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1、几种递推数列通项公式的求法递推数列常常是高考命题的热点之一.所谓递推数列,是指由递推公式所确定的数列.由 相邻两项的关系给出的递推公式称为一阶递推公式，由相邻三项的关系给出的递推公式称为 二阶递推公式,依次类推.等差数列和等比数列是最基本的递推数列.递推数列基本问题之一 是由递推关系求通项公式.下而是常见的递推数列及其通项公式的求法.1一阶线性递推数列求通项问题一阶线性递推数列主要有如下几种形式：加=七十/()这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列任(n)可求前n项和).当/()为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式.而当/()为等差数列时,则天.=$+/()为二阶等差数列，共通
2、项公式应当为%=卬22+的? +。形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是S” =/+，其常数项一定为0.(2)这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列g(n)可求前n项积).当g(n)为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式.(3) xn+l = qxn+ d(q,d为常数夕 W0,4 W1)；这类数列通常可转化为玉7+ = "(土+ )，或消去常数转化为二阶递推式4+2 -%7 =例4+1一%)例1已知数列优中，玉=1, 土 =2玉_1+1(“22),求土的通项公式.解析解法一.转化为Xz+ = q(七+ p)型递推数列.V xn = 2x_t +1(/7 &g
3、t; 2), * xn +1 = 2(xn_l + l)(n 之 2),又 $ +1 = 2，故数列 +1 是首项为2,公比为2的等比数列.七+1 = 2",即七=2"-1.解法二.转化为七+2 -七+1 =a天+】一天)型递推数列.,F = 2xm+l(n22)J = 2x*+l一，得/7-七=2(%/_1) (n22),故怎怎是首项为xx尸2,公比为2的等比数列，即七阳一七 =22"t=2",再用累加法得七=2一1.解法三.用迭代法.4= 2七_ +1 = 2(2 七 _2 +1) + 1 = 22 七_2 + 2 +1 =2t 玉 + 2” + 2
4、二 + 2+1 = 2.当然，此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明.例2已知函数/（x） = -2x + 2（J W1）的反函数为,，= g（x）,玉=1,=身（%），工3 =且“2），-E =身（玉-1），求数列七的通项公式解析由已知得g(x) = -x+l(O<x< 1),则玉=1,X“ = -Xn_, +1( > 2).221132令/ + = 一 （5_| + ）=，则/ =一5为.| 一5 比较系数，得=一大 乙乙乙D2122211即有/一二二）522）. 数列/_三是以二=1为首项，一；为323333221111?公比的等比数列，乙一；=；（一二）1,故
5、七=；（一二产+；. 332323评析此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之.（4）西川=上七9，"为非零常数）；若取倒数，得令尤=,从而转化为（1）型而求之.X这类数列可变换成声例3设数列玉满足:解析%=3七+2，（5）原川二"+4"（9,4为非零常数，9工1,4工1）：令% = ±，则转化为（1）型一阶线性递推公式. d d cl%=1, 乙川=3七+2（eN*）求数列七的通项公式.y3 v13 X两边同除以2'*,得湍=5寸+于令片=5徜 乙乙 乙乙乙 乙31337则有= 5'+弓于是，得上用+1=不（h+1），,
6、数列州+0是以首项为工+1 = "公比为?的等比数列，故% +1= （二）“，即” =L（3）z 1，从而 = 73” 一二2向.24 24* 23例4设题为常数，且=3'1_2七1（仁'*）,求数列4的通项公式.解析设七+ p3" = -2(玉_1 + 3"t )，用七=3"t _ 2x,i代入，可解出P = - ?333 2 4一 一是以公比为-2,首项为玉一二=1 一 2% -二=三一 2用的等比数列.554”?, Xn = (- 24)(一2尸,即Z =(£ 2x°)(2)”一+J =3,1)l)"2
7、"x°(eN*).怎+1 =ck(x >0,c>0,>0,Wl)这类数列可取对数得lgX” =lgX +lgC ,从而转化为等差数列型递推数列.2 可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列55?例5设数列勺满足：x=l,占=二，x =二x 一二七（£N*）.求数列/B一= 1 3 /xj的通项公式.52解析由4+2=：匕+】-3%（6%*）,可得222 z 、/、七心一七】=;七一三%=与（七7 一%）（ e N*） O75?设尤=%-% 则力 是公比为彳的等比数列，且片=&一玉=-1 = 122故外=（二）n （ £
8、 N*）.即天-k =（二尸5 > 2）.用累加法得 222X一 X】=（X“一 X.l）+（X-l - X-2 ） + + 02 一 $）=+（大）"- + , + 7， 或乙=(七 一%_。+ (七1 一七_。+(-为)+玉o?7=(1)-|+(±)/,-2+. + - + 133321一(?"21-33例6在数列西，中，已知¥=巧=1,西2 =/川+/（£N*）,求数列须的通 项公式.解析可用换元法将其转化为一阶线性递推数列.令上 =七+1 一4%，使数列）“是以/为公比的等比数列（。1，。2待定）即七+2 -4七川=4（/7 -4
9、土），天+2 =（$ +®加 一4与对照已给递推式，有佝+生=1，。/2=-1，即1、是方程 X-1 =0的两个实根,.1 >/51 + /5 t 1 + y/S1y/5从而4=, a2 =； 或4 =-, a2 =-y/5 l + x/51-75 *七+2(玉-】 -七)乙乙乙或%+2由式得天7匕卢玉=（F）":由式得%+11 +62 % =消去%W得看 =1（笥叵）“ _（萼门.例7 在数歹I 当中，已知叫=1，玉+2 =土+1 一%（ N*）,求王（川.=七.，数列七是以6为其周期.故解析由天+2=玉+1 一乙 ，得4+3=% 一©-式+式，得玉+3
10、=一当，从而有七桢=一天-3X1(X)二于T特殊的n阶递推数列例8已知数列七满足玉=1,当=玉+2&+3刍+（-1）土_（"之2）,求 土的通项公式.解析: xn = n + 2x2 + 3,q + +(-(n > 2)=内 +2工2+3巧+ + (-2)/_2(之3)X一，得X"=%(23).二一 = (之3),故有 %4 _ £-1一 ，%-I %-2-1,上=3x2将这几个式子累乘，得工=（一1）（一2）3, =;?（/7-1）（7/-2）.<3%7. %1 ( = 1), 又内=1, %, =x. =l/fcn =S n!.y (3 2
11、).例9数列七满足司=！小+超+ + %=,求数列玉的同项公式. 2解析由N+巧FX/r =fl1Xn，得X+/+ + XT32),式-式，得xn=n2xn-(n-l)2x_ , 或(-I)2 J = 。%一七=(/ 一 1)怎，故有- = (77 >2).七1 +1 4 一1 苒一 _2 七_2_3 七_3-4 X、_2 % _ 1 -.-,-,-, , , x_" + 1 凡.2n x_3H-1 /_4_2 石 4 X 3将上面几个式子累乘，得圣=上一，即/=：$=(n > 2).x1 ( + 1)(72+ 1)/1 (n + 1)n211，%,. =x =(n e N*).( + 1)(77 + 1)72以上就是常见的一些递推数列及其通项公式的一般求法.这些知识是拓展性的，超出了 课本的要求范围，但它们在高考题中时常会见到，有时是以证明题形式出现，如果比较系统 地掌握了这些知识，解答这类题目就容易把握.