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1、数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减 法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 门 a.）n（n-1）1、等差数列求和公式:Snna1d一 22、等比数列求和公式:na1Sn (1 - qn)1-q(q=1)a1 " anq1 -q(q = 1)3、1n(n 1)24、Snn八k2k d1n(n 1)(2 n 1
2、)65、nSn 八 k3k =11 2jn(n 1)例1已知X二1，求X X2x 亠xn 的前2n项和.解：由等比数列求和公式得Sn = XX2X亠 亠xn（利用常用公式）1 1x(1 xn)1 -x2(1 一班)=1 _ 丄 -1 2n2例2设 S"=1+2+3+n,n N*,求 f(n)=E:的最大值.解：由等差数列求和公式得Sn1= 2n(n 1)，Sn1(n 1)(n2)2（利用常用公式）f (n)工Sn(n ' 32) Sn 12n 34n 641""64 n 34 -n1<501(需 _-)2 +50Jn，即 n= 8 时，f(n)、.
3、nmax 50二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列23n 1例 3求和：Sn = 1 3x 5x 7x亠(2n - 1)x解：由题可知，（2n- 1）xnJ的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列xn，的通项之积设 xSn =1x 3x2 5x3 7x4(2n - 1)xn（设制错位）一得 (1 x)Sn =1 2x 2x2 2x3 2x4 "却Ex"一(2n - 1)xn（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：（1-x）Sn"2x-（2n
4、-1）xn1 - xSn(2n 1)xn 1 -(2 n 1)xn (1 x)(1 - x)2例4求数列-,-62 2前n项的和.2，解：由题可知,设Sn23 ,2已2n幺空22 23 2n46组的通项是等差数列2n的通项与等比数列I 的通项之积2n2223 242”1-得(1-2)s =Z+2+ 2一-得(1 2)Sn2 22 23 242n2n 11 2n=2（设制错位）（错位相减）o _ , n +2Sn = 4_练习题1已知，求数列 an的前n项和Sn.答案：爲=-卜2° 一2汩二弘2”一2"+113 521练习题r23 9' 2*的前n项和为答案：7 2
5、+ 3 -5fl-1三、逆序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)数列相加，就可以得到 n个(ai an).例 5求证：C0 3Cn 5C(2n 1)C； =(n 1)2n，再把它与原(1)(2)证明： 设 Sn =C0 3C： 5C；(2n. 1)C： .把式右边倒转过来得Sn =(2n +1)C：十(2n 1)° 十"3厲 +C0又由Cm可得& =(2n+1)C0+(2n_ 1)C； + +3C；+ C；+得2Sn =(2n+2)(C0 +C： + + C：-1+Cnn) = 2(n+1)，2nSn=(n 1) 2
6、n2X+V2已知函数证明： I+/+ f+/ 10丿的值.(反序)(反序相加)解:(1)先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边(2)利用第(1 )小题已经证明的结论可知,两式相加得:110丿(10匚+- +/三+川也丿f i r q u2S = 9x / - +/ =9£二？所以 四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可1 1 1例7求数列的前n项和：114,p - 7, mj 3n -2 , a aa1 1 1 解：设 Sn = (11)(4)( 27)茫心(nr 3n
7、-2)aaa将其每一项拆开再重新组合得丄 12an d )(147 讦"川3n _2)a(3n-1)n(3n1)n十2 21孑+(3n-1)n =a例8求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.Sn = (1-a当a= 1时,当a =1时,解：设akSnSna - a1(3n -1)na -12k(k 1)(2k 1) =2k33k2 k=為 k(k 1)(2k1) =、(2k3 3k2 k)k母kW将其每一项拆开再重新组合得nnSn= 2 k33'k2k dkN=2(13 23n3) 3(12 22n2) (12 n)n2( n 1)2 n(n 1)(2 n 1) n(n
8、1)(分组)(分组求和)(分组)(分组求和)222n(n 1)2( n 2)五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1)an二 f (n 1)-f(n)(2)sin 1cos n cos(n 1)-二 tan(n 1) - tan n(3)ann(n 1)(4)an(2n)2=1+丄(-)(2n -1)(2n 1)2 2n -1 2n 1(5)(7)(8)ananann(n -1)(n2)2 n(n 1) (n 1)(n2)n(n 1) 2n例9 求数列2(n1)
9、 -nn(n 1)nn2 (n 1)2,则 Sn =1-(n 1)2n(An B)(An C) C - B( An B 一 An C=n 1 ；n1 , ,，；，.的前n项禾廿.223 一 n *n 1解：设an=n 1 - 一 n.n n 1（裂项）则Sn=+_ +. . .+ 严.1、2- 2 亠-3n i n 1（裂项求和）=(2 - .1)(、.3 -、2)( n 1 - n)例10在数列an中,an-，又 bn解:，求数列b n的前n项的和.an an 1an21 n 1bn 一 n n 1 f n n 1（裂项）数列b n的前n项和1 11 11 1 1 = 8(y一)22334n
10、Sn（裂项求和）（2009年广东文）20.（本小题满分14分）1已知点（1,一）是函数f（x）=aX（a . 0,且a = 1 ）的图象上一点，等比数列an的前n项和为f （n）-3C,数列 bn(bn 0)的首项为C,且前n项和Sn满足SnSn jSn+ .Sn1(n_2).（1）求数列an和bn的通项公式;11000（2）若数列 前n项和为Tn，问Tn-000的最小正整数bA卅n是多少？20090.【解析】（1） Q f 1二aa2 一 2 一 C 一 lLf 1 一ca | f 3 _c 2 -c 二27又数列春成等比数列,a12a? _ 81，所以27又公比q二亞E，所以a1an-?1
11、r3 32厂31QSn-Sn，瓦-兀 .，瓦.石,瓦 -.SZ n2Sn2数列 IS? 构成一个首相为1公差为1的等差数列，J§=1+（n11 = n ,当 n2，bn2 2二 Sn-q4 二 n 一 nT 二如-1 ;bn = 2 n T(nN)；1(2) Tn =.丄.丄Ldb2b2b3b3b4bnbn 11 3 3 5 5 7(2n -1) 2n 1由Tn232 352 57n 1000 得 n 1000，满足 Tn92n 120091丄一丄2 2n -1 2n 1 1000的最小正整数为2009J 12 2n 1 2n 1112.由 an -an 4 二 f (n),印=a&
12、#176;，求 a.，用迭加法*(炉2)心+ 1厂1 1 F 练习题1.1-11 ',；1 .丄 * 丄+J_+ |1练习题 2 o *> - .：' I =求数列通项公式的常用方法(1) 求差(商)法S注意到Sn1-Sn，代入得M练习数列a满足Sn Sn|an 1印=4，求an=4 又S4 ,Sj是等比数列，& = 4n7n 2 时，an = Sn - Sn-4nJ(2) 叠乘法如：数列fan 中,a1二3, an求an解a2.鱼电=丄a1a2an/2色二1又內=3， a.ann(3) 等差型递推公式a? a = f (2)a? a? = f (3)n_2时，两
13、边相加得 an-afRLf(3) f(n)an -an厂 f (n) an =a°f(2) f(3) f (n)练习数列:an /中，a1 =1，an =3 ann _2，求a.( an1 1已知数歹U Sn满足a1二一，an 1 = an ，求an。2n +n1 1 1 1 解：由条件知：an “ _an二+n +n n(n +1) n n +1分别令n =1,2,3,（n -1），代入上式得（n -1）个等式累加之，即(a2 -3)6 -a?) -a3)舄叫an -an)1 1111 1 1 = (-)( )( )(22334n-1n1 所以 an -a1n. 1 1 a1，an12 2（4）等比型递推公式d 为常数，c = 0, c = 1, d = 0)可转化为等比数列,设anX = C and X = an = can/c-1 X令(c -1)x = d，an 是首项为a< ，c为公比的等比数列 c1jc 1ai an 弋c -1n -1c ，an(a1（5）倒数法如：ai =1,an 1 二鸟，an 2求an由已知得:1an211= r 2an 'an 12 anan 1 ann丄=1 ,公差为-，二丄 =1n_ 1 - =- n1d2an2 2