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1、数列通项公式、求和的常见题型、定义法例题1: (1)在数列 an 中,若a12,an1an 3,则 an 二等差数列疋义：公差dan 1an3 :,an 2(n 1)( 3) = n+5(2)在数列 an 中,若a12,an13an ,则 an 二等比数列定义：公差qan 13 ,ann 123an练习右数列的递推公式为a13-112(n¥)，则求这个数列的通项公式。an 1 an(an36n二、公式法已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式anSn 1求解.Sn Sn 1n 2例2.已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an 3, n 1 求数列 务 的通项公
2、式.(注意 S1a1 ,an3 2n 1)已知数列an的前n项和Sn满足Sn2n?n 1，求数列的通项公式.应用 anSn Sn 1 得 a. 4n-2 已知等比数列an的首项a1 1,公比0 q 1，设数列g的通项为g am an 2, 求数列 bn的通项公式。解析：由题意，bn 1 an 2 an 3，又an是等比数列，公比为q-3 - / 10bn 1bnan 2an 3an 1an 2q，故数列bn是等比数列,a2 a3 a ag2 q(q 1)，bn q(q 1) qn 2 qn(q 1)练习(n N )求数列an的通项公3(1)数列an的前n项和Sn满足Sn(an 1),式( an
3、3n )(3 )9, 99, 999, 9999,(4)8, 88,888,8888,(1) an(2) an(1)n2nn 8 n(3) an 101(4) an -(10n 1)三、归纳法：幽 C/、1111例3、(1) 1,3,5,7，(2)四、分组求和法：把整个式子拆分成等差数列和等比数列例4、求和(1)(a 1)(a22)(a33)(an n)(2351)(435 2)( 635 3)(2n 35 n)111 2 -243184丄161 n _2n解:(1)Sn (aa2a3an)(123a(1an)(1n)n1a25(2462n)3 (5n)5 2)5 n)(22n)n1 1 n5
4、1(5门n(n1)3(14,1c1c111 -2 -3 -4 24816(3) Snn -2nn)1 121(123(1n)n12五、升次，错位相减法:例5、求和(1)Sn12x3x24x3x 得 xS|nx2x23x34x4得(1x)Sn1 xx2 x3Sn1 (1xn 1) nx1 x练习求和13572n 122223242* 1含x的项是等比数列，系数是等差数列nxn 1n nxxn 1xn(Snnxnx n2n2n六、累加法累加法形如an 1anf(n)型，a. 1, an相邻两项系数相等,f(n)是一个常数，则直接用等差数列通项公式求出(例1之(1) ), f (n)是一个关于n的变
5、量，根据递推公式,写出a1到an的所有的递推关系式，然后将它们分别相加即可得到通项公式例6.若在数列an中，印3， an 1an2n，求通项an。解析：由 an 1an 2n 得an 1 an2n，找出关键一步：an an 12；n 1)，a2 a121 ，a3 a2 2 2，a4 a3 2 3，an an 12(n 1)ana121234(n所以an-3=21(n1)(n 1)得2练习1、在数列an中，a12 ,an 1an将以上各式左右两边分别相加得:(1)求c的值;1)，又 ai 3an = n(n-1)+3cn , (c是常数,n= 1, 2,3,)，且a1, a2, as成公比不为1
6、的等比数列。求数列an的通项公式。(1)c=2(2) ann( n1) 22、若在数列an 中,a11 , anan 13n 1, ( n 2 ,)(1)求(a113 )(2)证明an3n123、若在数列an中,a13 , an 1ann,求数列an的通项公式。(ann(nrJ)七、累乘法形如an 1f(n)an型的数列,f (n)是个常数，则直接用等比数列通项公式求出例1之an 1-5 - / 10(2), f( n)是一个关于n的变量，根据递推公式，写出a1到a.的所有的递推关系式, 然后将它们左右两边分别或相乘，即可得到通项公式。例 6、在数列 an 中，a1 3 , an 1 2nan
7、 ( n N*),求通项 an。解析：由已知心2n ,对应找出电anan 12n1a2a121,aaa222 ,a423 ,an2nan 1等号左右两边对应相乘得a2a1a3a2a4a3an2122232n得並21 2 3(n 1)a1又ain(n 1)3，所以 an=3 2 2练习1、已知数列 an满足a1an 1n 2an，求通项公式。(ann(n 1)2、数列 an满足ai(n1)annan,求通项公式。an八、裂项相消法1例8、已知数列an满足a13，a.a. 1,(n 2)，n( n1)11 E诉严k Vn)求数列an的通项an公式注意应用式子：11(丄 1 )n( n k) k n
8、 n ka2 a1a3a2a4a31 1an an 1n 1 n将以上各式左右两边分别相加得:d 1an a1 1，又 a1 3n11所以 an = 1_34nn练习:S设数列an的前n项和Sn，点（n,计）（门 N ）均在函数y=x的图象上,（1）求通项an(2)设 bn =1an ? an 1求数列的前n项和Tn-9 - / 10答案：（1） an2n 1九、待定系数法：形如an 1=p an+q （p、q为非零常数 且1）,设an 1 +k=p （an +k）,通过待定系数法求出常数，得到新数列an+k，首项是a1k,公比为p的等比数列例9、（1）数列a n满足a1=1, an=an 1
9、+1 （n>2）,求数列an的通项公式21 1解：由 an=2an1+1 (心 2)得 an - 2=2 (an1 - 2),而 a1 - 2=1 - 2=-(4)、数列a n满足a1=1, an =丄an1+1 (n>2),求数列an的通项公式 11解：由 a n = _ a n 1+1 (2)得 a n 2=- ( a n 1 2),而 a1 2 = 1 2 = 1 ,2 21数列 a n 2是以丄为公比,1为首项的等比数列21数列 a n - 2是以丄为公比，首项是一1的等比数列22 2an 1是(2)数列an满足a1=1, 3am a. 7 0,求数列a.的通项公式设an
10、-11 k(a.k），比较交系数得kk-解得k7371334an是以1-为公比,以a173-为首项1的等比数列4344473/1 n 173 /1n 1an(-)an-(-)443443(3)、已知数列aIn满足a11 ,且an 13an2 ,求 an .17解：由 3an 1an 7 0得 an 1-an33解：设 an 1 t 3(an t)，则 an 1 3an 2tt 1 , an 113(an 1)以（a11）为首项，以3为公比的等比数列n 1n 1n 1 丄an1 (a1 1) 32 3 an 2 31-13 - / 10），求证：数列Cn是等差数列；（公差d = 2.5 ）练习、
11、1、设数列an满足a12,an 11 a2 n12，求an(an1 )2 2n )（2）数列an的前n项和Sn，且a11, Sn14an2(nN )求数列an的通项公式及前n项和。.n 1(an(5n 4) 2Tn (15n)2n10 )设数列 bn an 1 2an (n 1,2,)，求证：数列bn是等比数列；(公比q = 2)设数列5閉（n 1,2,十、取倒数法、通过取倒数，可得出有等差数列，或等比数列,例10、（1）设数列an满足a12, amanan3(nN),求 an-3解：左右同时取倒数，得1 an 3an 1an1an 13an1.练习1an 11an1、数列 an中,1 1&#
12、39;a；2)1新数列an12首项a公比为3的等比数列。ai=1，2an1 = an 2nN，求通项an .(an2、已知数列 an满足a11, n 2时，an 1 an 2a“咼，求通项公式。an12n 13、已知数列 an满足：anan 13 an 11,ai求数列 an的通项公式。（an1一、观察系数与底数法:例11、（ 1）已知数列an两足 a11 ，an3n3an 1(n 2)，求 an解：将an 33an1两边同除3an得尹an 1anan 1nn33新数列加公差为的等差数列。(n 1)1an(n 3)3n（2）已知数列anan3n2an 1(n 2)，求 a解:将an3n2an
13、1两边同除nan3，得孑2an 1Vanan 1an3"an 113n 1令an2(也 t)3(3n 1 t)，得 t=-3 ,an3n得新数列扌是首项a3-3，公比为2的等比数列.3an3n（|）n1_3“( 8 (2、n1*3( 3(3)3)an3n 1十二、相邻三项求法,代定系数，找出新数列满足关系式:an 1kanp(ankan1)，即也an得到新数列ankan 1是首项a2ka1公比为p的等比数列。例12、已知数列an 中，a11, a22,an2 an, 求an由an22 3an11an 对应写成3ananan 1p(ankan 1)，去括号合并得 an 1(pk)an(
14、1)、21(2)对应项系数相等得p k -，pk -33，解得p1, k13得an 11 1 13 an1an 3 an 1 )，公比 p，所以 an3 an 1a213a173设 an i kanpkan i1an- an317、11a23 a1，所以 an3 an 13337-，an1512 3n72练习1.已知数列an 满足 a1 1,a23,an 2 3a. 1 2an(n*N ).(I)证明：数列an 1 an是等比数列(答案公式为2)；(II)求数列an的通项公式；(an2n 1 3 )十三、取对数法例13、设正项数列an满足ai 1，an 2a(n>2).求数列a.的通项公
15、式. 解：两边取对数得：log；n12log；n1,log；"12(log；n11)，设 bnlog?1 ,则bn 2bn 1bn是以2为公比的等比数列，b1 log； 1 1.bn 1 2n1 2n1 , log；n 1 2n1 , log；n 2n1 1，/ an 22n1 1练习、21、 数列 an 满足,a13, an 1 2、设数列an的前n项和Sn，Sn 3(an 1) n N (1) 求 a a2 - (2) 求证：数列an是等比数、n，求 a.33 (n 1)答案：an4 (5)n2(n 2)33、等差数列an满足as92，前3项的和满足Sn2(1)数列an的通项公式(2)数列bn是等比数列,aibi, b4a15求数列bn的通项公式及前n项和Tn。答案an嘤Tn2n3、等差数列an满足as7 , a5a726，数列an的前n项和Sn(1)求 an、Sn(2)设 bn1aF(n求数列bn的通项公式及前n项和Tn。、答案:an2n1、Snn22n Tnn4(n 1)-15- / 10