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1、高中数学复习专题讲座极限的概念及其运算高考要求极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一 本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题重难点归纳1 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限2 运算法则中各个极限都应存在 都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个 在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如
2、lim( 1) n0, lim ann0(| a | 1)nna0当l时b0, ka0 x ka1x k 1aklim当kl时b0 x lb1 xl 1b10,n不存在 当kl时,典型题例示范讲解例 1 已知 lim (x 2x1 ax b)=0,确定 a 与 b 的值x命题意图在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循， 有法可依因而本题重点考查考生的这种能力也就是本知识的系统掌握能力知识依托解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法错解分析本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错技巧与方法有理化处理解 lim
3、 (x 2x1ax b)lim( x2x1)(axb) 2xx2xx1 axblim(1a2 ) x 2(12ab) x(1b 2 )2xxx1axb要使上式极限存在，则1 a2=0,当 1a2 =0 时，1b 2上式lim(12ab) x(1b2 )lim(12ab)x 2(12ab)x2x 1axb11b1axxx 21axx由已知得(12ab)10a1 a20a1(12ab)解得110b2a例 2 设数列 a12nn 和 an 的关系是 Snban1n ,其中 b 是,a , ,a ,的前 n 项的和 S=1(1b)与 n 无关的常数，且 b 1(1)求 an 和 an 1 的关系式；(
4、2)写出用 n 和 b 表示 an 的表达式；(3)当 0 b 1 时，求极限lim Snn命题意图历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n 项和 Sn 等有紧密的联系有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n 项和 Sn 再求极限，本题考查学生的综合能力知识依托解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系错解分析本题难点是第(2) 中由 (1) 中的关系式猜想通项及n=1 与 n=2 时的式子不统一性技巧与方法抓住第一步的递推关系式，去寻找规律解(1)an=Sn Sn1 =b(an an 1)11b) n(1b) n 1(1= b(an an 1)+b(n 2)(1
5、b) n解得 an1ba(1b2)=bn 1b) n 1 (n( 2) a1S11 ba11, a1b1b(1b)2anbbb1(b2b2b11an 2(1b) n(1b) n 1)an 2b) n 1bb1b(1b2bbbb2(1 b ) 1 b an 3(1 b) n 1 (1 b) n 1(b2anbb2b3,)3(1b)n11b由此猜想 anb)n 1a1b b2b3b n 1(1b) n 11 b把 a1b代入上式得b)2(1b2bnbbn 11 ( b1)anb(1b)(1b) n(1b) n 1n(b1)2n1(3)Sn1ban11bbbn11(1b) n(1b)(1b) n1(
6、1 b)n1(11b(bbn 1 ) (11) n1(b1),b)n1bb0b1时,lim b n0, lim (1) n0,lim Sn1.nn1bn例 3 求 lima n2n12nan1nann111 ( 2 )n 1解:当a或a时, lim2limaann1222a2nnn()aaann1( a )n11当时2222a,limnn1lim;2an2an2n4a( )2当 a2时 , liman2n 1lim3 2n11;2nan 162n12nn1 ;a当 a2时,an2n 1( 2)n2n 12n2n 12n 11为奇数)2n2n 13 2n6 (n2nan 12n(2)n 12n2
7、n13 2n 13为偶数)2n2n12n2( n学生巩固练习1an 是 (1+ x)n 展开式中含 x2 的项的系数，则lim ( 111)等于na1a2anA2B0C1D 12若三数 a,1,c 成等差数列且a2,1,c2 又成等比数列，则lim (ac) n 的值是 ()na2c 2A0B1C0 或 1D不存在3lim (xxxx)=_n4若 lim (a 2n 2n 1 nb) =1,则 ab 的值是 _n5在数列 an 中，已知 a1= 3,a2=31,且数列 an+1 1an 是公比为1 的等比数列， 数5100102列lg( an+1 1 an 是公差为 1 的等差数列2(1)求数
8、列 an 的通项公式；(2)Sn =a1 +a2+ +an( n 1),求 lim Snn6 设 f(x)是 x 的三次多项式， 已知 limf ( x)limf ( x)=1, 试求 limf ( x) 的值 (an 2ax 2an 4a x 4anx 3a为非零常数 )7 已知数列 an , bn 都是由正数组成的等比数列，公式分别为p、 q,其中 p q,且 p 1,q1,设 cn=an+bn,Sn 为数列 cn 的前 n 项和，求 limSn的值nSn18 已知数列 an 是公差为 d 的等差数列， d 0 且 a1=0,bn=2 an(n N *),Sn 是 bn 的前 nSn*)项
9、和， Tn=(n Nbn(1)求 Tn 的通项公式；(2)当 d 0 时，求 lim Tnn参考答案1 解析anCn2n(n1) ,12(111 ) ，2annnlim( 111 )lim 2(11 )2na1a2annn答案A2 解析ac2a c2ac2a2 c2, 得a 2c2或a2c 2612答案C二、 3解析lim ( xxxx)limxxx xxxxxxx111limx.2x1111x3x 21答案24 解析a2 (2n2n1)n 2b2lim( 2a2b 2 )n2a2 n a2原式 = lim221na 2nn1nbna2nn1 nb2a 2b20a222b1b4 a·
10、 b=8 2答案 825 解(1) 由 an+1 1an 是公比为1的等比数列，且a1=3,a2=31,1025100 an+1 1 an=(a2 1a1)( 1 )n-1=(31 3× 1)(1)n-1=1(1)n 11422n 1 ,101021005102 an+1=11an+2n 1101又由数列 lg( an+1 an) 是公差为 1 的等差数列，且首项 lg( a2 1a1)=lg(311×3)= 2,210025其通项 lg( an+1 1an)= 2+( n 1)( 1)= (n+1),2 an+1 1 (n+1),即 an+1=1an+10 (n+1)an
11、 =1022联立解得 a5 (1)n+1 (1)n +1n=1022nak5n1k1n(1k1(2)Sn =()k12k 12k 1105 (1212S2)( 6)11lim n2 1119n12106 解由于 limf ( x)=1，可知， f(2a)=02ax2 a x同理 f(4a)=0由可知 f( x)必含有 (x2a)与 (x4a)的因式，由于 f(x)是 x 的三次多项式，故可设 f(x)= A(x 2a)(x 4a)(x C),这里 A、C 均为待定的常数，f ( x)A( x2a)( x4a)( xC)A( x 4a)( x C) 1,由 lim2a1,即 limx2alimx
12、 2a xx2 ax 2a得 A( 2a4a)( 2a C)1,即 4a2A 2aCA= 1同理，由于f ( x)2lim=1,得 A(4a 2a)(4 a C)=1, 即 8a A 2aCA=1x 4 a x 4a由得 C=3a,A=11(x 2a)(x4a)(x 3a),2a2 ,因而 f(x)=2a2limf (x)lim12( x 2a)(x4a)12a ( a)1x 3ax 3ax 3a 2a2a27.解 : Sna1 (1 p n ) b1 (1 qn )1p1qa(1p n )b (1q n )11Sn1p1qSn 1a1 (1 pn 1 ) b1 (1 q n 1 )1p1qa
13、 (1q)b (1p)a (1q) p n111a (1q)b (1p)a (1q) p n 1111b (1p)q n1b (1p)q n11由数列 an 、 bn 都是由正数组成的等比数列，知p 0,q 0a (1q)b (1 p)a (1q) pnb (11111当p时Snlimpn1limSn 1a (1q)b (1p)a (1q) p n 1b (1nn1111pna1(1q)b1(1p)a1 (1q)b1 (1qnpnp)()limpa1 (1 q) b1(1 p)1qn 1 1nb1 (1)p n 1a1(1 q)p)(pppp)q np)q n 1当 p 1 时 ,q0a1 (
14、1q)01p.0a1 (1q)0p1, limpnlimp n 1lim qnlim q n 10nnnnlimSn1Sn 1n8解(1) an=(n 1)d,bn=2 an=2(n 1)d0d 2d(n 1)dSn=b1+b2+b3+ +bn=2 +2 +2+ +2由 d0,2d1 ( 2d )n 1, Sn=2d1Sn1 (2d )n1 2nd1 2d Tn=2( n 1)d2(n 1) d2ndbn(2)当 d 0 时， 2d 1lim Tnlim12nd1 (2 d ) n2(n 1)d2 ndlim(2d ) nnnn(2 d ) n 111(2d ) n12d0lim112d1n112d2d课前后备注