均数 xn叫做加权平均数，其中f1 ， f 2 ， f k 叫做权2、平均数的计算方法：定义法 :总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数注意：(1)弄清考察对象是明确总体、个体、样本的关键，这里考察对象指的是数据(2)总体或样本中的每个数据都是一个个体，不同的个体在数值上是可以相同的，样本中有多少个个体，样本容量就是多少4、方差的计算：(1) 基本公式：s21222x1 xx2 xxn x n(2) 简化计算公式 (I) ：s2 1 ( x12x22xn2 ) nx

16、2 n1 (x12也可写成 s2x22xn2 ) x 2 n此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方(3) 简化计算公式 (II) ：s21 ( x'12 x'22x'n2 ) nx'2 n当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的 常 数 a ， 得 到 一 组 新 数 据 x'1 x1a ，x'2 x2a ， x'nxn a ， 那 么 ，当所给数据 x1 ， x2 ， xn 比较分散时，一般选用定义公式：x1（ x1 x2 xn ）n加权平均数法 :x1

17、(x1 f1x2 f 2xk fk ) ，其中 f1 + f 2 +n+ f k = n 当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：新数据法 :当所给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化s2 1 ( x'12 x'22x'n2 )2nx ，也可写成ns2 1 ( x1 2x222xn 2 ) x n此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方(4) 新数据法：原 数 据 x1 ， x2 ， ， xn 的 方 差 与 新 数 据x'1 x1 a ， x'2 x2 a ， x' n xn a 的方差相等，也就是说

18、，根据方差的基本公式， 求得 x'1 ，x'2 ， x'n 的方差就等于原数据的方差（内心）；学习必备欢迎下载五、三角形1、三角形的主要线段：（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的 角平分线这里我们要注意两点： 一是一个三角形有三条角平分线，并且相交于三角形内部一点二是三角形的角平分线是一条线段， 而角的平分线是一条射线（ 2）在三角形中，连结一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的 中线这里我们要注意两点：一是一个三角形有三条中线， 并且相交于三角形内部一点（ 重心）；二是三角形的中线是一条线段（ 3）从三角形一个顶点

19、向它对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的 高线 ( 简称三角形的 高) 这里我们要注意三角形的高是线段，而垂线是直线三条高线相交于一点（垂心）。2、全等变换只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换全等变换包括以下三种：平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作tan A ，A的对边a即： tan A；A的邻边b锐角 A 的邻边与对边之比叫做A 的余切，记作cot A ，A的邻边b即： cot AA的对边a5、仰角、俯角：如图，在我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角做平

20、移变换如图1 ，把ABC 沿直线 BC 移动到6、坡度、坡角：A B C 和 A B C 位置就是平移变换如图，我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度 l 的对称变换： 将图形沿某直线翻折 180，这种变换比叫做坡度 ( 或坡比 ) ，用字母 i 表示，即 ih叫做对称变换 如图 2，将 ABC 翻折 180 到ABD 位坡面与水平面的夹角叫坡角l置的变换就是对称变换旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一坡度与坡角 ( 若用表示 ) 的关系： itan 坡角个位置， 这种变换叫做旋转变换 如图 3，将ABC 绕过越大，坡度也越大，坡面越陡A 点旋转 180 到ADE 的位置，就是旋转变换这

21、里我们应该知道，无论是平移变换，对称变换还是旋转变换，变换前后的两个图形全等，具有全等的所有性质6、方向角：O 作一条水平线 ( 向右为东如图，平面上，过观测点向 ) 和一条铅垂线 ( 向上为北向 ) ，则从 O 点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角例如，图中“北偏东30”是一个方向角，又如“西北”即指正西方向与正北方向所夹直角的平分线，此时的方向角为“北偏西 45” ( 或“西偏北45”)六、四边形1、两条平行线的距离3、证明一个三角形是等边三角形的方法：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离平行线间的距离处处相等1、利用定义证明：证明

22、三条边相等注意：2、证明三角形三个角相等(1) 距离是指垂线段的长度，是正值3、证明它是等腰三角形并且已有一个角是60 (2) 两条平行线的位置确定后， 它们的距离是定值， 不4、锐角三角函数的概念随垂线段位置改变对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作 sin A，(3) 平行线间的距离处处相等， 因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置A的对边a2、平行四边形的面积即： sin A；斜边c如图， S平行四边形ABCDBCAECD AF邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作cos A，也就是 S平行四边形底边长×高ah (a 是平行四A的邻边b即： cos A；边形任何一边长， h

23、必须是 a 边与其对边的距离 ) 斜边c学习必备注意：这里的底是相对高而言的， 也就是高所在的边，平行四边形任一边都可作底，底确定后，高也就确定了同底 ( 等底 ) 同高 ( 等高 ) 的平行四边形面积相等如图 2， S平行四边形 ABCDS平行四边形 EBCF 3、菱形的判定(1) 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(2) 定理 1：四边都相等的四边形是菱形(3) 定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形4、正方形的判定(1) 判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：先证它是矩形，再证它有一组邻边相

24、等先证它是菱形，再证它有一个角为直角(2) 判定正方形的一般顺序：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形 ( 或矩形 ) ；最后证明它是矩形 ( 或菱形 ) 5、正方形的面积正方形的面积等于边长的平方，或者等于两条对角线乘积的一半即：若正方形的边长为a ，对角线长为 b ，则有正方形的面积 S a2 b226、梯形的判定梯形的判定：(1) 定义法：判定四边形中一组对边平行； 另一组对边不平行(2) 有一组对边平行且不相等的四边形是梯形注意：此判定可由梯形定义和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出7、等腰梯形的性质(1) 等腰梯形两腰相等、两底平行(2) 等腰梯形在同一底上的两个角相等(3)

25、 等腰梯形的对角线相等(4) 等腰梯形是轴对称图形， 它只有一条对称轴， 一底的垂直平分线是它的对称轴注意：等腰梯形在同一底上的两个角相等， 不能说成：等腰梯形两底上的角相等；等腰梯形同一底上的两底角相等8、 等腰梯形的判定(1) 两腰相等的梯形是等腰梯形(2) 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形(3) 对角线相等的梯形是等腰梯形9、梯形的面积(1) 如图， S梯形 ABCD1 (CD AB) DE 2(2) 梯形中有关图形面积：S ABDSBACS AODS BOCS ADCSBCD欢迎下载9、三角形、梯形中位线的概念连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线注意：三角形共有三条中位线，

26、并且它们又重新构成一个新的三角形要会区别三角形中线与中位线连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线注意：梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底的中点的线段（1）三角形中位线定理三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行数量关系：可以证明线段的倍分关系任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分结论 5：三

27、角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等（2）梯形中位线定理梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半梯形中位线定理的作用：位置关系：可以证明三条直线平行数量关系：可以证明一条线段与另两条线段的倍分关系10、 常见的中心对称图形、轴对称图形：七、圆1、点和圆的位置关系设圆的半径为 r ，点到圆心的距离为d ，则有：(1) d r 点在圆内 ( 即圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合 ) (2) d r 点在圆上 ( 即圆上部分是到圆心的距离等于半径的点的集合 ) (3) d r 点在圆外 ( 即圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合 ) 2、 过三点的圆定

28、理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆推论：经过同一直线上的三点不能作圆3、垂径定理及其推论垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧这就是 垂径定理推论 1：(1) 平分弦 ( 不是直径 ) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2) 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3) 平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等4、圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角说明：“内对角” 是圆内接四边形的专用名词， 圆内接四边形的某一个外角的内对角是指与其相邻的内角的对学习必备角，

29、使用本定理时，要注意观察图形，不要弄错5、直线与圆位置关系的有关概念：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 相交，( 如图1(1) ，直线 l 与 O 相交 ) ，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆 相切，( 如图1(2) ，直线 l 与 O 相切 ) ，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆 相离， ( 如图 1(3) ，直线 l 与 O 相离 ) 6、直线与圆的位置关系的性质和判定：如果 O的半径为 r，圆心 O到直线 l 的距离为 d，那么(1)直线 l 与 O相交dr ( 如图 2(1) ；(2)直线 l 与

30、O相切dr ( 如图 2(2) ；(3)直线 l 与 O相离dr ( 如图 2(3) 7、切线的判定定理：定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线说明：(1) 如图，定理的题设是：一条直线 l 满足两个条件：经过半径 OA 的外端点 A ；垂直这条半径 OA 结论是：这条直线 l 是圆的切线即直线 l OA 于 A ，则 l 为 O 切线(2) 定理题设中的两个条件 “经过半径外端” 和“垂直于这条半径”缺一不可，否则就不一定是圆的切线(3) 定理是从直线与圆相切的等价条件 ( 圆心到直线距离等于半径 ) 直接得出来的， 为了便于应用， 才把它改写成这样一种形式，因此定理不必另加

31、证明8、两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系：设两圆半径分别为R和r，圆心距为，那么d(1)两圆外离dRr ；(2)两圆外切dRr；(3)两圆相交RrdRr ( R r ) ；(4)两圆内切dRr ( Rr ) ；(5)两圆内含dRr ( Rr ) 9、正 n 边形的计算：定理：正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2 n 个全 等的 直角 三角 形(如图)说明：由于这些直角三角形的斜边都是正n 边形的半径，一条直角边是正Rn 边形的边心距 rn ，另一条直角边是正n 边形的边长 an的一半，一个锐角是正n 边形中心角n 的一半，即180，另一个锐角为一个内角的一半，即 (n2)

32、90nn或 90180n 边形，所以，根据上面定理就可以把正n欢迎下载的有关计算归结为解直角三角形问题10、 正 n 边形的若干关系：n360； an2R sin 180；nn180；2212；rnR cos nRrn( 2an )Pnnan ； Sn1anrn n12Pn rn n R211、 弧长 l 的计算公式：ln1801 lR 扇形的面积：S扇R2 ； S扇3602当弓形所含的弧是劣弧时，如图2(1)：S弓形S扇形 OAmBS AOB ；当弓形所含的弧是优弧时，如图2(2)：S弓形S扇形 OAmBS OAB ；当弓形所含的弧是半圆时，如图2(3)：S弓形1S圆2说明：弓形面积可以看作

33、是扇形面积和三角形面积的分解和组合，实际应用时，可根据图形的直观确定应用上述公式中的哪一个12、 圆锥的基本特征：圆锥的轴通过底面的圆心， 并且垂直于底面圆锥的母线长都相等经过圆锥轴的平面截圆锥所得的图形是等腰三角形若圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则它的侧面积：S侧rl 圆锥的体积V1 Sh1r 2h 33八、相似形1、比例线段的相关概念a, b 的长度分别为如果选用同一单位量得两条线段m, n ，那么就说这两条线段的比是amb，或写成na : bm : n 注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位在四 条 线 段 a, b, c, d 中， 如 果 a和b 的 比等 于c和d 的比，那么这四条线段 a,b, c, d 叫做成比例线段，简称比例线段注意：(1) 当两个比例式的每一项都对应相同， 两个比例式才是同一比例式学习必备(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是 b, c, d 的第四比例项，那么应得比例式为：bdc2、比例的性质a基本性质：(1)a : bc : dadbc ；(2)a : c c : bc2a b 注意：由一个比